Kagome 晶格中交换自旋涨落实现非常规超导

Kagome 晶格中交换自旋涨落介导的非常规超导

排斥相互作用本身并不等价于两个电子在实空间直接相吸。涨落介导配对的基本过程是

$$\text{电子 1} \rightarrow \text{激发粒子—空穴涨落} \rightarrow \text{涨落传播} \rightarrow \text{电子 2 吸收涨落}.\nonumber$$

因此，诱导电子—电子相互作用具有一般结构

$$V_{\mathrm{fluc}}\sim W\,\chi\,W,$$

其中 $W$ 是电子与粒子—空穴双线性的耦合顶角，$\chi$ 是相应涨落的传播函数。RPA 的作用是将粒子—空穴通道中的重复散射求和，从而得到被相互作用增强后的传播函数。

采用的近似

• 二维单轨道 Kagome 最近邻紧束缚模型；
• 无自旋轨道耦合，正常态具有 SU(2) 自旋旋转对称性；
• 正常态保持平移对称性与时间反演对称性；
• 相互作用为局域 $U$ 和最近邻密度排斥 $V$；
• RPA 适用于磁性或电荷序发散之前的弱至中等耦合区域；
• 超导部分考虑零质心动量 Cooper 对；
• 每个 Cooper 对内部采用 intraband pairing，但允许不同费米面之间发生 pair scattering。

全文采用周期规范

$$c_{i\mu s} = \frac{1}{\sqrt N} \sum_{\mathbf k} e^{i\mathbf k\cdot\mathbf R_i} c_{\mu\mathbf k s},$$

其中 $\mathbf R_i$ 是 Bravais 原胞位置，$\mu=A,B,C$ 是原胞内子晶格指标。原胞内基矢没有写入 Fourier 指数，而是编码在跃迁矩阵元的相位中。因此：

• 正常态 Hamiltonian 一般是复 Hermitian 矩阵；
• 最近邻相互作用的 form factor 由“从一个原胞中的子晶格到另一个原胞中的子晶格”的有向位移集合决定；
• 若改用包含原胞内坐标的 Bloch 规范，Hamiltonian 和相互作用 form factor 会发生动量依赖的幺正变换，但能带、susceptibility 的物理本征值以及最终配对本征值不变。

正常态 Hamiltonian

Kagome 晶格每个原胞有三个格点，记为$\mu=A,B,C$，定义子晶格旋量

$$\Psi_{\mathbf k s} = \begin{pmatrix} c_{A\mathbf k s}\\ c_{B\mathbf k s}\\ c_{C\mathbf k s} \end{pmatrix}.$$

其中 $s=\uparrow,\downarrow$。正常态 Hamiltonian 写为

$$H_0 = \sum_{\mathbf k s} \Psi_{\mathbf k s}^{\dagger} h_0(\mathbf k) \Psi_{\mathbf k s}.$$

在最近邻单轨道模型中

$$h_0(\mathbf k) = \begin{pmatrix} -\mu & -t\left(1+e^{2i\mathbf k\cdot\mathbf a_3}\right) & -t\left(1+e^{-2i\mathbf k\cdot\mathbf a_1}\right) \\ -t\left(1+e^{-2i\mathbf k\cdot\mathbf a_3}\right) & -\mu & -t\left(1+e^{-2i\mathbf k\cdot\mathbf a_2}\right) \\ -t\left(1+e^{2i\mathbf k\cdot\mathbf a_1}\right) & -t\left(1+e^{2i\mathbf k\cdot\mathbf a_2}\right) & -\mu \end{pmatrix}.$$

这里

$$\mathbf a_1=\frac{\mathbf t_1}{2}, \qquad \mathbf a_2=\frac{\mathbf t_2}{2}, \qquad \mathbf a_3=\mathbf a_2-\mathbf a_1.$$

对角化

$$h_0(\mathbf k)u_n(\mathbf k) = \xi_{n\mathbf k}u_n(\mathbf k),$$

得到三条能带和对应的 Bloch 波函数。写成分量形式，

$$u_n(\mathbf k) = \begin{pmatrix} u_n^A(\mathbf k)\\ u_n^B(\mathbf k)\\ u_n^C(\mathbf k) \end{pmatrix}.$$

子晶格算符与能带算符的关系为

$$c_{\mu\mathbf k s} = \sum_n u_n^\mu(\mathbf k)d_{n\mathbf k s}. \label{eq:sublattice-band-transform}$$

逆变换为

$$d_{n\mathbf k s} = \sum_\mu u_n^{\mu *}(\mathbf k)c_{\mu\mathbf k s}.$$

因此，电子态除了具有能量 $\xi_{n\mathbf k}$，还具有随动量变化的子晶格组成

$$\left\{ u_n^A(\mathbf k), u_n^B(\mathbf k), u_n^C(\mathbf k) \right\}.$$

这正是多子晶格 RPA 与普通单带 RPA 的重要区别。原来的复矩阵可以通过动量依赖的对角幺正变换化成实对称形式。定义

$$c_i(\mathbf k)=\cos(\mathbf k\cdot\mathbf a_i), \qquad i=1,2,3,$$

则与 $h_0(\mathbf k)$ 幺正等价的矩阵可以写成

$$\widetilde h_0(\mathbf k) = -\mu I_3 -2t \begin{pmatrix} 0 & c_3 & c_1\\ c_3 & 0 & c_2\\ c_1 & c_2 & 0 \end{pmatrix}. \label{eq:kagome-real-gauge-hamiltonian}$$

由于幺正变换不改变本征值，三条能带为

$$\varepsilon_{\mathrm{flat}}(\mathbf k)=2t-\mu, \label{eq:kagome-flat-band}$$

以及

$$\varepsilon_{\pm}(\mathbf k) = -t-\mu \pm t\sqrt{ 4\left[c_1^2(\mathbf k)+c_2^2(\mathbf k)+c_3^2(\mathbf k)\right]-3 }. \label{eq:kagome-dispersive-bands}$$

这个结果直接显示 Kagome 最近邻模型的三个典型特征：

1. 一条平带 $\varepsilon_{\mathrm{flat}}=2t-\mu$；
2. 两条色散带在 $K/K’$ 点相交形成 Dirac 锥；
3. 两条色散带分别在 $M$ 点具有能量 $0-\mu$ 和 $-2t-\mu$ 的 van Hove 奇点。

为了验证式 $\eqref{eq:kagome-dispersive-bands}$，在 $\Gamma$ 点有 $c_1=c_2=c_3=1$，因此

$$\varepsilon_+=2t-\mu, \qquad \varepsilon_-=-4t-\mu,$$

其中上色散带与平带接触；在 $K$ 点，根号为零，两条色散带在 $-t-\mu$ 简并；在 $M$ 点，根号等于 $1$，得到上、下两个 VHS 能量。

三个 $M$ 点的子晶格本征态

取三角 Bravais 晶格

$$\mathbf t_1=(1,0), \qquad \mathbf t_2=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right),$$

倒格矢满足 $\mathbf b_i\cdot\mathbf t_j=2\pi\delta_{ij}$。三个不等价 $M$ 点可取为

$$\mathbf M_1=\frac{\mathbf b_1}{2}, \qquad \mathbf M_2=\frac{\mathbf b_2}{2}, \qquad \mathbf M_3=\frac{\mathbf b_1+\mathbf b_2}{2}.$$

在实规范 Hamiltonian $\eqref{eq:kagome-real-gauge-hamiltonian}$ 中：

• 在 $\mathbf M_1$，只有 $B-C$ 跃迁非零；
• 在 $\mathbf M_2$，只有 $A-C$ 跃迁非零；
• 在 $\mathbf M_3$，只有 $A-B$ 跃迁非零。

因此上 VHS，即能量 $0-\mu$ 的本征态分别为

$$|u_{p}(\mathbf M_1)\rangle=|A\rangle, \qquad |u_{p}(\mathbf M_2)\rangle=|B\rangle, \qquad |u_{p}(\mathbf M_3)\rangle=|C\rangle. \label{eq:p-type-M-eigenstates}$$

每一个 $M$ 点的波函数只位于一个子晶格，因此称为 sublattice-pure，p-type VHS。下 VHS，即能量 $-2t-\mu$ 的本征态可以选为

$$|u_{m}(\mathbf M_1)\rangle = \frac{|B\rangle+|C\rangle}{\sqrt2},\qquad |u_{m}(\mathbf M_2)\rangle = \frac{|A\rangle+|C\rangle}{\sqrt2},\qquad |u_{m}(\mathbf M_3)\rangle = \frac{|A\rangle+|B\rangle}{\sqrt2}. \label{eq:m-type-M-eigenstates}$$

