最近正好有些空闲的时间，发现自己对拓扑中的一些理解并不深刻，正好借这个机会重新学习一下，加深自己对其中内容的理解，也能让自己之后的研究走的更远。

Majorana zero modes in nanowire networks

实现拓扑超导最主要的目的就是利用其中的Majorana模式进行拓扑量子计算，如果可以实现一个由Majorana零能模构成的网络，如下图所示

那么就可以对Majorana模式进行操作。在图中，可以看到一个纳米线，在几个马约拉纳零模式之间有许多$t$形结(这就是为什么我们称它为网络)。这里先不去关心纳米线网络的微观描述，因为它与Majorana的替代平台上的类似结构在一些无关的方面有所不同。为了固定想法，你可以想象系统可以Kitaev链toy model有效地描述，Majorana模式位于畴壁的位置，在那里能隙改变符号，正如前面所讨论的。

唯一能区分Majorana零模的是它们在网络中的位置。它们没有其他的“味道”可以让我们描述它们。它们彼此是相同的，就像所有的电子都是相同的。如果我们在空间中交换两个Majorana，交换后的系统看起来会和交换前完全一样。

一个由相同粒子组成的系统，在两个粒子交换的情况下，量子态$\rvert \Psi\rangle$ 的行为是非常有趣的。我们已经知道，对于玻色子和费米子$\rvert \Psi\rangle\to\pm\rvert \Psi\rangle$。要了解马约拉纳子的情况，我们首先必须学习如何写出量子态$\rvert \Psi\rangle$对应于一组Majorana费米子，如上图所示。

The Hilbert space of a set of Majoranas

从现在起，重要的是要记住，如果只考虑与Majorana零模相对应的态，同时就忽略了体态(只关注边界态)。此时可以假设能谱为：

基于对Kitaev链的了解，这个假设对目前来说应该是合理的。因为有几个Majorana模式，就会有几个能量都为零的状态，形成一个“ground state mainfold”。现在让就更详细地探讨由这个简并态集定义的ground state mainfold。

在上面的图中看到六个Majorana模式，也就是三对，但让我们考虑一下更普遍的情况$N$对。因为$\gamma_n$没有出现在哈密顿量中，所以$2N$中的每一个$n$对应的都是一个简并的量子态。然而，就像Majorana模成对出现一样，它们只能成对地被赋予量子态。为了给Majorana模式分配量子态，我们可以对马约拉纳子形成费米子模式

\[c^\dagger_n = \tfrac{1}{2}(\gamma_{2n-1}+i\gamma_{2n}),\qquad c_n =\tfrac{1}{2}(\gamma_{2n-1}-i\gamma_{2n})\,,\]

对于$n=1,\dots, N$，利用这种表示方法，我们选择将相邻的Majorana模式配对成费米子模式，可以得到现在有一组$N$费米子模式和相应的产生和湮灭算符。每个模可以是空的，也可以被一个费米子占据，对于每一对Majorana模式，我们得到了两种可能的简并量子态$\rvert 0\rangle$和$\rvert 1\rangle$，因为基态是简并的，所以如果有$N$对这样的算符，那么对应的基态简并度就是$2^N$。

回到之前的草图，可以将情况表示为：

Majorana模式的颜色现在明确了我们如何将它们配对成费米子模式的选择。总的来说，上述系统有8种可能的状态，对应于3种费米子模式的占据数的所有可能组合。概括起来，我们将有$N$对马约拉纳的$2^N$可能的量子态。我们可以用ket来表示每一个这样的状态：

\[\rvert s_1, s_2, \dots, s_N\rangle\]

其中$s_n$表示如果第$n$费米子模式未被占据，则等于$0$，如果第$n$费米子模式被占用，则等于$1$。这些态是Majorana模式集合的希尔伯特空间的一个“完整基”。注意，这些基态都是算子$P_n \equiv 1-2c^\dagger_n c_n \equiv i\gamma_{2n-1}\gamma_{2n}$的本征态。例如，这里有

\[P_1 \rvert 0, \dots \rangle\ = (1-2c^\dagger_1 c_1)\rvert 0, \dots \rangle= + \rvert 0, \dots \rangle\,,\] \[P_1 \rvert 1, \dots \rangle\ = (1-2c^\dagger_1 c_1)\rvert 1, \dots \rangle= - \rvert 1, \dots \rangle\,,\]

以此类推。算符$P_n$是对马约拉纳$\gamma_{2n-1}$和$\gamma_{2n}$的费米子奇偶算符。在这一点上，有必要提醒一下，不同的Majorana算符彼此之间都是满足反对易关系的。这意味着一对Majorana算子的乘积可以与另一对算子的乘积交换，例如：

\[(\gamma_1\gamma_2)(\gamma_3\gamma_4) = (\gamma_3\gamma_4)(\gamma_1\gamma_2)\,.\]

