拓扑绝缘体在磁场下的 Landau 能级

磁场导致的Landau 能级

电子在磁场中运动时，动量要替换为协变动量

$$\boldsymbol{\pi}=\mathbf p+e\mathbf A, \qquad \mathbf B=\nabla\times \mathbf A.$$

这里$e>0$表示基本电荷量，电子电荷为$-e$。假设磁场垂直于二维平面$\mathbf B=B\hat z$，定义磁长度

$$\ell_B=\sqrt{\frac{\hbar}{eB}}.$$

正则动量算符满足

$$[\pi_x,\pi_y]=-i\hbar eB=-i\frac{\hbar^2}{\ell_B^2},$$

这说明$\pi_x$和$\pi_y$不能够同时对角化。数学上它们和谐振子变量完全类似，因此我们定义升降算符

$$a=\frac{\ell_B}{\sqrt{2}\hbar}(\pi_x-i\pi_y),\qquad a^\dagger=\frac{\ell_B}{\sqrt{2}\hbar}(\pi_x+i\pi_y),$$

可以验证

$$[a,a^\dagger]=1$$

这就是 Landau 量子化最核心的一步：把磁场中的电子运动化成谐振子问题。反过来可以将正则动量算符用升降算符表示

$$\pi_x=\frac{\hbar}{\sqrt2\,\ell_B}(a+a^\dagger),\qquad \pi_y=\frac{\hbar}{i\sqrt2\,\ell_B}(a-a^\dagger)$$

同时使用的组合写法为

$$k_\pm \equiv k_x\pm i k_y=\frac{\pi_x\pm i\pi_y}{\hbar},$$

因此

$$k_+=\frac{\sqrt2}{\ell_B}a^\dagger,\qquad k_-=\frac{\sqrt2}{\ell_B}a,\qquad k_x^2+k_y^2=\frac{\pi_x^2+\pi_y^2}{\hbar^2} =\frac{2a^\dagger a+1}{\ell_B^2}.\label{eq:p1}$$

在实际的模型求解中就是将$k_{\pm},k^2$替换成上面的算符，然后求解本征值以及本征态。

二维电子气模型

首先来看最简单的自由电子气模型

$$H=\frac{\pi_x^2+\pi_y^2}{2m}.\label{eq:p2}$$

将方程$\eqref{eq:p1}$代入得到

$$\pi_x^2+\pi_y^2 = \frac{\hbar^2}{\ell_B^2}(2a^\dagger a+1).$$

可以将哈密顿量$\eqref{eq:p2}$表示为

$$H=\frac{\hbar^2}{2m\ell_B^2}(2a^\dagger a+1) =\hbar\omega_c\left(a^\dagger a+\frac12\right),$$

其中$\omega_c=\frac{eB}{m}$是电子回旋频率，从而得到加入磁场之后的本征能谱

$$E_n=\hbar\omega_c\left(n+\frac12\right),\qquad n=0,1,2,\cdots$$

这就是最普通的 Landau 能级。

三维拓扑绝缘体

三维拓扑绝缘体的低能物理，最重要的是表面态，其体内是绝缘的，真正低能导电的是表面上的二维 Dirac 费米子。因此，通常说“三维拓扑绝缘体在磁场下的 Landau 能级”，首先指的是表面 Dirac 态的 Landau 量子化。加入磁场之后，表面态的哈密顿量为

$$H=v_F(\sigma_x\pi_y-\sigma_y\pi_x)+\Delta\sigma_z.$$

其中$v_F$是表面费米速度，$\Delta$是质量项，可来自于Zeeman场耦合、磁性掺杂或者交换场。$\Delta=0$时哈密顿量是无质量的Dirac锥，$\Delta\neq0$时表面态打开能隙。首先来将哈密顿量表示为矩阵形式

$$\sigma_x\pi_y-\sigma_y\pi_x = \begin{pmatrix} 0 & \pi_y+i\pi_x\\ \pi_y-i\pi_x & 0 \end{pmatrix}.$$

结合关系式

$$\begin{aligned} &\pi_y+i\pi_x=i(\pi_x-i\pi_y)=i\sqrt2\frac{\hbar}{\ell_B}a,\\ &\pi_y-i\pi_x=-i(\pi_x+i\pi_y)=-i\sqrt2\frac{\hbar}{\ell_B}a^\dagger, \end{aligned}$$

得到

$$H= \begin{pmatrix} \Delta & i\omega_B a\\ -i\omega_B a^\dagger & -\Delta \end{pmatrix}, \qquad \omega_B=\sqrt2\,\frac{\hbar v_F}{\ell_B}.$$

• 考虑$n\ge 1$

由于算符$a$会将Landau能级指标降1，$a^\dagger$会将Landau能级指标升1，因此可以假设本征态为

$$\Psi_n= \begin{pmatrix} u_n|n-1\rangle\\ v_n|n\rangle \end{pmatrix}, \qquad n\ge1.$$