每一个 $M$ 点由两个子晶格混合构成，因此称为 sublattice-mixed，m-type VHS。本征矢的整体相位以及两个非零分量之间的符号会随 Bloch 规范改变，但“一个子晶格”或“两个子晶格”的权重结构是规范不变的。

子晶格干涉

局域 Hubbard 相互作用只作用在同一子晶格。考虑由嵌套矢量 $\mathbf Q$ 连接的两个低能态，局域散射的关键重叠因子包含

$$\mathcal M_U(\mathbf k,\mathbf k+\mathbf Q) \sim \sum_{\mu=A,B,C} |u_n^\mu(\mathbf k)|^2 |u_m^\mu(\mathbf k+\mathbf Q)|^2. \label{eq:local-U-overlap}$$

对于 p-type VHS，不同 $M$ 点分别位于不同子晶格，例如

$$|u_p(\mathbf M_1)\rangle=|A\rangle, \qquad |u_p(\mathbf M_2)\rangle=|B\rangle,$$

所以

$$\mathcal M_U(\mathbf M_1,\mathbf M_2)=0.$$

几何上连接两个鞍点的嵌套过程虽然存在，但局域 $U$ 看不到这一过程。对于 m-type VHS，任意两个 $M$ 点的本征态共享一个公共子晶格，例如

$$\frac{|B\rangle+|C\rangle}{\sqrt2} \quad\text{与}\quad \frac{|A\rangle+|C\rangle}{\sqrt2}$$

都含有 $C$ 子晶格，因此局域散射矩阵元不消失。这就是 Kagome 亚晶格干涉对 susceptibility 和配对核产生强烈影响的根源。

Pauli 原理、Cooper 对和内部自由度

在开始构造相互作用之前，先固定 Cooper 对必须满足的反对称性。对于多子晶格体系，能隙矩阵定义为

$$\Delta_{\mu\nu}^{ss'}(\mathbf k) \propto \left\langle c_{\nu,-\mathbf k,s'} c_{\mu,\mathbf k,s} \right\rangle.$$

交换两个电子后，由费米反对易关系得到

$${ \Delta_{\mu\nu}^{ss'}(\mathbf k) = -\Delta_{\nu\mu}^{s's}(-\mathbf k). } \label{eq:general-pauli-gap-constraint}$$

这是多子晶格体系中最一般的 Pauli 约束。它同时交换：

1. 两个电子的动量 $\mathbf k\leftrightarrow-\mathbf k$；

2. 两个自旋指标 $s\leftrightarrow s’$；

3. 两个子晶格或轨道指标 $\mu\leftrightarrow\nu$。

单重态和三重态

自旋单重态与 $S_z=0$ 三重态分别为

$$|S\rangle = \frac{|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle}{\sqrt2},\qquad |T_0\rangle = \frac{|\uparrow\downarrow\rangle+|\downarrow\uparrow\rangle}{\sqrt2}.$$

无 SOC 时，$|T_0\rangle$ 与 $|\uparrow\uparrow\rangle$、$|\downarrow\downarrow\rangle$ 简并。将自旋部分投影后，式 $\eqref{eq:general-pauli-gap-constraint}$ 变为

$$\Delta^{S}_{\mu\nu}(\mathbf k) = +\Delta^{S}_{\nu\mu}(-\mathbf k),\qquad \Delta^{T}_{\mu\nu}(\mathbf k) = -\Delta^{T}_{\nu\mu}(-\mathbf k).$$

因此，严格地说，“单重态必为偶宇称、三重态必为奇宇称”只在内部子晶格部分具有固定交换对称性或已经投影到单条非简并能带后成立。更一般地：

$$\begin{array}{c|c|c} \text{自旋通道}&\text{子晶格交换}&\text{动量反演}\\ \hline \text{单重态}&\text{对称}&\text{偶}\\ \text{单重态}&\text{反对称}&\text{奇}\\ \text{三重态}&\text{对称}&\text{奇}\\ \text{三重态}&\text{反对称}&\text{偶} \end{array}\nonumber$$

在后面的 intraband 能带投影中，内部自由度已经包含在 Bloch 波函数中，此时通常恢复熟悉的关系

$$\Delta_s(-\mathbf k)=+\Delta_s(\mathbf k), \qquad \Delta_t(-\mathbf k)=-\Delta_t(\mathbf k).$$

四点顶角必须反对称化

设未反对称化的两体矩阵元为 $\mathcal U_{12;34}$，两电子态由

$$|34\rangle=c_3^\dagger c_4^\dagger|0\rangle, \qquad |12\rangle=c_1^\dagger c_2^\dagger|0\rangle$$

构成。由于

$$\langle0|c_2c_1c_a^\dagger c_b^\dagger|0\rangle = \delta_{1a}\delta_{2b}-\delta_{1b}\delta_{2a},$$

物理散射振幅必须是

$$\boxed{ \Gamma_{12;34} = \mathcal U_{12;34}-\mathcal U_{12;43}. } \label{eq:pauli-antisymmetrized-vertex}$$

第二项不是另一种新的相互作用，而是交换两个不可分辨的末态或初态电子后产生的交换连接。后面 Cooper 通道中的 $\mathbf k-\mathbf k’$ 与 $\mathbf k+\mathbf k’$ 正是这两种连接在零质心动量条件下的表现。

扩展 Hubbard 相互作用

考虑

$$H_{\mathrm{int}} = H_U+H_V.$$

实空间中，局域 Hubbard 相互作用为

$$H_U = U\sum_{i,\mu} n_{i\mu\uparrow} n_{i\mu\downarrow},\label{eq:k1}$$

其中$n_{i\mu s}
=
c_{i\mu s}^{\dagger}c_{i\mu s}$，采用 Fourier 变换

$$c_{i\mu s} = \frac1{\sqrt N} \sum_{\mathbf k} e^{i\mathbf k\cdot\mathbf R_i} c_{\mu\mathbf k s},$$

于是

$$n_{i\mu s} = \frac1N \sum_{\mathbf k\mathbf k'} e^{i(\mathbf k'-\mathbf k)\cdot\mathbf R_i} c_{\mu\mathbf k s}^{\dagger} c_{\mu\mathbf k's}.$$

代回 $\eqref{eq:k1}$得到

$$\begin{aligned} H_U ={}& \frac{U}{N^2} \sum_{i,\mu} \sum_{\mathbf k_1\mathbf k_2\mathbf k_3\mathbf k_4} {\color{blue}e^{i(-\mathbf k_1+\mathbf k_4-\mathbf k_2+\mathbf k_3) \cdot\mathbf R_i}}\times {\color{teal}c_{\mu\mathbf k_1\uparrow}^{\dagger} c_{\mu\mathbf k_2\downarrow}^{\dagger} c_{\mu\mathbf k_3\downarrow} c_{\mu\mathbf k_4\uparrow}}. \end{aligned}$$

利用

$$\sum_i e^{i\mathbf Q\cdot\mathbf R_i} = N\delta_{\mathbf Q,0},$$

得到动量守恒

$$\color{blue}\mathbf k_1+\mathbf k_2 = \mathbf k_3+\mathbf k_4.$$

令

$$\mathbf k_1=\mathbf k+\mathbf q, \qquad \mathbf k_4=\mathbf k,\qquad \mathbf k_2=\mathbf k'-\mathbf q, \qquad \mathbf k_3=\mathbf k',$$

则局域相互作用在动量空间中表示为

$$H_U = {\color{blue}\frac{U}{N}} \sum_{\mathbf k\mathbf k'\mathbf q,\mu} c_{\mu,\mathbf k+\mathbf q,\uparrow}^{\dagger} c_{\mu,\mathbf k'-\mathbf q,\downarrow}^{\dagger} c_{\mu,\mathbf k',\downarrow} c_{\mu,\mathbf k,\uparrow}. \label{eq:HU-momentum}$$

局域 $U$ 的特点是

$$\color{blue}同一子晶格,相反自旋, 顶角不显含 \mathbf q.\nonumber$$

最近邻相互作用

实空间中，最近邻相互作用为

$$H_V = V\sum_{\langle i\mu,j\nu\rangle} n_{i\mu}n_{j\nu}.$$

更明确地，若从原胞 $\mathbf R_i$ 中的子晶格 $\mu$ 到子晶格 $\nu$ 的键向量为 $\boldsymbol\delta$，可以写成

$$H_V = \frac{V}{2} \sum_{i} \sum_{\mu\nu} \sum_{\boldsymbol\delta\in\mathcal D_{\mu\nu}} n_{\mu}(\mathbf R_i) n_{\nu}(\mathbf R_i+\boldsymbol\delta).$$

定义子晶格密度算符

$$\rho_\mu(\mathbf q) = \sum_{\mathbf k s} c_{\mu,\mathbf k+\mathbf q,s}^{\dagger} c_{\mu,\mathbf k,s}.$$

