疫情期间在家看了很多方向的文章,由于主要是在做数值,就主动的去找了一篇解析相关的文章阅读了一下,并对其中的一些东西自己动手做了一些推导,我看的是一篇和输运有关系的文章,其实内容也不是很难,文章的想法很不错,而且很容易让人读懂,这里就把一些结果整理一下,虽然有些东西自己还是没有搞懂,但是我还是准备先把自己解决了的内容先整理出来,毕竟我本来的方向也不是这个,只是凭兴趣而已.

哈密顿量加光场

文章主要就是在Nodal line半金属中加入一个光场,可以通过其调节系统变成Weyl 半金属,想了解具体内容可以去参考文章中看这篇文章,我这里主要就是整理推导过程.

起点哈密顿量$\hat{H}=\sum_{k} \hat{\Psi}{\mathbf{k}}^{\dagger} \mathcal{H}(\mathbf{k}) \hat{\Psi}{\mathbf{k}} \text { with } \hat{\Psi}{\mathbf{k}}=\left(\hat{c}{\mathbf{k}, a}, \hat{c}_{\mathbf{k}, b}\right)^{T}$,在自然单位制下

\[\mathcal{H}(\mathbf{k})=\left[m-B k^{2}\right] \tau_{x}+v k_{z} \tau_{z}+\epsilon_{0}(\mathbf{k}) \tau_{0}\]

加入一个光场

\[\mathrm{A}(t)=A_0[0,\cos(\omega t),\sin(\omega t + \phi)]\]

光场以失势的形式进入哈密顿量$\mathcal{H}(\mathbf{k})\rightarrow\mathcal{H}(\mathbf{k}+e\mathbf{A}(t))$,此时哈密顿量是时间的周期函数,可以展开为$\mathcal{H}(t,\mathbf{k})=\sum_n\mathcal{H}_n(\mathbf{k})e^{in\omega t}$,将光场形式代入之后可得

\[\begin{aligned} \mathcal{H}(\mathbf{K}+e\mathbf{A}) &=(m-Bk_x^2-B(k_y+eA_0\cos(\omega t))^2 - B(k_z + eA_0\sin(\omega t))^2)\tau_x + v(k_z + eA_0\sin(\omega t)) \quad \text{here} \quad \phi = 0\\ &=(m-Bk_x^2-B(k_y+eA_0\cos(\omega t))^2 - B(k_z + eA_0\sin(\omega t + \phi))^2)\tau_x + v(k_z + eA_0\sin(\omega t + \phi))\\ &=(m - Bk^2-Be^2A_0^2(\cos(\omega t)^2 + \sin(\omega t)^2) - 2BeA_0k_y\cos(\omega t) - 2BeA_0k_z\sin(\omega t+\phi))\tau_x+v(k_z + eA_0\sin(\omega t + \phi))\tau_z \end{aligned}\label{eq1}\]

利用欧拉公式

\[\cos(\omega t) = \frac{1}{2}(e^{-i\omega t} + e^{i\omega t})\\ \sin(\omega t + \phi) = \frac{1}{2i}(e^{i(\omega t + \phi)} + e^{-i(\omega t + \phi)})\]

将(\ref{eq1})分成三部分进行计算

1: $(m - Bk^2-Be^2A_0^2(\cos(\omega t)^2 + \sin(\omega t)^2)$ 2: $- 2BeA_0k_y\cos(\omega t) - 2BeA_0k_z\sin(\omega t+\phi)$ 3: $v(k_z + eA_0\sin(\omega t + \phi)$

\[1 = m-Bk^2-BeA_0^2[\frac{1}{4}(e^{-2i\omega t} + e^{2i\omega t} + 2)- \frac{1}{4}(e^{2(i\omega t + \phi)} + e^{-2(i\omega t + \phi)}-2)]\] \[\begin{aligned} 2 &=-2BeA_0k_y\frac{1}{2}[e^{i\omega t} + e^{i\omega t}]-2eBA_0k_z\frac{1}{2i}[e^{i(\omega t + \phi)} - e^{-i(\omega t + \phi)}]\\ &=\frac{1}{2}[-BeA_0k_y(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}) + 2BeA_0ik_ze^{i\phi}e^{i\omega t}-2BeA_0ik_ze^{-i\phi}e^{-i\omega t}]\\ &=\frac{1}{2}[(-BeA_0k_y+2BeA_0ik_ze^{i\phi})e^{i\omega t} + (-BeA_0k_y-2BeA_0ik_ze^{-i\phi}e^{-i\omega t})] \end{aligned}\] \[\begin{aligned} 1&=m-Bk^2-Be^2A_0^2(\frac{1}{4}\dot 2-\frac{1}{4}(-2) + \frac{1}{4}(e^{-2i\omega t}-e^{-2i\phi}e^{-2i\omega t})+\frac{1}{4}(e^{2i\omega t}-e^{2i\phi}e^{2i\omega t}))\\ &=m-Bk^2-Be^2A_0^2-Be^2A_0^2\cdot\frac{1}{4}(1-e^{-2i\phi})e^{-2i\omega t}-Be^2A_0^2\frac{1}{4}(1-e^{2i\phi})e^{2i\omega t} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} 3&=v(k_z+eA_0(e^{-i(\omega t +\phi)}-e^{-i(\omega t + \phi)})\frac{1}{2i})\tau_z\\ &=[vk_z+\frac{i}{2}eA_0(e^{-i\phi}e^{-i\omega t}-e^{i\phi}e^{i\omega t})]\tau_z\\ &=[vk_z+\frac{i}{2}eA_0e^{-i\phi}e^{-i\omega t}-\frac{i}{2}eA_0e^{i\phi}e^{i\omega}]\tau_z \end{aligned}\]

