这里博客整理一下如何利用反演操作的本征值来计算$\mathcal{Z}_2$和$\mathcal{Z}_4$拓扑不变量。

当一个体系同时存在时间反演和空间反演对称性的时候，可以通过只计算时间反演不变动量点占据态对应的反演算符的本征值来快速计算体系的$\mathcal{Z}_2,\mathcal{Z}_4$拓扑不变量，这里就先说明一下反演算符的性质。

之前做过一下关于BHZ模型，通过只计算高对称点的宇称计算$\mathcal{Z}_2$拓扑不变量的文章利用Wannier90的hr数据构建动量空间能带并计算高对称点宇称，这里就是直接通过读取紧束缚的hr数据，计算了拓扑不变量，这篇博客可以和上一篇结合起来一起看，加深自己的理解。

反演算符

考虑一个量子态$\rvert\mathbf{r},\sigma\rangle$，假设反演算符为$\mathcal{I}$，那么这个量子态在反演算符下的变换为

\[\mathcal{I}\rvert\mathbf{r},\sigma\rangle=\rvert\mathbf{-r},\sigma\rangle\]

反演算符只对空间部分产生作用，自旋是不会发生变化的。对于动量空间中的量子态$\rvert\mathbf{k},\sigma\rangle$，其反演操作变化为

\[\mathcal{I}\rvert\mathbf{k},\sigma\rangle=\rvert\mathbf{-k},\sigma\rangle\]

在动量空间中将哈密顿量表示为

\[H=\sum_{\mathbf{k},\sigma,\sigma^\prime}\rvert\mathbf{k},\sigma\rangle H(\mathbf{k})_{\sigma,\sigma^\prime}\langle\mathbf{k},\sigma\rvert\]

将空间反演操作作用上去就可以得到

\[\begin{equation}\begin{aligned}\mathcal{I}H\mathcal{I}^{-1}&=\sum_{\mathbf{k},\sigma,\sigma^\prime}\mathcal{I}\rvert\mathbf{k},\sigma\rangle H(\mathbf{k})_{\sigma,\sigma^\prime}\langle\mathbf{k},\sigma\rvert\mathcal{I}^\dagger\\&=\sum_{\mathbf{k},\sigma,\sigma^\prime}\rvert\mathbf{-k},\sigma\rangle H(\mathbf{k})_{\sigma,\sigma^\prime}\langle\mathbf{-k},\sigma\rvert\\&=\sum_{\mathbf{k},\sigma,\sigma^\prime}\rvert\mathbf{k},\sigma\rangle H(\mathbf{-k})_{\sigma,\sigma^\prime}\langle\mathbf{k},\sigma\rvert\end{aligned}\end{equation}\]

到这里就可看到，如果在动量空间中，哈密顿量满足

\[H(\mathbf{k})=H(\mathbf{-k})\]

那么就说明哈密顿量有空间反演对称性

\[\mathcal{I}H\mathcal{I}^{-1}=H\]

$\mathcal{Z}_4$

在明白了空间反演操作之后，接下来就来看如何计算$\mathcal{Z}_4$拓扑不变量

\[\kappa=\frac{1}{4}\sum_{\mathbf{k}\in\text{TRIM}}(n_\mathbf{k}^+-n_\mathbf{k}^-)\quad\text{mod}\quad 4\]

这里的$n_\mathbf{k}^+$表示在$\mathbf{k}$这个动量处，对应的反演操作本征值为$+$的能带的数量。

除了强拓扑指标，还有弱拓扑指标，其实也就是在固定某一个$k_i=\pi$，计算剩下维度在时间反演不变动量点上的宇称值

\[w_i=\frac{1}{4}\sum_{\mathbf{k}\in\text{TRIM}}^\prime(n_\mathbf{k}^+-n_\mathbf{k}^-)\quad\text{mod}\quad 2\]

$\mathcal{Z}_2$

假设系统存在一个反演中心${\bf r}=0$,且满足反演对称性

\[[\mathcal{H},P]=0\qquad H(-{\bf k})=PH({\bf k})P^{-1}\qquad P\rvert {\bf r},s_z\rangle=\rvert {\bf -r},s_z\rangle\]

这里${\bf r}$是三维空间坐标,$s_z$表示自旋,因为自旋是赝矢量,所以在空间反演下是不会改变的.

当系统存在时间反演时贝利矢势满足$\mathcal{F}({\bf -k})=-\mathcal{F}({\bf k})$,存在空间反演时$\mathcal{F}({\bf -k})=\mathcal{F}({\bf k})$,贝利曲率为$\nabla_k\times \mathcal{A}({\bf k})$

\[\mathcal{A}({\bf k})=-i\sum_{n=1}^{2N}\langle u_{n,{\bf k}}\rvert\nabla_k\rvert u_{n,{\bf k}}\rangle\]

这里需要对所有的占据态求和$2N$,从上面可以知道,当同时存在空间反演与时间反演时$\mathcal{F}({\bf k})=0$,则可以选择一个全局连续的”横场”规范$\mathcal{A}({\bf k})=0$.

