我在前面先预告了一版对称性约束$\mathbf{k}\cdot \mathbf{p}$哈密顿量(预告版),这里就详细的整理一下这个代码的思路和每一行代码的想法.
理论背景
其实对称性约束$\mathbf{k}\cdot\mathbf{p}$哈密顿量的核心公式就是
\[C_mH(\mathbf{k})C_m^{-1}=H(R_m\mathbf{k})\label{q1}\]而接下来我们需要知道的是两件事情,第一就是
\[R_m\mathbf{k}\rightarrow ?\]第二就是$C_m$操作的矩阵表示,这两个就是计算所需要的输入参数.
通过公式(\ref{q1})我们可以明白,当确定了操作的表示之后,那么表示的维度就与哈密顿量的维度是相同的了,因为公式(\ref{q1})其实看起来不单单是个抽象的表达式,你也可以将它看做是矩阵运算,这当然是没问题的.
当知道了上面两个输入参数之后,接下来就是如何表示哈密顿量了.其实也很简单,既然我是要求具体的形式,那么我就先将它展开成一个一般的形式,然后在通过对称性进行约束,也就是公式(\ref{q1})的作用了.那么接下来就将哈密顿量展开
\[H(k_x,k_y,k_z)=1\times\Gamma_1 + k_x\Gamma_2 + k_y\Gamma_3 + k_z\Gamma_4 + k_xk_y\Gamma_5 + k_xk_z\Gamma_6 + k_yk_z\Gamma_7 + \cdots\]其实也就将哈密顿量类似于Taylor级数一样展开,只不过这里有两点不同,第一点是多项式前面的展开系数都是1,因为我们最终总是要通过具体的参数来表示前面的系数,所以这里有没有个常数的系数其实并没有什么影响,我们总可以$3\times c_1\rightarrow c_1$.第二点不同就是这里不但有多项式的展开,同样还有矩阵展开$\Gamma_i$,这里的每一个矩阵的维度都与我们选择的表示的维度是相同的.
在程序中我们想要实现这个哈密顿量展开就需要一点小技巧,首先我们知道哈密度量一定是厄米的,所以我们可以将厄米矩阵分解成一个对称矩阵和反对称矩阵的和
\[H=A+i\times B\\ H^\dagger=A-i\times B\\ A^T=A\quad B^T=-B\]这里的$i$就是虚数单位,$A$是个对称矩阵,$B$就是一个反对称矩阵.这么做的优点就是当我们再考虑反幺正操作(操作中带有复共轭操作)的时候,我们可以直接利用$H^\dagger$而不是对$H$去求共轭,这个在我们想法上看起来好像是等价的,但是在程序实现起来就有点麻烦了,因为如果想要直接对$H$求共轭操作,那么涉及到的是符号计算,这在程序执行过程中就会很麻烦.所以分别定义$H^\dagger$和$H$在程序计算的时候就不用单独执行共轭操作了,这是写这个程序的第一个小技巧.
那么通过对称矩阵和反对称矩阵构建出来哈密顿量之后,如何确定那些参数应该消失呢?还是利用公式
\[C_mH(\mathbf{k})C_m^{-1}=H(R_m\mathbf{k})\]我们可以通过符号计算分别得到等式左右两端的表达式,这个时候对两个结果求差,那么公式(\ref{q1})告诉我们在对称性的约束下它们的差一定要是零,所以我们就需要令程序计算中两者的差为零,这样就可以得到哈密顿量展开中,$\Gamma_i$矩阵中参数之间的关系.
比如某一个$\Gamma_i$矩阵中分别有参数
\[c_1,c_2,c_3,c_4\]在刚开始的时候它们是相互独立的,但是再通过对称性的限制之后可能就有
\[c_1=c_2=c_3\]这样我们就将原本4个独立的参数约化成了两个独立的参数.这也就是利用对称性约束来得到参数约化的目的.而对于每一个对称操作,我们都可以进行这样的约化过程.但是这里在写程序的时候有个小track,虽然不同的对称操作对哈密顿量约束的时候是相互独立的,但是我们的目的就是要利用这些对称操作来将哈密顿量展开的矩阵形式中的参数约束到最少,所以在依次利用对称操作来约束哈密顿量的时候,比如我们用$C_1$约束完了哈密顿量得到了一些参数之间的约束关系
\[c_1=c_2=c_3\]我们要现将这些关系代入到我们哈密顿量的参数中,这样才算是达到了参数约化的目的,此时相当于我们得到了一个新的哈密顿量,接下来就是将系统的每一个对称操作轮流执行一遍,这样就可以得到在这些对称性约束下面的最简形式的哈密顿量.以上也就是实现对称性约束$\mathbf{k}\cdot\mathbf{p}$哈密顿量的主要思想.
因为暂时没有很好的办法直接在Blog上面放置Mathematica的代码,所以关于代码详细的解释可以下载代码查看,我在里面给出了详细的解释.
代码下载
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