超导中关联效应强度衡量

在超导实验研究中，通常使用

$\frac{T_c}{T_F}$

来判断体系是处在弱耦合 BCS 一侧，还是更接近强耦合和 BCS–BEC crossover。它的意义在于比较两种能量尺度

$k_B T_c ,\qquad E_F=k_B T_F.$

其中$F_F$是费米能，表征电子费米海的基本动能尺度；$T_c$是超导形成的临界温度，因此$T_c/T_F$本质上衡量的是超导能标相对于费米运动能标有多大。对金属或费米液体，电子先形成费米海，再在其上发生配对。因此$E_F$是最自然的背景能标。比如对于抛物型能带

$E_F=\frac{\hbar^2 k_F^2}{2m^\ast}.$

二维时也可写成

$E_F=\frac{\pi \hbar^2 n}{m^\ast}.$

可以看到$E_F$反映了两件事情：载流子密度$n$和电子有效质量$m^*$。

当关联效应导致$m^*$增大、能带变窄，则会使得$E_F$降低，$T_F$也随之下降。因此$T_F$可以看成电子“动能主导程度”的衡量尺度。

在弱耦合BCS理论中

$k_B T_c \sim \omega_{\rm glue} e^{-1/\lambda},$

其中$\omega_{\rm glue}$是配对媒介的能量尺度，$\lambda$是无量纲耦合常数。从而可以得到

$\frac{T_c}{T_F} \sim \frac{\omega_{\rm glue}}{E_F}e^{-1/\lambda}.$

在弱耦合极限下有

$\lambda \ll 1,\qquad e^{-1/\lambda}\ll 1,$

且通常有$\omega_{\rm glue}\ll E_F$，因此

$\frac{T_c}{T_F}\ll 1.$

这说明普通 BCS 超导只是费米面附近的一个低温弱不稳定性，而不是与费米运动同量级的效应。关联增强时，常见结果不是简单地把超导转变温度$T_c$提高，而是使电子的动能尺度下降，典型表现包括

$m^\ast \uparrow,\qquad W \downarrow,\qquad E_F \downarrow.$

因此即使超导转变温度$T_c$没有显著的变化，只有费米温度$T_F$明显减小，二者的比值$\frac{T_c}{T_F}$也会增大。所以这个比值之所以能表征关联增强，是因为它在比较超导配对尺度和电子动能尺度。若比值很小，动能明显主导；若比值增大，说明相互作用和配对在低能物理中的地位上升。

BCS–BEC crossover 的也是比较配对能标与费米能标。在BCS一侧

$E_F \gg k_B T_c,\qquad \Delta \ll E_F,$

电子仍可以是费米液体来描述，Cooper 占据主导。随着耦合增强或$E_F$降低，系统会逐渐偏离BCS极限，$T_c/T_F$随之增大，因此该比值常被当作体系离 crossover 有多近的经验指标。但是$T_c/T_F$变大只能说明体系更接近强耦合极限，不等于说已经进入了BEC一侧。

参考文献

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