同伦是在学习凝聚态拓扑的时候会遇到的一个概念,尤其是在学习拓扑分类的时候.这里就整理一下同伦这个概念,自己在学习时候的笔记.
基本概念
定义一个映射
\[\phi:M\rightarrow T,\\ z\rightarrow \phi(z)\]这里的$M$是个”基本流形”(通常是$\mathbb{R}^d$),$T$在这里是”目标空间”.
在超导自发对称破缺的情况下,目标空间为$T=G/H$,这里的群$G$是研究问题的对称群,而$H$满足$H\subset G$是在Goldstone modes结构附近稳定平均场的一个子群.
- 拓扑空间
假设$X$是一个集合,$\mathcal{J}={Y_i\subset X\rvert i\in I}$是它的一系列子集.组合$(X,\mathcal{J})$是一个拓扑空间当其满足
(a) {},$X\in\mathcal{J}$
(b) 对于$J\subset I$, $\cup_{i\in J}Y_i\in\mathcal{J}$
(c) 对于一个有限子集$J\subset I$, $\cap_{i\in J}Y_i\in\mathcal{J}$
$\mathcal{J}$中的元素称为$X$的开子集(open subset).
在讨论拓扑的时候总是说一个量并不会随着场的连续形变下发生改变,无论这个形变程度有多大,而定义这种连续性就需要在拓扑空间中.
- 连续 两个拓扑空间$X,Y$之间存在一个映射$\phi$
如果任何一个开集$U\subset Y$,集合$\phi^{-1}(U)\subset X$在$X$中是开的,那么就说这个映射是连续的.
事实上，实际考虑也使我们能够更具体地了解基础流形的结构。假设我们的微观母理论被定义在一些简单连通的流形上$M\subset \mathbb{R}^d$, 我们通常所关心的都是在热力学极限下的情况,此时可以将$M$看做是”无限大”的物体.在低能理论中,这就要求在$M$的边界上场构型一定趋近于常数$\phi\rvert_{\partial M}=\text{const}$.就目前有效理论所关注而言,需要将所有的边界点看做是”无穷远”处的一个点,此时在几何上而言$M$就变成了一个紧致化的大球体.
因为在径向方向上这个球并不包含奇异点,因此可以认为此时$M\simeq S^d$,基础流形是个$d$维的单位球.此时感兴趣的就是一个场
\[\phi:S^d\rightarrow G/H\\ z\rightarrow \phi(z)\]映射一个单位球到一些陪集空间中.
现在考虑两场$phi_1,\phi_2$,如果它们可以通过连续形变转换,则二者是拓扑等价的.从概念上来讲,这个条件说明存在一个连续映射
\[\phi:S^d\times [0,1]\rightarrow G/H\\ \quad (z,t)\rightarrow \hat{\phi}(z,t),\quad \hat{\phi}(.,0)=\phi_1,\hat{\phi}(.,1)=\phi_2\]这里$\hat{\phi}$表示从$S^{d+1}$到$G/H$的一个映射.
用$[\phi]$表示拓扑等价与给定表示$\phi$的所有场的等价类.
上面的话太抽象,这里解释一下,比如有一些场构型$\Psi_1,\Psi_2,\phi_1,\phi_2,\varphi_1,\varphi_2$,其中$\phi_i,\varphi_j,\Psi_k$都是拓扑不等价的,但是$\phi_1,\phi_2$是拓扑等价的,$\Psi_1,\Psi_2$也是拓扑等价,$\varphi_1,\varphi_2$也一样,那么$[\phi],[\Psi],[\varphi]$表示的就是不同等价类,而对应它们下表不同的场,相互之间都是拓扑等价的.
这些所有拓扑等价类${[\phi]}$的映射
\[\phi: S^d \rightarrow T\]叫做第$d$阶同伦群$\pi_d(T)$.
实例
- 映射$S^1\rightarrow S^1$可以根据winding number来区分,$\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$
- 任何一个映射$S^1\rightarrow S^2$表示2维球上的闭合曲线,它是可以收缩成一个点的,$\pi_1(S^2)=\varnothing$,这个结论可以适用于任何曲线在一个简单连接的空间中.比如$\pi_1(S^{d>1})=\pi_1(SU(N))=\varnothing$
一阶同伦群在非简单连接空间就会有非平庸性质,比如当一个曲线在$d$维的圆环$T^d$上可以被分类成
\[\pi_1(T^d)=\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}\]- 当一个2维的球向自己映射的时候,可以通过它覆盖这个球的次数来进行区分$\pi_2(S^2)=\mathbb{Z}.$ 这个陈述可以推广到一般情况$\pi_d(S^d)=\mathbb{Z}$,然而$\pi_d(S^{d>k})=\varnothing$.不过这里存在一个非平庸的映射$S^k\rightarrow S^{d<k}$,比如对于Hopf映射$\pi_3(S^2)=\mathbb{Z}$.
上面的表中是一些比较的同伦关系.
在凝聚态系统中,通常时间与空间是分离开的,在利用虚时的时候采用周期边界条件就可以使得时间形成一个闭合的圆.
这里要强调的是,上面论证的有效作用量进行了一个紧致化操作,将实空间一个$d$为的欧几里得空间通过加入无穷远点从而紧致化维一个$d$维的球体$\mathbb{R}\rightarrow S^d$.通过这个操作之后,在量子统计场论中,经常遇到的基本流形就是$M\simeq S^1\times S^d$而不是粒子物理中通常遇到的$S^{d+1}$.
参考
- 1.Condensed Matter Field Theory(Alexander Altland and Ben Simons)
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