代入本征方程$H\Psi_n=E\Psi_n$可得

$$\begin{cases} \Delta u_n+i\omega_B\sqrt n\,v_n = E u_n,\\[1ex] -i\omega_B\sqrt n\,u_n-\Delta v_n = E v_n. \end{cases}$$

这是一个$2\times 2$的本征值问题

$$\begin{pmatrix} \Delta & i\omega_B\sqrt n\\ -i\omega_B\sqrt n & -\Delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_n\\ v_n \end{pmatrix} = E \begin{pmatrix} u_n\\ v_n \end{pmatrix}.$$

令行列式为零

$$\det \begin{pmatrix} \Delta-E & i\omega_B\sqrt n\\ -i\omega_B\sqrt n & -\Delta-E \end{pmatrix} =0,$$

得到能谱关系

$$E^2=\Delta^2+\omega_B^2 n.$$

从而有

$$E_{n,\pm}=\pm \sqrt{\Delta^2+\omega_B^2 n} =\pm \sqrt{\Delta^2+\frac{2n\hbar^2 v_F^2}{\ell_B^2}}.$$

利用$\ell_B^2=\hbar/(eB)$化简可得

$$\boxed{ E_{n,\pm}=\pm \sqrt{\Delta^2+2ne\hbar v_F^2B}, \qquad n\ge1. }$$

• 考虑$n=0$

当$n=0$的时候，因为上分量对应$|n-1\rangle$，当$n=0$的时候$|-1\rangle$不存在，所以零能本征态只能是

$$\Psi_0= \begin{pmatrix} 0\\ |0\rangle \end{pmatrix}.$$

代入哈密顿量为

$$H\Psi_0= \begin{pmatrix} i\omega_B a|0\rangle\\ -\Delta |0\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ -\Delta |0\rangle \end{pmatrix},$$

因为$a|0\rangle=0$，因此

$$\boxed{E_0=-\Delta.}$$

该能级与磁场$B$无关，始终是无色散的。对于磁场下的表面态，可以发现

$$E_n\propto \sqrt{nB},$$

与自由电子气

$$E_n\propto nB$$

截然不同，根源就在于普通电子气的色散是$E\sim k^2$，而Dirac表面态色散$E\sim k$。而且表面态存在$n=0$的特殊零模，它只有一个分量，不像$n\ge 1$的能级那样是由两分量耦合而成，所以这是Dirac朗道能级的核心特征。而且磁场带来的$\Delta$项会将零能模从零能移开，所以表面态一旦因为磁性打开能隙，零模就不再固定在$E=0$。

Clear["`*"]
d0 = 1;
f1[n_, B_] := Sqrt[d0^2 + 2 n B]
Plot[#, {B, 0, 0.5}, PlotLegends -> None, 
    ImageSize -> Large] & /@ {Table[{f1[n, B], -f1[n, B]}, {n, 0, 
     10}]} // Show

二维拓扑绝缘体

二维拓扑绝缘体的标准低能模型是 BHZ 模型。 它描述的是电子带和空穴带反转后的低能结构。模型基底通常可理解为两类轨道自由度与两个自旋块的组合，因此哈密顿量写成两个互为时间反演的$2\times 2$的子块，其中一个子块表示为

$$h(\mathbf k)=\epsilon(\mathbf k)\sigma_0+d_x\sigma_x+d_y\sigma_y+d_z\sigma_z,$$

其中

$$\epsilon(\mathbf k)=C-D\\ d_x=A k_x,\qquad d_y=-A k_y,\qquad d_z=M-\mathcal B(k_x^2+k_y^2).$$

于是

$$h(\mathbf k)= \begin{pmatrix} C+M-(D+\mathcal B)k^2 & A k_+\\ A k_- & C-M-(D-\mathcal B)k^2 \end{pmatrix}.$$

另外一个时间反演块为

$$h^*(-\mathbf k)= \begin{pmatrix} C+M-(D+\mathcal B)k^2 & -A k_-\\ -A k_+ & C-M-(D-\mathcal B)k^2 \end{pmatrix}.$$

整个BHZ哈密顿量为

$$H_{\rm BHZ}= \begin{pmatrix} h(\mathbf k) & 0\\ 0 & h^*(-\mathbf k) \end{pmatrix}.$$

其中参数$A$表示电子带与空穴带的线性耦合强度，$M$为质量项，决定是否带反转，$\mathcal B,D$是二次色散修正，$C$是整体能量平移。在磁场下，使用替换

$$k_+=\frac{\sqrt2}{\ell_B}a^\dagger,\qquad k_-=\frac{\sqrt2}{\ell_B}a,\qquad k^2=\frac{2a^\dagger a+1}{\ell_B^2}.$$

从而有

$$h= \begin{pmatrix} C+M-(D+\mathcal B)\dfrac{2a^\dagger a+1}{\ell_B^2} & \dfrac{\sqrt2A}{\ell_B}a^\dagger \\[2ex] \dfrac{\sqrt2A}{\ell_B}a & C-M-(D-\mathcal B)\dfrac{2a^\dagger a+1}{\ell_B^2} \end{pmatrix}.$$