进行 Fourier 变换后，

$$H_V = \frac1{2N} \sum_{\mathbf q} \sum_{\mu\nu} V_{\mu\nu}(\mathbf q) \rho_\mu(\mathbf q) \rho_\nu(-\mathbf q), \label{eq:HV-momentum}$$

其中

$$V_{\mu\nu}(\mathbf q) = V \sum_{\boldsymbol\delta\in\mathcal D_{\mu\nu}} e^{-i\mathbf q\cdot\boldsymbol\delta}. \label{eq:V-structure-factor}$$

因此，最近邻相互作用天然带有键结构因子。在本文固定的周期规范中，直接采用与正常态 Hamiltonian 一致的有向键约定：

$$\mathcal D_{AB}=\{0,\,2\mathbf a_3\}, \qquad \mathcal D_{AC}=\{0,\,-2\mathbf a_1\}, \qquad \mathcal D_{BC}=\{0,\,-2\mathbf a_2\}.$$

由式 $\eqref{eq:V-structure-factor}$ 得到

$$V_{AB}(\mathbf q) = V\left(1+e^{-2i\mathbf q\cdot\mathbf a_3}\right),\qquad V_{AC}(\mathbf q) = V\left(1+e^{2i\mathbf q\cdot\mathbf a_1}\right), \qquad V_{BC}(\mathbf q) = V\left(1+e^{2i\mathbf q\cdot\mathbf a_2}\right). \label{eq:V-form-factors-fixed-gauge}$$

反向有向键满足 Hermiticity：

$$V_{\nu\mu}(\mathbf q)=V_{\mu\nu}^*(\mathbf q)=V_{\mu\nu}(-\mathbf q).$$

若改用另一套子晶格 Bloch 规范，上述三个 form factor 会分别乘上子晶格依赖的相位，但所有顶角与 Bloch 本征矢同时变换，最终物理结果不变。关键不是某一个指数正负号本身，而是整个推导从 $H_0$ 到 $H_V$ 必须使用同一套有向键约定。因此

$${ U\text{ 是局域常数顶角，} \qquad V\text{ 是带子晶格和键相位的非局域顶角。} }\nonumber$$

从相互作用构造裸顶角

前面的 $H_U$ 和 $H_V$ 已经给出了动量空间中的密度—密度相互作用。为了在 RPA、Cooper 散射和自旋投影中始终使用同一套指标，先定义自旋—子晶格联合指标

$$\tilde\mu=(\mu,s). \label{eq:combined-spin-sublattice-index}$$

接下来固定四费米算符顺序为

$$c_{\tilde\mu_1,\mathbf k}^{\dagger} c_{\tilde\mu_3,-\mathbf k}^{\dagger} c_{\tilde\mu_2,-\mathbf k'} c_{\tilde\mu_4,\mathbf k'}.$$

这一步只是选定顶角的记号约定。将前面 $H_U$ 和 $H_V$ 中的费米算符按这一顺序重排，并将所有子晶格、自旋和动量结构收进四指标矩阵 $W_0$，裸 Cooper 相互作用可以写成

$$\begin{aligned} H_{U+V}^{\mathrm{SC}} = \sum_{\mathbf k\mathbf k'} \sum_{\tilde\mu_1\tilde\mu_2\tilde\mu_3\tilde\mu_4} & [W_0(\mathbf k-\mathbf k')] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4} \times c_{\tilde\mu_1,\mathbf k}^{\dagger} c_{\tilde\mu_3,-\mathbf k}^{\dagger} c_{\tilde\mu_2,-\mathbf k'} c_{\tilde\mu_4,\mathbf k'}. \end{aligned} \label{eq:ordered-bare-cooper-H}$$

这里 $W_0(\mathbf q)$ 是按照上述固定算符顺序定义的有序四指标顶角。它不是额外引入的新相互作用，而是 $H_U+H_V$ 在联合自旋—子晶格空间中的矩阵表示。

局域 $U$ 的矩阵元

令 $\bar s$ 表示与 $s$ 相反的自旋。局域 Hubbard 相互作用对应的非零矩阵元可写为

$$[W_0(\mathbf q)] _{\mu s,\mu\bar s}^{\mu\bar s,\mu s} = U, \label{eq:W0-U-first}$$

以及

$$[W_0(\mathbf q)] _{\mu s,\mu s}^{\mu\bar s,\mu\bar s} = -U. \label{eq:W0-U-second}$$

两式不是两个独立的物理过程，而是同一个局域密度—密度作用在不同有序指标排列下的矩阵元。第二个矩阵元中的负号来自将费米算符重新排列成式 $\eqref{eq:ordered-bare-cooper-H}$ 所规定的顺序。局域相互作用不含键结构，因此式 $\eqref{eq:W0-U-first}$ 和式 $\eqref{eq:W0-U-second}$ 不显含 $\mathbf q$。

最近邻 $V$ 的矩阵元

最近邻作用保持自旋不变，但连接不同子晶格。按照本文 Fourier 约定，

$$[W_0(\mathbf q)] _{As,Bs'}^{Bs',As} = V\left( 1+e^{-2i\mathbf q\cdot\mathbf a_3} \right),\qquad [W_0(\mathbf q)] _{As,Cs'}^{Cs',As} = V\left( 1+e^{2i\mathbf q\cdot\mathbf a_1} \right),\qquad [W_0(\mathbf q)] _{Bs,Cs'}^{Cs',Bs} = V\left( 1+e^{2i\mathbf q\cdot\mathbf a_2} \right).$$

反向键由共轭关系得到，例如

$$[W_0(\mathbf q)] _{Bs,As'}^{As',Bs} = \left( [W_0(\mathbf q)] _{As,Bs'}^{Bs',As} \right)^*. \label{eq:W0-V-conjugate}$$

后面构造 ladder 图时，还需要将这些键重新拆分成显式的 $\boldsymbol\delta$ 指标，不能只保留已经压缩的 $W_0(\mathbf q)$。因此需要区分：

$$W_0(\mathbf q): \quad \text{已对等价键求和、适合外部裸顶角的矩阵},$$

与

$$W(\mathbf q,\boldsymbol\delta): \quad \text{保留单条有向键、适合广义 RPA ladder 的矩阵}.$$

二者满足

$$W(\mathbf q,\boldsymbol\delta=0) = W_0(\mathbf q), \label{eq:W-delta-zero}$$

而对于非零键位移，$W(\mathbf q,\boldsymbol\delta)$ 只保留相应的裸键振幅，不再附加已经由外部或内部动量负责的相位。例如，

$$[W(\mathbf q,\boldsymbol\delta=\mathbf t_1)] _{As,Cs'}^{Cs',As} = V. \label{eq:W-delta-t1-example}$$

因此在整个推导中采用如下分工

$${ \text{单条键的振幅存放在 }W(\mathbf q,\boldsymbol\delta) \text{ 中，动量相位由显式指数因子承担。} }\nonumber$$

这样既不会丢失非局域相互作用的内部键结构，也不会在不同公式中重复计入同一个相位。

正常态粒子—空穴涨落

一个电子可以将正常态中的电子从 $\mathbf k$ 激发到 $\mathbf k-\mathbf q$，从而产生一个位于 $\mathbf k-\mathbf q$ 的粒子；一个位于 $\mathbf k$ 的空穴，这个粒子—空穴对携带动量 $\mathbf q$。定义粒子—空穴双线性算符

$$B_{\mu_1s_1,\mu_2s_2}(\mathbf q) = \frac1{\sqrt N} \sum_{\mathbf k} c_{\mu_1,\mathbf k-\mathbf q,s_1}^{\dagger} c_{\mu_2,\mathbf k,s_2}. \label{eq:particle-hole-bilinear}$$

它表示$(\mu_2,\mathbf k,s_2)
\longrightarrow
(\mu_1,\mathbf k-\mathbf q,s_1)$。两个粒子—空穴双线性之间的关联函数定义为

$$\begin{aligned} & \chi^0_{\mu_1s_1,\mu_2s_2; \mu_3s_3,\mu_4s_4} (\mathbf q,\tau) = - \left\langle T_\tau B_{\mu_1s_1,\mu_2s_2}(\mathbf q,\tau) B_{\mu_3s_3,\mu_4s_4}^{\dagger}(\mathbf q,0) \right\rangle_0. \end{aligned} \label{eq:bare-susceptibility-definition}$$

将式 $\eqref{eq:particle-hole-bilinear}$ 展开

$$\begin{aligned} \chi^0(\mathbf q,\tau) = -\frac1N \sum_{\mathbf k\mathbf k'} \big\langle T_\tau\, & c_{\mu_1,\mathbf k-\mathbf q,s_1}^{\dagger}(\tau) c_{\mu_2,\mathbf k,s_2}(\tau)\times c_{\mu_4,\mathbf k',s_4}^{\dagger}(0) c_{\mu_3,\mathbf k'-\mathbf q,s_3}(0) \big\rangle_0. \end{aligned}$$