然而，如果两对共用一个Majorana模式，那么他们就不再满足对易关系了，例如：

\[(\gamma_1\gamma_2)(\gamma_2\gamma_3) = - (\gamma_2\gamma_3)(\gamma_1\gamma_2)\,.\]

当然，上面的乘积也可以简化:因为$\gamma_2^2=1$，所以有$(\gamma_1\gamma_2)(\gamma_2\gamma_3)=\gamma_1\gamma_3$。所有$P_n$之间的都是相互对易的，因为它们都涉及到不同的一对Majorana模式。

因此，一组$N$个Majorana模式对的希尔伯特空间$\rvert \Psi\rangle$由交换费米子奇偶算符$P_n$的共同本征态$\rvert s_1,s_2，\dots,s_N\rangle$所张开，并表示为

\[\rvert \Psi\rangle= \sum_{s_n=0,1} \alpha_{s_1s_2\dots s_N}\,\rvert s_1, s_2, \dots, s_N\rangle\,\]

这里的系数$\alpha_{s_1s_2\dots s_N}$是个复数。

上面的考虑只适用于封闭系统。如果考虑的是一个与电子库接触的系统，如金属铅，在这种情况下，电子可能通过隧穿进入铅电极，从而改变系统的总宇称(parity)。这个时候如果只考虑整个系统的一部分，上面的讨论也不适用。例如，在上面的示意图中，在没有明确绘制的网络部分(由纳米线“延续”的点表示)有更多的马约拉纳零模式。在这种情况下，完全有可能是整个网络处于偶宇称态，但所考虑的子系统处于奇偶宇称的叠加状态。

Non-Abelian statistics of Majoranas

现在让想象一下，实验家不仅能够建立上图所示的一个网络，还能够移动domain wall的位置，并交换两个Majorana的位置，例如，通过执行以下轨迹：

假设移动上图所示的轨迹需要的时间是T。在移动过程中，系统被描述为一个时间相关的哈密顿量$H(t)$， $0\leq t \leq T$。这个哈密顿量包含了系统的所有细节，比如Majorana所在的domain wall的位置。因为系统的最终构型与初始构型相同，例如，所有的域壁都位于与开始时相同的位置，所以此时有$H(0)=H(T)$(初末态总是相同)。换句话说，此时考虑的是一个将哈密顿量带回自身的闭合的移动。为了确保系统的波函数不离开基态流形$\rvert \Psi\rangle$，我们需要缓慢的改变哈密顿量$H(t)$，使得演化过程服从绝热定理。

假设在绝热极限下交换两个Majorana模式$\gamma_n$和$\gamma_m$。在量子力学中，初始和末态的量子态通过一个幺正算符$U$ ($U^{-1}=U^\dagger$)联系起来

\[\rvert \Psi\rangle_{\rm final} \,\to\, U \rvert \Psi\rangle_{\rm start}\]

因为量子态$\rvert \Psi\rangle$从不离开具有$2^N$状态的基态流形，这里的幺正算符$U$可以写成$2^N\times 2^N$的幺正矩阵。

这里可以推导出幺正矩阵$U$的明确形式，而不需要直接计算，这需要知道$H(t)$，但只需要基于以下一般性考虑。首先，两个Majorana模式在绝热交换过程中不会改变系统中电子数的奇偶性，因此幺正算符$U$与总费米子奇偶性$[U, P_\textrm{tot}]=0$满足对易关系(类似于守恒量)。其次，可以合理地假设幺正算符$U$只依赖于参与交换的Majorana模式，或者换句话说，它是$\gamma_n$和$\gamma_m$的函数，而不依赖于任何其它运算符。因为它必须保持费米子的宇称，它只能依赖于它们的乘积，也就是宇称算符$-i\gamma_n\gamma_m$，这是厄密算符。最后，$i$乘以厄米算符的指数是一个幺正算符。所以，一般来说$U$必须采取这种形式

\[U\equiv\exp(\beta \gamma_n \gamma_m) = \cos(\beta) + \gamma_n\gamma_m \sin(\beta)\,,\]

这里，$\beta$是一个要确定的实系数，在上一个等式中，使用了$(\gamma_n\gamma_m)^2=-1$这个等式。要确定$\beta$，可以方便利用Heisenberg绘景，并查看Majorana算符的随时间的演化。可以得到

\[\gamma_n\,\to\, U\,\gamma_n\,U^\dagger\,,\\ \gamma_m\,\to\, U\,\gamma_m\,U^\dagger\,.\]

利用前面幺正算符$U$可以得到

\[\gamma_n\,\to\, \cos (2\beta)\,\gamma_n - \sin(2\beta)\,\gamma_m\,,\\ \gamma_m\,\to\, \cos (2\beta)\,\gamma_m + \sin(2\beta)\,\gamma_n\,.\]