在任意规范下,考虑一个$2N\times 2N$的矩阵

\[v_{mn}({\bf k})=\langle u_{m,{\bf k}}\rvert P\Theta\rvert u_{n,{\bf k}}\rangle\]

由于$\langle a\rvert b\rangle=\langle\Theta b\rvert\Theta a\rangle$以及$\Theta^2=-1$,所以矩阵$v({\bf k})$是个反对称矩阵,而且$[P\Theta,H({\bf k})]=0$,所以$v({\bf k})$是幺正的,因此可以定义$v({\bf k})$的Pfaffian,并且它是幺模的.$\text{Pf}[v({\bf k})]$的位相是和规范选择相关的,它的梯度和$\mathcal{A}({\bf k})$是紧密相关的.

\[\mathcal{A}({\bf k})=-\frac{i}{2}\text{Tr}[v({\bf k})^\dagger\nabla_kv({\bf k})]=-i\nabla_k\log[\text{Pf}[v({\bf k})]]\]

上面的推导中用到了$\qquad\text{det}[v]=\text{Pf}[v]^2\qquad\nabla_k\log[\text{det}[v]]=\text{Tr}[\nabla_k\log[v({\bf k})]]=\text{Tr}[v^\dagger({\bf k})\nabla_kv({\bf k})]$

为了满足$\mathcal{A}({\bf k})=0$这个条件,只需要调整$\rvert u_{n\bf k}\rangle$的位相,使其满足

\[\text{Pf}[v({\bf k})]=1\]

在计算$\mathcal{Z}_2$的时候,需要计算

\[w_{mn}({\bf k})\equiv\langle u_{m\bf -k}\rvert\Theta\rvert u_{n\bf k}\rangle\]

再结合空间反演操作$P$,可得到

\[w_{mn}(\Gamma_i)=\langle\psi_{m,\Gamma_i}\rvert P(P\Theta)\rvert\psi_{n,\Gamma_i}\rangle\]

这里$\Gamma_i$表示时间反演不变动量点,$P^2=1$,将$\rvert u_{n\Gamma_i}\rangle$代替为$\rvert\psi_{n\Gamma_i}\rangle=\rvert\psi_{n-\Gamma_i}\rangle$.因为$[\mathcal{H},P]=0,\rvert\psi_{n\Gamma_i}\rangle$是$P$的本征态,对应的本征值为$\xi_n(\Gamma_i)=\pm 1$,当把$\rvert \psi_{n\Gamma_i}\rangle$回代为$\rvert u_{n\Gamma_i}\rangle$之后

\[w_{mn}(\Gamma_i)=\xi_m(\Gamma_i)v_{mn}(\Gamma_i)\]

矩阵$w$的Pfaffian满足

\[\text{Pf}[w]^2=\text{det}[w]=\text{det}[v]\Pi_{n=1}^{2N}\xi_n\label{eq1}\]

由于Kiamers简并的存在$\rvert u_{2m,\Gamma_i}\rangle$与$\rvert u_{2m+1,\Gamma_i}\rangle=\Theta\rvert u_{2m,\Gamma_i}\rangle$具有相同的宇称本征值,则(\ref{eq1})的乘积中,每个本征值都会出现两次,取平方根可得

\[\text{Pf}[w]=\text{Pf}[v]\Pi_{m=1}^{N}\xi_{2m}\]

由于$\text{Pf}[v]=1$,则在”横场”规范下,可以得到

\[\delta_i=\frac{\sqrt{\text{det}[w(\Gamma_i)]}}{\text{Pf}[w(\Gamma_i)]}=\pm 1=\Pi_{m=1}^{N}\xi_{2m}(\Gamma_i)\]

对于二维系统,单个$\mathcal{Z}_2$不变量表示为

\[(-1)^\nu=\Pi_{i=1}^4\delta_i\]

在三维有8个时间反演不变动量点,将会存在4个独立的$\mathcal{Z}_2$不变量,其中的$\nu_0$表示为8个时间反演不变动量点的乘积

\[(-1)^\nu=\Pi_{i=1}^8\delta_i\]

其余的三个则是处在相同平面上4个时间反演不变动量点的乘积

\[(-1)^{\nu_k}=\Pi_{n_k=1;n_{j\neq k=0,1}}\delta_{i=(n_1,n_2,n_3)}\]