将上面这些展开代入之后,按照$e^{in\omega t}$中n的阶数展开可得

\[\begin{aligned} 0阶=&(m-Bk^2-BeA_0^2)\tau_x+vk_z\tau_z\\ 1阶=&\frac{1}{2}(-BeA_0k_y+2BeA_0ik_ze^{i\phi})\tau_z-\frac{i}{2}eA_0ve^{i\phi}\tau_z\\ -1阶=&\frac{1}{2}(-BeA_0k_y-2BeA_0ik_ze^{-i\phi})\tau_x+\frac{i}{2}eA_0ve^{-i\phi}\tau_z\\ -2阶=&-Be^2A_0^2\cdot\frac{1}{4}(1-e^{-2i\phi})\tau_x\\ 2阶=&-Be^2A_0^2\frac{1}{4}(1-e^{2i\phi})\tau_x \end{aligned}\]

贝利联络

这里主要是推导附录中的贝利联络,首先给出了本征态

\[\Phi_{+}^{(0)}(\mathbf{k})=\left(\begin{array}{c} \cos \frac{\theta_{\mathrm{k}}}{2} \\ \sin \frac{\theta_{k}}{2} e^{i \varphi_{\mathbf{k}}} \end{array}\right), \Phi_{-}^{(0)}(\mathbf{k})=\left(\begin{array}{c} \sin \frac{\theta_{k}}{2} e^{-i \varphi_{\mathbf{k}}} \\ -\cos \frac{\theta_{\mathbf{k}}}{2} \end{array}\right)\]

贝利联络的定义为

\[\mathcal{A}_{\alpha}(\mathbf{k})=\sum_{n} \mathcal{A}_{\alpha, n}(\mathbf{k})=-i \sum_{n}\left\langle\Phi_{\alpha}^{(n)}(\mathbf{k})\left|\nabla_{\mathbf{k}}\right| \Phi_{\alpha}^{(n)}(\mathbf{k})\right\rangle\]

这里先来推导$\mathcal{A}_{+}$

\(\langle\Phi^{(0)}_+\rvert\nabla_\mathbf{k}\rvert\Phi^{(0)}_+\rangle=(\cos(\theta_\mathbf{k}/2),\sin(\theta_\mathbf{k}/2)e^{-i\varphi_\mathbf{k}})\nabla_\mathbf{k}\left(\begin{array}{c} \cos \frac{\theta_{\mathrm{k}}}{2} \\ \sin \frac{\theta_{k}}{2} e^{i \varphi_{\mathbf{k}}} \end{array}\right)\) 下面是一些简单的导数关系 \(\nabla_\mathbf{k}\cos(\theta_\mathbf{k}/2)=-\frac{1}{2}\nabla_\mathbf{k}\theta_\mathbf{k}\sin(\theta_\mathbf{k}/2)\qquad \nabla_\mathbf{k}(\sin(\theta_\mathbf{k})e^{i\varphi_\mathbf{k}})=\cos(\theta_\mathbf{k}/2)\frac{1}{2}\nabla_\mathbf{k}\theta_\mathbf{k}e^{i\varphi_\mathbf{k}}+i\sin(\theta_\mathbf{k}/2)\nabla_\mathbf{k}\varphi_\mathbf{k}e^{i\varphi_\mathbf{k}}\\ \langle\Phi^{(0)}_+\rvert\nabla_\mathbf{k}\rvert\Phi^{(0)}_+\rangle=i\sin^2(\theta_\mathbf{k}/2)\nabla_\mathbf{k}\varphi_\mathbf{k}\\ \mathcal{A}_+^{(0)}(\mathbf{k})=-i\langle\Phi^{(0)}_+\rvert\nabla_\mathbf{k}\rvert\Phi^{(0)}_+\rangle=\sin^2(\theta_\mathbf{k}/2)\nabla_\mathbf{k}\varphi_\mathbf{k}\)

\[\begin{aligned} \nabla_\mathbf{k}\times\mathcal{A}^{(0)}_+&=\nabla_\mathcal{k}\times(\sin^2(\theta_\mathbf{k}/2)\cdot \nabla_\mathbf{k}\varphi_\mathbf{k})\\ &=\nabla_\mathbf{k}\sin^2(\theta_\mathbf{k}/2)\times\nabla_\mathbf{k}\varphi_\mathbf{k}+\nabla_\mathbf{k}\times(\nabla_\mathbf{k}\varphi\mathbf{k})\sin^2(\theta_\mathbf{k}/2)\\ &=2\sin(\theta_\mathbf{k}/2)\cos(\theta_\mathbf{k}/2)\frac{1}{2}\nabla_\mathbf{k}\theta_\mathbf{k}\times\nabla_\mathbf{k}\varphi_\mathbf{k}=\frac{1}{2}\nabla_\mathbf{k}\theta_\mathbf{k}\times\nabla_\mathbf{k}\varphi_\mathbf{k} \end{aligned}\]

$\nabla_\mathbf{k}\times(\varphi\mathcal{A})=\nabla_\mathbf{k}\varphi\times \mathcal{A}+\varphi\nabla_\mathbf{k}\mathcal{A}$

参考文章

• Tunable Weyl Points in Periodically Driven Nodal Line Semimetals

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