注意这里的非对角项会把 Landau 指标改变 1，因此本征态的两个分量必须搭配不同的 Landau 轨道。

• 考虑$n\ge 1$

设本征态为

$$\Psi_n^{(+)}= \begin{pmatrix} u_n|n\rangle\\ v_n|n-1\rangle \end{pmatrix}, \qquad n\ge1.$$

因为上分量中的$a^\dagger$作用到$|n-1\rangle$之后会得到$\sqrt n |n\rangle$，而下分量重的$a$作用到$\sqrt{n}$上会得到$\sqrt n |n-1\rangle$，这样的两分量正好闭合成一个$2\times 2$的问题，代入之后得到

$$\begin{pmatrix} C+M-\dfrac{(D+\mathcal B)(2n+1)}{\ell_B^2} & \dfrac{\sqrt{2n}A}{\ell_B} \\[2ex] \dfrac{\sqrt{2n}A}{\ell_B} & C-M+\dfrac{(\mathcal B-D)(2n-1)}{\ell_B^2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_n\\ v_n \end{pmatrix}=E \begin{pmatrix} v_n\\ v_n \end{pmatrix}$$

这个矩阵的本征值可以表示为“平均值$\pm$平方根”的形式，首先计算平均值

$$\frac{E_{11}+E_{22}}{2} = C-\frac{2Dn+\mathcal B}{\ell_B^2}.$$

再计算“半差”

$$\frac{E_{11}-E_{22}}{2} = M-\frac{2\mathcal B n + D}{\ell_B^2}.$$

于是得到本征值为

$$\boxed{ E_{n,s}^{(+)} = C-\frac{2Dn+\mathcal B}{\ell_B^2} +s\sqrt{ \frac{2nA^2}{\ell_B^2} +\left( M-\frac{2\mathcal B n+D}{\ell_B^2} \right)^2 }, \quad n\ge1,\ s=\pm. }$$

• $n=0$情形

当$n=0$时，下分量$|n-1\rangle$不存在，因此只有

$$\Psi_0^{(+)}= \begin{pmatrix} |0\rangle\\ 0 \end{pmatrix}.$$

其能量直接由上对角元给出

$$E_0^{(+)}=C+M-\frac{D+\mathcal B}{\ell_B^2}.$$

对于子块$h^*(-\mathbf k)$，它与$h(\mathbf k)$的非对角项结构不同，因此自然选择

$$\Psi_n^{(-)}= \begin{pmatrix} u_n|n-1\rangle\\ v_n|n\rangle \end{pmatrix}, \qquad n\ge1.$$

代入可得到对应的$2\times 2$本征值问题，得到能谱为

$$\boxed{ E_{n,s}^{(-)} = C-\frac{2Dn-\mathcal B}{\ell_B^2} +s\sqrt{ \frac{2nA^2}{\ell_B^2} +\left( M-\frac{2\mathcal B n-D}{\ell_B^2} \right)^2 }, \quad n\ge1,\ s=\pm. }$$

对于$n=0$时只剩下分量

$$\Psi_0^{(-)}= \begin{pmatrix} 0\\ |0\rangle \end{pmatrix},$$

对应能量为

$$\boxed{ E_0^{(-)}=C-M+\frac{\mathcal B-D}{\ell_B^2}. }$$

使用$\eta=\pm1$标记两个时间反演子块，则对于$n\ge 1$有

$$E_{n,s}^{(\eta)} = C-\frac{2Dn+\eta \mathcal B}{\ell_B^2} +s\sqrt{ \frac{2nA^2}{\ell_B^2} +\left( M-\frac{2\mathcal B n+\eta D}{\ell_B^2} \right)^2 }, \qquad s=\pm$$

对于$n=0$有

$$E_0^{(\eta)} = C+\eta M-\frac{\eta\mathcal B + D}{\ell_B^2}.$$

BHZ 模型和表面 Dirac 态最大的不同，是它不只是线性色散，而是“线性项 + 二次项”的混合模型。从公式上看，Landau 能级由两部分组成，第一部分

$$C-\frac{2Dn+\eta\mathcal B}{\ell_B^2},$$

给出一个整体漂移背景，第二部分

$$\sqrt{ \frac{2nA^2}{\ell_B^2} + \left( M-\frac{2\mathcal B n+\eta D}{\ell_B^2} \right)^2 }$$

体现电子带与空穴带的耦合，以及有效质量随磁场和 Landau 指数的修正。所以 BHZ 的谱不像纯 Dirac 模型那样简单地满足$\propto \sqrt{nB}$，一般也不是关于零能严格对称的。而且两个零能$E_0^{(+)},E_0^{(-)}$的位置携带者能带反转信息，是理解二维拓扑绝缘体在磁场下如何从量子自旋霍尔结构演化到普通量子霍尔结构的重要线索。

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