对于非相互作用正常态，应用 Wick 定理。连通部分是

$$\begin{aligned} & \left\langle T_\tau c_1^\dagger c_2 c_4^\dagger c_3 \right\rangle_{\mathrm c} =- \left\langle T_\tau c_2c_4^\dagger \right\rangle \left\langle T_\tau c_3c_1^\dagger \right\rangle. \end{aligned}$$

定义 Green 函数

$$G_{\mu\nu,s}^0(\mathbf k,\tau) = - \left\langle T_\tau c_{\mu\mathbf k s}(\tau) c_{\nu\mathbf k s}^{\dagger}(0) \right\rangle.$$

于是动量守恒使得 $\mathbf k’=\mathbf k$，得到

$$\begin{aligned} & \chi^0_{\mu_1s_1,\mu_2s_2; \mu_3s_3,\mu_4s_4} (\mathbf q,i\Omega_m) = -\frac{T}{N} \sum_{\mathbf k,\omega_n} G^0_{\mu_4\mu_1,s_1} (\mathbf k-\mathbf q,i\omega_n-i\Omega_m)\times G^0_{\mu_2\mu_3,s_2} (\mathbf k,i\omega_n) \times \delta_{s_1s_4}\delta_{s_2s_3}. \end{aligned} \label{eq:bare-susceptibility-green}$$

在静态极限中$i\Omega_m=0$。接下来，把裸 susceptibility 写到能带表象。由式 $\eqref{eq:sublattice-band-transform}$

$$\begin{aligned} G_{\mu\nu}^0(\mathbf k,i\omega_n) &= \sum_m u_m^\mu(\mathbf k) u_m^{\nu *}(\mathbf k) G_m^0(\mathbf k,i\omega_n)= \sum_m \frac{ u_m^\mu(\mathbf k) u_m^{\nu *}(\mathbf k) }{ i\omega_n-\xi_{m\mathbf k} }. \end{aligned} \label{eq:green-band-representation}$$

将式 $\eqref{eq:green-band-representation}$ 代回式 $\eqref{eq:bare-susceptibility-green}$：

$$\begin{aligned} \chi^0_{\mu_1\mu_2;\mu_3\mu_4} (\mathbf q) = -\frac{T}{N} \sum_{\mathbf k,\omega_n} \sum_{n_1n_2} & \frac{ u_{n_1}^{\mu_4}(\mathbf k-\mathbf q) u_{n_1}^{\mu_1 *}(\mathbf k-\mathbf q) }{ i\omega_n-\xi_{n_1,\mathbf k-\mathbf q} } \times \frac{ u_{n_2}^{\mu_2}(\mathbf k) u_{n_2}^{\mu_3 *}(\mathbf k) }{ i\omega_n-\xi_{n_2,\mathbf k} }. \end{aligned}$$

整理 Bloch 波函数

$$\begin{aligned} M_{n_1n_2}^{\mu_1\mu_2\mu_3\mu_4} (\mathbf k,\mathbf q) ={}& u_{n_1}^{\mu_1 *}(\mathbf k-\mathbf q) u_{n_2}^{\mu_3 *}(\mathbf k) \times u_{n_2}^{\mu_2}(\mathbf k) u_{n_1}^{\mu_4}(\mathbf k-\mathbf q). \end{aligned} \label{eq:bloch-matrix-element}$$

于是

$$\begin{aligned} \chi^0 = -\frac{T}{N} \sum_{\mathbf k,\omega_n,n_1n_2} M_{n_1n_2} \frac1{i\omega_n-\xi_{n_1,\mathbf k-\mathbf q}} \frac1{i\omega_n-\xi_{n_2,\mathbf k}}. \end{aligned}$$

使用公式

$$T\sum_{\omega_n} \frac1{i\omega_n-E_1} \frac1{i\omega_n-E_2} = \frac{f(E_1)-f(E_2)}{E_1-E_2}. \label{eq:matsubara-sum}$$

因此

$$\begin{aligned} & -T\sum_{\omega_n} \frac1{i\omega_n-E_1} \frac1{i\omega_n-E_2} = \frac{f(E_2)-f(E_1)}{E_1-E_2}. \end{aligned}$$

取$E_1=\xi_{n_1,\mathbf k-\mathbf q},
E_2=\xi_{n_2,\mathbf k}$，得到

$$\begin{aligned} & \chi^0_{\mu_1\mu_2;\mu_3\mu_4}(\mathbf q) = \frac1N \sum_{\mathbf k,n_1n_2} M_{n_1n_2}^{\mu_1\mu_2\mu_3\mu_4} (\mathbf k,\mathbf q) \times \frac{ f(\xi_{n_2,\mathbf k}) - f(\xi_{n_1,\mathbf k-\mathbf q}) }{ \xi_{n_1,\mathbf k-\mathbf q} - \xi_{n_2,\mathbf k} }. \end{aligned} \label{eq:bare-susceptibility-band}$$

费米面嵌套与 Bloch 矩阵元

这就是多子晶格 Lindhard 函数。忽略波函数矩阵元时

$$\chi^0(\mathbf q) \sim \sum_{\mathbf k} \frac{ f(\xi_{\mathbf k}) - f(\xi_{\mathbf k-\mathbf q}) }{ \xi_{\mathbf k-\mathbf q}-\xi_{\mathbf k} }.$$

如果$\xi_{\mathbf k}\approx\xi_{\mathbf k-\mathbf Q}$，则分母很小，通常会得到较强的 $\mathbf Q$ 峰。但真实 Kagome susceptibility 还乘有式 $\eqref{eq:bloch-matrix-element}$ 中的矩阵元$M_{n_1n_2}^{\mu_1\mu_2\mu_3\mu_4}$。对于局域 $U$，初态和末态需要在同一子晶格上具有显著权重。如果

$$u_n^A(\mathbf k)\approx1, \qquad u_n^B(\mathbf k-\mathbf Q)\approx1,$$

而二者的同子晶格重叠很小，那么即使几何嵌套很好，局域散射矩阵元仍然会被抑制。因此

$${ \text{费米面嵌套} \times \text{Bloch 波函数重叠} = \text{真实的粒子—空穴响应}. }\nonumber$$

Kagome 上 van Hove filling 附近多个费米面边具有不同的子晶格成分，因此产生显著的 sublattice interference。

非局域 $V$ 额外引入的键指标

对于局域 $U$，相互作用的两个端点在同一格点，可以使用

$$c_{\mu,\mathbf k-\mathbf q}^{\dagger} c_{\mu,\mathbf k}.$$

但最近邻 $V$ 连接相隔 $\boldsymbol\delta$ 的两个位置，因此需要记录相互作用作用在哪一条键上。定义

$$B_{\mu_1s_1,\mu_2s_2}^{\boldsymbol\delta}(\mathbf q) = \frac1{\sqrt N} \sum_{\mathbf k} e^{i\mathbf k\cdot\boldsymbol\delta} c_{\mu_1,\mathbf k-\mathbf q,s_1}^{\dagger} c_{\mu_2,\mathbf k,s_2}. \label{eq:bond-bilinear}$$

其中$e^{i\mathbf k\cdot\boldsymbol\delta}$是键 form factor。定义

$$\begin{aligned} & \chi^0_{12;34} (\mathbf q,\boldsymbol\delta,\boldsymbol\delta') = - \left\langle T_\tau B_{12}^{\boldsymbol\delta}(\mathbf q,\tau) B_{34}^{\boldsymbol\delta'\dagger}(\mathbf q,0) \right\rangle_0. \end{aligned}$$

两个顶角分别贡献$e^{i\mathbf k\cdot\boldsymbol\delta},
e^{-i\mathbf k\cdot\boldsymbol\delta’}$，所以总相位为$e^{i\mathbf k\cdot
(\boldsymbol\delta-\boldsymbol\delta’)}$，最终得到

$$\begin{aligned} & \chi^0_{\mu_1\mu_2;\mu_3\mu_4} (\mathbf q,\boldsymbol\delta,\boldsymbol\delta') = \frac1N \sum_{\mathbf k,n_1n_2} e^{i\mathbf k\cdot (\boldsymbol\delta-\boldsymbol\delta')} M_{n_1n_2}^{\mu_1\mu_2\mu_3\mu_4} (\mathbf k,\mathbf q) \times \frac{ f(\xi_{n_2,\mathbf k}) - f(\xi_{n_1,\mathbf k-\mathbf q}) }{ \xi_{n_1,\mathbf k-\mathbf q} - \xi_{n_2,\mathbf k} }. \end{aligned}\label{eq:generalized-bare-susceptibility}$$