现在我们必须记住，在$T$时刻，我们已经完成了一个闭合演化，因此，Majorana模式$\gamma_n$现在位于$\gamma_m$最初占据的位置，反之亦然。这个条件导致选择$\beta = \pm \pi/4$。可以发现这两个取值都是可能的，这也并不奇怪——这就区分了Majorana模式之间是顺时针还是逆时针交换。因此，我们可以将交换Majorana模式$\gamma_n$和$\gamma_m$的幺正算符写成显式的(看起来有些不平庸)形式：

\[U = \exp \left(\pm\frac{\pi}{4}\gamma_n \gamma_m\right) = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\left(1\pm\gamma_n\gamma_m\right)\]

为了修正我们的想法并更深入地研究$U$的结果，我们可以只关注四个Majorana模式 $\gamma_1，\gamma_2，\gamma_3,\gamma_4$。对于本文的讨论，我们将假设逆时针交换，并选择$U$中的$+$符号。这个基态流形有四种状态，利用之间介绍的符号，可以将这四个基态表示为

\[\rvert 00\rangle, \rvert 11\rangle, \rvert 01\rangle, \rvert 10\rangle\,,\]

其中第一个数字是费米子模式$c^\dagger_1=\tfrac{1}{2}(\gamma_1+i\gamma_2)$的占位号，第二个数字是$c^\dagger_2=\tfrac{1}{2}(\gamma_3+i\gamma_4)$的占据数。最一般的波函数是这四个基态的叠加函数

\[\rvert \Psi\rangle = s_{00}\rvert 00\rangle + s_{11} \rvert 11\rangle + s_{01} \rvert 01\rangle + s_{10} \rvert 10\rangle\,,\]

我们也可以表示为一个有四个分量的向量，$\rvert \Psi\rangle = (s_{00}， s_{11}， s_{01}， s_{10})^T$。此时运算符$U$可以写成$4\ * 4$矩阵。为了做到这一点，你只需要计算一个Majorana乘积在基态上的作用。这是一个简单但繁琐的操作，在这里先跳过。运算符$U_{12}， U_{23}$和$U_{34}$交换相邻的Majorana模式得到以下矩阵：

\[U_{12} = \exp\left(\frac{\pi}{4}\gamma_1 \gamma_2\right) \equiv\begin{pmatrix} e^{-i\pi/4} & 0 & 0 & 0 \\0 & e^{i\pi/4} & 0 &0 \\0 & 0& e^{-i\pi/4} &0 \\ 0&0& 0& e^{i\pi/4} \end{pmatrix}\] \[U_{23} = \exp\left(\frac{\pi}{4}\gamma_2 \gamma_3\right) \equiv\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -i & 0 & 0\\ -i & 1 & 0& 0\\ 0& 0& 1 & -i\\ 0& 0& -i & 1 \end{pmatrix}\] \[U_{34} = \exp\left(\frac{\pi}{4}\gamma_3 \gamma_4\right) \equiv\begin{pmatrix} e^{-i\pi/4} & 0 & 0 & 0\\ 0& e^{i\pi/4} & 0& 0\\ 0& 0& e^{i\pi/4} & 0\\ 0& 0& 0& e^{-i\pi/4} \end{pmatrix}\]

这些矩阵确实以一种非平庸的方式作用于波函数。例如，如果我们从状态$\rvert 00\rangle$开始，我们交换$\gamma_2$和$\gamma_3$，我们得到

\[\rvert 00\rangle\,\to\,U_{23}\rvert 00\rangle=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\rvert 00\rangle-i\rvert 11\rangle\right)\,,\]

这是状态的叠加！因此，我们已经清楚地看到，两个Majorana模式交换对波函数的影响不仅仅是一个整体相位，这与发生在玻色子和费米子中的情况是不相同的。现在尝试两个交换序列。在这种情况下，我们必须乘以相应的幺正操作$U$，根据交换的顺序从右到左排列。考虑到上面的矩阵不是对角矩阵，乘积的顺序当然很重要。这里可以检查一下：

\[U_{23}U_{12}\neq U_{12}U_{23}\,\]

通过上面的分析证明了交换两个马约拉纳模会导致基态流形中的非平庸转动，并且改变交换的顺序会影响最终的结果。这些性质表明Majorana模式是非阿贝尔任意子。两个非阿贝尔任意子的交换通常被称为编织，这个名字暗示了这样一个事实：当考虑不同粒子的轨迹时，交换序列看起来就像由不同的线组成的编织。

最后，可能会有疑问，即图中绘制的纳米线网络只允许交换相邻的马约拉纳，虽然推导的$U=\exp(\pi\gamma_n\gamma_m/4)$似乎适用于任何一对马约拉纳。这种几何限制并不是大问题：通过仔细组合相邻模式之间的多次交换，我们可以交换任意一对马约拉纳。例如，你有$U_{13}\equiv\exp\left(\pi\gamma_1 \gamma_3/4\right) = U_{12}^\dagger U^\dagger_{23}U_{12}$。

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