如果只研究一个简单 bubble，可以先将所有键合并为$V_{\mu\nu}(\mathbf q)$。但是在 ladder 级数中，中间电子动量需要被求和。不同键顶角携带不同的内部动量相位。如果提前把键结构压缩掉，就无法正确记录$e^{i\mathbf k\cdot\boldsymbol\delta}
e^{-i\mathbf k\cdot\boldsymbol\delta’}$，因此需要将$\boldsymbol\delta,\boldsymbol\delta’$作为额外矩阵指标。在该 Kagome 模型中

$$\boldsymbol\delta \in \left\{ 0,\pm\mathbf t_1,\pm\mathbf t_2, \mathbf t_2-\mathbf t_1, \mathbf t_1-\mathbf t_2 \right\}.$$

共有 7 种键位移。若将子晶格对、自旋对和键指标合并，矩阵维数为

$$3^2\times2^2\times7 = 252.\nonumber$$

RPA susceptibility 推导

定义复合指标

$$A= (\mu_1s_1,\mu_2s_2,\boldsymbol\delta).$$

于是$\chi^0_{AB}(\mathbf q)$和$W_{AB}(\mathbf q)$都是 $252\times252$ 矩阵。相互作用可以形式化写成

$$H_{\mathrm{int}} = \frac12 \sum_{\mathbf q} \sum_{AB} B_A^\dagger(\mathbf q) W_{AB}(\mathbf q) B_B(\mathbf q).$$

• 一阶相互作用修正

裸响应为$\chi^0$，粒子—空穴对在传播中发生一次相互作用，得到$\chi^0W\chi^0$，指标形式为

$$\left[ \chi^0W\chi^0 \right]_{AB} = \sum_{CD} \chi^0_{AC} W_{CD} \chi^0_{DB}.$$

• 二阶和高阶修正

两次相互作用

$$\chi^0W\chi^0W\chi^0.$$

三次相互作用

$$\chi^0W\chi^0W\chi^0W\chi^0.$$

全部求和

$$\begin{aligned} \chi^{\mathrm{RPA}} ={}& \chi^0 + \chi^0W\chi^0 + \chi^0W\chi^0W\chi^0 +\cdots \\ ={}& \left[ 1+\chi^0W+(\chi^0W)^2+\cdots \right]\chi^0. \end{aligned}$$

利用矩阵几何级数

$$1+X+X^2+\cdots = (1-X)^{-1},$$

得到

$$\chi^{\mathrm{RPA}} = [1-\chi^0W]^{-1}\chi^0. \label{eq:rpa-susceptibility}$$

也可以从右侧提取 $\chi^0$：

$$\chi^{\mathrm{RPA}} = \chi^0[1-W\chi^0]^{-1}.$$

二者通过矩阵恒等式

$$(1-AB)^{-1}A = A(1-BA)^{-1}$$

相等。

• Bethe–Salpeter 形式

从级数中还可以得到

$$\begin{aligned} \chi^{\mathrm{RPA}} &= \chi^0 + \chi^0W \left[ \chi^0+\chi^0W\chi^0+\cdots \right] \\ &= \chi^0+\chi^0W\chi^{\mathrm{RPA}}. \end{aligned}$$

因此

$$\chi^{\mathrm{RPA}} = \chi^0+\chi^0W\chi^{\mathrm{RPA}}. \label{eq:bethe-salpeter}$$

这就是粒子—空穴通道的 Bethe–Salpeter 方程。若某个 $\mathbf q$ 处

$$\det[1-\chi^0(\mathbf q)W(\mathbf q)] =0,$$

则$\chi^{\mathrm{RPA}}(\mathbf q)
\rightarrow\infty$，这意味着某个粒子—空穴有序通道发生不稳定性，例如：磁序、电荷密度波、键序。在这种参数区域，正常态已经不稳定，因此不能再将其简单作为超导计算的正常态背景。

从广义 RPA 矩阵得到自旋和电荷 susceptibility

式 $\eqref{eq:rpa-susceptibility}$ 得到的是带有子晶格、自旋和键位移指标的广义粒子—空穴传播函数。记

$$\chi(\mathbf q) \equiv \chi^{\mathrm{RPA}}(\mathbf q) = [1-\chi^0(\mathbf q)W(\mathbf q)]^{-1} \chi^0(\mathbf q). \label{eq:chi-rpa-short}$$

实验和图 2 中讨论的自旋、电荷 susceptibility 则是从广义对象中提取的物理外部响应。外部探针是局域密度或局域自旋，因此应取

$$\boldsymbol\delta=\boldsymbol\delta'=0.$$

在无 SOC 的 SU(2) 对称体系中，定义

$$\begin{aligned} & [\chi_{\mathrm{sp/ch}}(\mathbf q)] _{\mu_1\mu_2}^{\mu_3\mu_4} = \sum_{s=\uparrow,\downarrow} \Big[ [\chi(\mathbf q)] _{\mu_1s,\mu_2s}^{\mu_3s,\mu_4s} \mp [\chi(\mathbf q)] _{\mu_1s,\mu_2s}^{\mu_3\bar s,\mu_4\bar s} \Big]_{\boldsymbol\delta=\boldsymbol\delta'=0}. \end{aligned} \label{eq:physical-spin-charge-susceptibility}$$

其中减号对应自旋通道，

$$\chi_{\mathrm{sp}} \sim \chi_{\uparrow\uparrow} - \chi_{\uparrow\downarrow},$$

加号对应电荷通道，

$$\chi_{\mathrm{ch}} \sim \chi_{\uparrow\uparrow} + \chi_{\uparrow\downarrow}.$$

对每个 $\mathbf q$，式 $\eqref{eq:physical-spin-charge-susceptibility}$ 首先给出一个 $3^2\times3^2=9\times9$ 的子晶格双线性矩阵。它既包含局域密度/自旋分量，也包含 $\mu_1\neq\mu_2$ 的子晶格相干或键型分量。若只讨论局域子晶格密度或局域自旋探针，还应进一步取

$$\mu_1=\mu_2=\mu, \qquad \mu_3=\mu_4=\nu,$$

得到真正的 $3\times3$ 局域响应矩阵

$$[\chi_{\mathrm{sp/ch}}^{\mathrm{local}}(\mathbf q)]_{\mu\nu} = [\chi_{\mathrm{sp/ch}}(\mathbf q)]_{\mu\mu}^{\nu\nu}. \label{eq:local-sublattice-susceptibility}$$

因此，“广义 susceptibility”“子晶格双线性 susceptibility”和“局域物理 susceptibility”需要明确区分。

从自旋指标 RPA 到自旋涨落和电荷涨落配对核

前面的广义矩阵形式适用于包含子晶格、键和完整自旋指标的计算。为了看清自旋涨落为什么在单重态中给出 $3/2$、在三重态中给出 $-1/2$，先退回到单轨道局域 Hubbard 模型，但保留完整自旋代数。定义

$$\delta\mathbf n = \begin{pmatrix} \delta n_\uparrow\\ \delta n_\downarrow \end{pmatrix}, \qquad \widehat U = \begin{pmatrix} 0&U\\ U&0 \end{pmatrix}.$$

非相互作用体系对有效势的响应为 $\delta\mathbf n=\chi_0\,\delta\boldsymbol\phi_{\mathrm{eff}}$。由于排斥 Hartree 场反抗密度变化，

$$\delta\boldsymbol\phi_{\mathrm{eff}} = \delta\boldsymbol\phi_{\mathrm{ext}} - \widehat U\,\delta\mathbf n.$$

因此

$$\delta\mathbf n = \chi_0 \left( \delta\boldsymbol\phi_{\mathrm{ext}} - \widehat U\delta\mathbf n \right),$$

从而

$$\widehat\chi^{\mathrm{RPA}} = [1+\chi_0\widehat U]^{-1}\chi_0. \label{eq:spin-density-2by2-rpa}$$

电荷和纵向自旋本征向量分别是

$$|c\rangle=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \qquad |s\rangle=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.$$

它们对应 $\widehat U$ 的本征值 $+U$ 与 $-U$。因此

$$\chi_c(\mathbf q) = \frac{\chi_0(\mathbf q)}{1+U\chi_0(\mathbf q)},\qquad \chi_s(\mathbf q) = \frac{\chi_0(\mathbf q)}{1-U\chi_0(\mathbf q)}.$$

这说明同一个排斥 $U$ 在电荷本征通道中抑制响应，在自旋本征通道中增强响应。前面广义公式中的统一矩阵逆与这里的正负号并不矛盾：自旋和电荷通道的符号已经包含在自旋指标相互作用矩阵的不同本征值中。

SU(2) 不变的四自旋张量分解

在无 SOC 的体系中，任意 SU(2) 不变的两电子涨落顶角都可以写成

$$\Gamma^{\mathrm{fluc}}(\mathbf q) = A_c(\mathbf q)\,I_1I_2 + A_s(\mathbf q)\, \boldsymbol\sigma_1\cdot\boldsymbol\sigma_2. \label{eq:SU2-invariant-vertex-decomposition}$$

这里 $I_1I_2$ 对应电荷标量通道，$\boldsymbol\sigma_1\cdot\boldsymbol\sigma_2$ 对应自旋矢量通道。将完整的自旋指标矩阵 $W\chi^{\mathrm{RPA}}W$ 从粒子—空穴排列 crossing 到 Cooper 排列后，可以写成

$${ \Gamma^{\mathrm{fluc}}(\mathbf q) = - \frac12U^2\chi_c(\mathbf q)I_1I_2 - \frac12U^2\chi_s(\mathbf q) \boldsymbol\sigma_1\cdot\boldsymbol\sigma_2. } \label{eq:spin-charge-fluctuation-tensor}$$

式中的两个 $-1/2$ 来自两个部分：一是把粒子—空穴电荷/自旋基底变换到两电子 Cooper 自旋基底时的 Fierz 重排，二是闭合粒子—空穴费米回路及外部腿排序的符号。所需的 Pauli 矩阵恒等式是

$$\sum_{a=x,y,z} \sigma^a_{\alpha\gamma} \sigma^a_{\beta\delta} = 2\delta_{\alpha\delta}\delta_{\beta\gamma} - \delta_{\alpha\gamma}\delta_{\beta\delta}. \label{eq:pauli-fierz-identity}$$

它说明“保持自旋指标的直接张量”与“交换两个自旋指标的张量”并不是独立的，而可以重新组织为电荷标量和自旋矢量两部分。

两个自旋 $1/2$ 粒子的总自旋投影算符为

$$P_s = \frac14 \left( 1- \boldsymbol\sigma_1\cdot\boldsymbol\sigma_2 \right),\qquad P_t = \frac14 \left( 3+ \boldsymbol\sigma_1\cdot\boldsymbol\sigma_2 \right).$$

因此

$$\langle S| \boldsymbol\sigma_1\cdot\boldsymbol\sigma_2 |S\rangle=-3,\qquad \langle T| \boldsymbol\sigma_1\cdot\boldsymbol\sigma_2 |T\rangle=+1.$$

将式 $\eqref{eq:spin-charge-fluctuation-tensor}$ 投影到单重态，得到

$$\Gamma_s^{\mathrm{fluc}}(\mathbf q) = -\frac12U^2\chi_c(\mathbf q) + \frac32U^2\chi_s(\mathbf q). \label{eq:singlet-fluctuation-coefficients}$$

投影到三重态，得到

$$\Gamma_t^{\mathrm{fluc}}(\mathbf q) = -\frac12U^2\chi_c(\mathbf q) - \frac12U^2\chi_s(\mathbf q). \label{eq:triplet-fluctuation-coefficients}$$

局域裸 Hubbard 顶角只作用于相反自旋、同一位置的偶空间波函数，因此它在单重态中留下裸项 $U$，在三重态中由于 Pauli 反对称化严格抵消。最终得到标准单带结果

$${ \Gamma_s(\mathbf k,\mathbf k') = U + \frac32U^2\chi_s(\mathbf k-\mathbf k') - \frac12U^2\chi_c(\mathbf k-\mathbf k'), } \label{eq:standard-singlet-rpa-kernel-revised}$$ $${ \Gamma_t(\mathbf k,\mathbf k') = - \frac12U^2\chi_s(\mathbf k-\mathbf k') - \frac12U^2\chi_c(\mathbf k-\mathbf k'). } \label{eq:standard-triplet-rpa-kernel-revised}$$

这里仅显示主导的 transfer momentum $\mathbf q=\mathbf k-\mathbf k’$。完整四指标反对称化公式还必须保留 $\mathbf k+\mathbf k’$ 连接、子晶格矩阵元以及非局域键 form factor。

在本文的线性化能隙方程约定中，方程左侧带有整体负号。于是：

• 三重态中 $-\frac12U^2\chi_s<0$ 可直接看作该通道中的吸引贡献；
• 单重态中 $+\frac32U^2\chi_s>0$ 仍是动量空间排斥核，但若能隙在强散射矢量连接的区域之间变号，它同样产生配对；
• 电荷涨落项在两个自旋通道中均带负号，因此强电荷涨落通常促进不需要由自旋反转获得符号补偿的配对结构。

因此，“自旋涨落促进单重态”并不是说单重态顶角在每个动量点都变成负数，而是说有限动量自旋涨落偏好满足

$$\Delta(\mathbf k+\mathbf Q)\simeq-\Delta(\mathbf k)$$

的符号改变能隙。

由 RPA 涨落得到电子间诱导相互作用

现在讨论整个方法最核心的一步。考虑两个外部电子。第一个电子通过相互作用 $W$ 激发一个粒子—空穴对。该过程贡献一个顶角$W$。粒子—空穴对通过裸响应函数传播，贡献$\chi^0$，第二个电子吸收这个粒子—空穴涨落，再贡献一个顶角$W$。因此二阶过程对应的相互作用为

$$V_{\mathrm{fluc}}^{(2)} = W\chi^0W. \label{eq:second-order-fluctuation-interaction}$$

指标展开为

$$\left[ V_{\mathrm{fluc}}^{(2)} \right]_{AB} = \sum_{CD} W_{AC} \chi^0_{CD} W_{DB}.$$

涨落在被第二个电子吸收前，可以在内部再发生一次相互作用：

$$V_{\mathrm{fluc}}^{(3)} = W\chi^0W\chi^0W.$$

所有涨落交换过程为

$$\begin{aligned} V_{\mathrm{fluc}} ={}& W\chi^0W + W\chi^0W\chi^0W+ W\chi^0W\chi^0W\chi^0W +\cdots. \end{aligned}$$

提取两端的 $W$：

$$\begin{aligned} V_{\mathrm{fluc}} ={}& W {\color{blue}\left[ \chi^0 + \chi^0W\chi^0 + \chi^0W\chi^0W\chi^0 +\cdots \right]} W. \end{aligned}$$

括号内正是式 $\eqref{eq:rpa-susceptibility}$ 中的 $\chi^{\mathrm{RPA}}$。所以

$$V_{\mathrm{fluc}} = W\chi^{\mathrm{RPA}}W. \label{eq:fluctuation-mediated-interaction}$$

代入式 $\eqref{eq:rpa-susceptibility}$

$$V_{\mathrm{fluc}} = W [1-\chi^0W]^{-1} \chi^0 W. \label{eq:fluctuation-mediated-interaction-expanded}$$

这就是“两个电子通过交换 RPA 涨落产生有效相互作用”的基本公式。为什么左右各有一个 $W$？可以把第一个电子看成外部源。它产生的外部场是

$$h_1=W\rho_1.$$

体系的响应为

$$\delta\rho = \chi^{\mathrm{RPA}}h_1 = \chi^{\mathrm{RPA}}W\rho_1.$$

第二个电子与响应密度耦合：

$$h_2=W\delta\rho.$$

所以

$$h_2 = W\chi^{\mathrm{RPA}}W\rho_1.$$

因此两个电子之间的诱导作用自然是式 $\eqref{eq:fluctuation-mediated-interaction}$。

裸相互作用、诱导作用与屏蔽相互作用

定义完整的 RPA 屏蔽相互作用

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{scr}} ={}& W + W\chi^0W + W\chi^0W\chi^0W +\cdots. \end{aligned}$$

求和得到

$$W_{\mathrm{scr}} = W[1-\chi^0W]^{-1}.$$

又因为

$$[1-\chi^0W]^{-1} = 1+[1-\chi^0W]^{-1}\chi^0W,$$

所以

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{scr}} &= W + W[1-\chi^0W]^{-1}\chi^0W \\ &= W+V_{\mathrm{fluc}}. \end{aligned}$$

因此

$$V_{\mathrm{fluc}} = W_{\mathrm{scr}}-W. \label{eq:screened-minus-bare}$$

裸相互作用 $W$ 与涨落修正 $V_{\mathrm{fluc}}$ 是分开计算的，不会被重复计数。

从一般四点相互作用推导 Cooper 配对顶角

前面得到的$W+W\chi^{\mathrm{RPA}}W$仍是一般的四点电子相互作用。现在将外部动量限制为零质心动量 Cooper 对散射：

$$(\mathbf k',-\mathbf k') \longrightarrow (\mathbf k,-\mathbf k). \label{eq:cooper-process-detailed}$$

推导分为四步：

1. 固定 Cooper 外部腿和四费米算符顺序；
2. 由费米反对易关系推出裸顶角的直接项与交换项；
3. 从二阶连通展开中识别 $\mathbf q_+$ 和 $\mathbf q_-$ 两种粒子—空穴拓扑；
4. 用 RPA 几何级数替换内部裸 bubble，得到完整涨落介导顶角。

每一步都只使用前面已经定义的 $W_0$、$W(\mathbf q,\boldsymbol \delta)$ 和 $\chi^0$，不需要额外引用外部结论。Cooper Hamiltonian 写为

$$\begin{aligned} H_{\mathrm{SC}} = \sum_{\mathbf k\mathbf k'} \sum_{\tilde\mu_1\tilde\mu_2\tilde\mu_3\tilde\mu_4} & [V(\mathbf k,\mathbf k')] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4}\times c_{\tilde\mu_1,\mathbf k}^{\dagger} c_{\tilde\mu_3,-\mathbf k}^{\dagger} c_{\tilde\mu_2,-\mathbf k'} c_{\tilde\mu_4,\mathbf k'}. \end{aligned} \label{eq:cooper-operator-order}$$

因此四条外部腿的含义固定为

$$\begin{array}{c|c|c} \text{指标} & \text{动量} & \text{角色}\\ \hline \tilde\mu_1 & \mathbf k & \text{出射电子 1}\\ \tilde\mu_3 & -\mathbf k & \text{出射电子 2}\\ \tilde\mu_2 & -\mathbf k' & \text{入射电子 2}\\ \tilde\mu_4 & \mathbf k' & \text{入射电子 1} \end{array} \label{eq:cooper-external-leg-table}$$

后面所有上下指标排列都以式 $\eqref{eq:cooper-operator-order}$ 为定义基准。先考虑尚未对外部腿反对称化的一般相互作用

$$H_{\mathrm{eff}} = \frac12 \sum_{1234} \mathcal U_{12;34} c_1^\dagger c_2^\dagger c_4c_3. \label{eq:general-two-body-interaction-complete}$$

定义两粒子初态和末态

$$|34\rangle = c_3^\dagger c_4^\dagger|0\rangle, \qquad |12\rangle = c_1^\dagger c_2^\dagger|0\rangle.$$

利用反对易关系，可得

$$\langle0| c_2c_1c_a^\dagger c_b^\dagger |0\rangle = \delta_{1a}\delta_{2b} - \delta_{1b}\delta_{2a}. \label{eq:two-fermion-contraction-complete}$$

因此物理散射振幅必须包含两种不可区分的外部腿连接：

$$\Gamma_{12;34} = \mathcal U_{12;34} - \mathcal U_{12;43}. \label{eq:antisymmetrized-four-point-vertex-complete}$$

第一项保持入射电子与出射电子的配对关系，第二项交换两个入射外腿，并因一次奇置换带有负号。需要强调：这里的负号来自外部全同费米子的反对称化，而不是来自“交换涨落”本身。

裸相互作用在 Cooper 通道中的直接项与交换项

将前面得到的四指标裸相互作用限制到零质心 Cooper 散射，并按照既定外部腿顺序排列费米算符，得到

$$\begin{aligned} H_{U+V}^{\mathrm{SC}} = \sum_{\mathbf k\mathbf k'} & [W_0(\mathbf k-\mathbf k')] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4}\times c_{\tilde\mu_1,\mathbf k}^{\dagger} c_{\tilde\mu_3,-\mathbf k}^{\dagger} c_{\tilde\mu_2,-\mathbf k'} c_{\tilde\mu_4,\mathbf k'}. \end{aligned} \label{eq:ordered-bare-cooper-H-restated}$$

这里显式出现的 $\mathbf k-\mathbf k’$ 对应保持外部腿配对关系的连接。直接连接为

$$(\mathbf k',\tilde\mu_4) \rightarrow (\mathbf k,\tilde\mu_1),\qquad (-\mathbf k',\tilde\mu_2) \rightarrow (-\mathbf k,\tilde\mu_3).$$

第一条线的传递动量为

$$\mathbf q_- = \mathbf k-\mathbf k'. \label{eq:q-minus-definition}$$

因此直接裸顶角为

$$[V_{\mathrm{bare}}^{(-)}] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4} = [W_0(\mathbf q_-)] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4}.$$

交换连接为

$$(-\mathbf k',\tilde\mu_2) \rightarrow (\mathbf k,\tilde\mu_1),\qquad (\mathbf k',\tilde\mu_4) \rightarrow (-\mathbf k,\tilde\mu_3).$$

传递动量为

$$\mathbf q_+ = \mathbf k-(-\mathbf k') = \mathbf k+\mathbf k'. \label{eq:q-plus-definition}$$

交换两个入射外腿后，指标变为

$$(\tilde\mu_2,\tilde\mu_4) \longrightarrow (\tilde\mu_4,\tilde\mu_2),$$

并产生费米负号。因此

$$[V_{\mathrm{bare}}^{(+)}] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4} = - [W_0(\mathbf q_+)] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_4}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_2}. \label{eq:bare-exchange-indices}$$

将式 $\eqref{eq:bare-direct-indices}$ 和式 $\eqref{eq:bare-exchange-indices}$ 相加，得到完整裸 Cooper 顶角

$$\begin{aligned} & [V_{\mathrm{bare}}(\mathbf k,\mathbf k')] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4} = [W_0(\mathbf k-\mathbf k')] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4} - [W_0(\mathbf k+\mathbf k')] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_4}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_2}. \end{aligned}\label{eq:bare-cooper-vertex-full}$$

涨落修正的基本矩阵结构是

$$W\chi^{\mathrm{RPA}}W.$$

但进入 Cooper 通道后，二阶及更高阶图包含两种不同的粒子—空穴收缩拓扑。它们不是把式 $\eqref{eq:bare-cooper-vertex-full}$ 中的 $W_0$ 机械替换为 $W\chi^{\mathrm{RPA}}W$ 就能得到的。

定义带键位移的粒子—空穴双线性

$$B_{\tilde\alpha\tilde\beta}^{\boldsymbol\delta} (\mathbf q) = \frac1{\sqrt N} \sum_{\mathbf p} e^{i\mathbf p\cdot\boldsymbol\delta} c_{\tilde\alpha,\mathbf p-\mathbf q}^{\dagger} c_{\tilde\beta,\mathbf p}. \label{eq:bond-bilinear-complete}$$

将所有指标合并为$A=
(\tilde\alpha,\tilde\beta,\boldsymbol\delta)$，则相互作用可形式化写为

$$H_{\mathrm{int}} = \frac12 \sum_{\mathbf q} \sum_{AB} B_A(\mathbf q) W_{AB}(\mathbf q) B_B(-\mathbf q). \label{eq:interaction-bilinear-matrix-complete}$$

这里$W_{AB}(\mathbf q)
\equiv
[W(\mathbf q,\boldsymbol\delta)]_{\tilde\alpha\tilde\beta}^{\tilde\gamma\tilde\eta}$中的非零 $\boldsymbol\delta$ 块保存单条有向键振幅，而不保存外部动量相位。

---

在虚时作用量中，二阶连通有效作用为

$$S_{\mathrm{eff}}^{(2)} = -\frac12 \left\langle S_{\mathrm{int}}^2 \right\rangle_{0,\mathrm c}. \label{eq:second-order-cumulant}$$

从两个四费米顶角中各保留两个外部算符，并将剩余四个内部算符收缩成一个粒子—空穴回路。存在两种互不等价的收缩。在式 $\eqref{eq:cooper-operator-order}$ 所规定的外部腿顺序下，二阶连通图的符号可以逐项整理为：

贡献	二阶展开 $-1/2$	两种等价顶角次序	闭合费米回路	外部算符重排	净符号
$\mathbf q_+$ 拓扑	$-$	$\times2$	$-$	$+$	$+$
$\mathbf q_-$ 拓扑	$-$	$\times2$	$-$	$-$	$-$

最后一列给出两个粒子—空穴拓扑在 Cooper 顶角中的相对符号。这个符号不是额外假设，而是二阶展开、闭合费米回路和外部算符重排三者共同决定的。这个符号表依赖于式 $\eqref{eq:cooper-operator-order}$ 的外部腿和算符顺序。若重新定义四点顶角，各个中间项的指标位置和符号可以改变，但完成费米反对称化后的物理散射振幅必须保持不变。

• 第一种收缩：$\mathbf q_+=\mathbf k+\mathbf k’$ 通道

这一拓扑的粒子—空穴线连接外部动量

$$\mathbf k \quad\text{与}\quad -\mathbf k',$$

因此内部粒子—空穴传播的总动量为$\mathbf q_+
=
\mathbf k+\mathbf k’$。对一条有向键，有

$$\sum_{\mathbf R} c_{\mu,\mathbf R}^{\dagger} c_{\nu,\mathbf R+\boldsymbol\delta} = \sum_{\mathbf p} e^{i\mathbf p\cdot\boldsymbol\delta} c_{\mu,\mathbf p}^{\dagger} c_{\nu,\mathbf p}, \label{eq:oriented-bond-fourier-plus}$$

而反向有向键满足

$$\sum_{\mathbf R} c_{\nu,\mathbf R+\boldsymbol\delta}^{\dagger} c_{\mu,\mathbf R} = \sum_{\mathbf p} e^{-i\mathbf p\cdot\boldsymbol\delta} c_{\nu,\mathbf p}^{\dagger} c_{\mu,\mathbf p}. \label{eq:oriented-bond-fourier-minus}$$

在 $\mathbf q_+$ 拓扑中，左侧顶角与出射动量 $\mathbf k$ 的连接产生$e^{-i\mathbf k\cdot\boldsymbol\delta}$，右侧顶角与入射动量 $\mathbf k’$ 以相反键取向连接，产生$e^{+i\mathbf k’\cdot\boldsymbol\delta’}$。因此外部 form factor 为$e^{-i\mathbf k\cdot\boldsymbol\delta}
e^{+i\mathbf k’\cdot\boldsymbol\delta’}$。定义

$$X(\mathbf q) = [1-\chi^0(\mathbf q)W(\mathbf q)]^{-1} \chi^0(\mathbf q). \label{eq:X-rpa-complete}$$

在显式内部指标下，

$$\begin{aligned} & \Big[ W(\mathbf q,\boldsymbol\delta) X(\mathbf q;\boldsymbol\delta,\boldsymbol\delta') W(\mathbf q,\boldsymbol\delta') \Big] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4} = \sum_{\tilde\nu_1\tilde\nu_2\tilde\nu_3\tilde\nu_4} [W(\mathbf q,\boldsymbol\delta)] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\nu_1\tilde\nu_2}\times [X(\mathbf q;\boldsymbol\delta,\boldsymbol\delta')] _{\tilde\nu_1\tilde\nu_2}^{\tilde\nu_3\tilde\nu_4} [W(\mathbf q,\boldsymbol\delta')] _{\tilde\nu_3\tilde\nu_4}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4}. \end{aligned} \label{eq:WXW-explicit-indices}$$

因此 $\mathbf q_+$ 涨落贡献为

$$\begin{aligned} & [V_{\mathrm{fluc}}^{(+)}(\mathbf k,\mathbf k')] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4} = \sum_{\boldsymbol\delta,\boldsymbol\delta'} e^{-i\mathbf k\cdot\boldsymbol\delta} e^{+i\mathbf k'\cdot\boldsymbol\delta'}\times \Big[ W(\mathbf q_+,\boldsymbol\delta) X(\mathbf q_+;\boldsymbol\delta,\boldsymbol\delta') W(\mathbf q_+,\boldsymbol\delta') \Big] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4}. \end{aligned} \label{eq:qplus-fluctuation-term}$$

• 第二种收缩：$\mathbf q_-=\mathbf k-\mathbf k’$ 通道

另一种粒子—空穴收缩连接外部动量

$$\mathbf k \quad\text{与}\quad \mathbf k',$$

因此内部传递动量为$\mathbf q_-
=
\mathbf k-\mathbf k’$，此时右侧顶角使用与左侧相同的键取向，所以外部 form factor 变为$e^{-i\mathbf k\cdot\boldsymbol\delta}
e^{-i\mathbf k’\cdot\boldsymbol\delta’}$。为了恢复式 $\eqref{eq:cooper-operator-order}$ 的外部算符顺序，需要交换两个入射腿，因此顶角指标排列变为

$$(\tilde\mu_1,\tilde\mu_2;\tilde\mu_3,\tilde\mu_4) \longrightarrow (\tilde\mu_1,\tilde\mu_4;\tilde\mu_3,\tilde\mu_2),$$

并产生额外负号。于是

$$\begin{aligned} & [V_{\mathrm{fluc}}^{(-)}(\mathbf k,\mathbf k')] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4} = - \sum_{\boldsymbol\delta,\boldsymbol\delta'} e^{-i\mathbf k\cdot\boldsymbol\delta} e^{-i\mathbf k'\cdot\boldsymbol\delta'}\times \Big[ W(\mathbf q_-,\boldsymbol\delta) X(\mathbf q_-;\boldsymbol\delta,\boldsymbol\delta') W(\mathbf q_-,\boldsymbol\delta') \Big] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_4}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_2}. \end{aligned} \label{eq:qminus-fluctuation-term}$$

二阶图中，内部传播子是裸 bubble $\chi^0$。若粒子—空穴对在被外部电子吸收前继续经历任意次数的相互作用，则

$$\chi^0 \longrightarrow \chi^0 + \chi^0W\chi^0 + \chi^0W\chi^0W\chi^0 +\cdots = X.$$

因此式 $\eqref{eq:qplus-fluctuation-term}$ 和式 $\eqref{eq:qminus-fluctuation-term}$ 已经同时包含 bubble 与 ladder 的 RPA 无穷级数。由于

$$X = \chi^0+O(W),$$

所以

$$WXW = W\chi^0W+O(W^3).$$

涨落修正最低从二阶 $W^2$ 开始，不包含一阶裸相互作用。因此$V_{\mathrm{bare}}$与$V_{\mathrm{fluc}}$属于不同微扰阶次，将二者相加不会重复计数。将两个拓扑相加，

$$V_{\mathrm{fluc}} = V_{\mathrm{fluc}}^{(+)} + V_{\mathrm{fluc}}^{(-)},$$

得到

$$\begin{aligned} & [V_{\mathrm{fluc}}(\mathbf k,\mathbf k')] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4} = \sum_{\boldsymbol\delta,\boldsymbol\delta'} e^{-i\mathbf k\cdot\boldsymbol\delta} e^{+i\mathbf k'\cdot\boldsymbol\delta'}\times \Big[ W(\mathbf k+\mathbf k',\boldsymbol\delta) X(\mathbf k+\mathbf k'; \boldsymbol\delta,\boldsymbol\delta') W(\mathbf k+\mathbf k',\boldsymbol\delta') \Big] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4} \\[2mm] &- \sum_{\boldsymbol\delta,\boldsymbol\delta'} e^{-i\mathbf k\cdot\boldsymbol\delta} e^{-i\mathbf k'\cdot\boldsymbol\delta'}\times \Big[ W(\mathbf k-\mathbf k',\boldsymbol\delta) X(\mathbf k-\mathbf k'; \boldsymbol\delta,\boldsymbol\delta') W(\mathbf k-\mathbf k',\boldsymbol\delta') \Big] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_4}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_2}. \end{aligned} \label{eq:fluctuation-cooper-vertex-full}$$

将裸顶角式 $\eqref{eq:bare-cooper-vertex-full}$ 与涨落修正式 $\eqref{eq:fluctuation-cooper-vertex-full}$ 相加：

$$\begin{aligned} & [V(\mathbf k,\mathbf k')] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4} = [W_0(\mathbf k-\mathbf k')] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4} - [W_0(\mathbf k+\mathbf k')] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_4}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_2} + [V_{\mathrm{fluc}}(\mathbf k,\mathbf k')] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4}. \end{aligned} \label{eq:total-cooper-vertex-full}$$

---

广义粒子—空穴传播函数中的内部键相位是

$$e^{i\mathbf p\cdot (\boldsymbol\delta-\boldsymbol\delta')}, \label{eq:internal-bond-phase-summary}$$

其中 $\mathbf p$ 是 particle-hole 回路中被求和的内部动量。它负责记录 ladder 图内部每一条有向键的动量流。将两个涨落顶角连接到 Cooper 外腿时产生的外部键相位是

$$e^{-i\mathbf k\cdot\boldsymbol\delta} e^{\pm i\mathbf k'\cdot\boldsymbol\delta'}, \label{eq:external-bond-phase-summary}$$

其中 $\mathbf k,\mathbf k’$ 是 Cooper 散射的外部动量。它负责将相位自由的单键矩阵 $W(\mathbf q,\boldsymbol\delta)$ 重新连接到外部电子腿。因此，内部相位不能替代外部相位，外部相位也不能吸收到$\chi^0$中。若只保留局域 $U$，则

$$\boldsymbol\delta=\boldsymbol\delta'=0,$$

所有外部和内部键相位均为 1。式 $\eqref{eq:fluctuation-cooper-vertex-full}$ 简化为

$$\begin{aligned} [V_{\mathrm{fluc}}] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4} ={}& [WXW(\mathbf q_+)] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_2}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_4}- [WXW(\mathbf q_-)] _{\tilde\mu_1\tilde\mu_4}^{\tilde\mu_3\tilde\mu_2}. \end{aligned} \label{eq:local-limit-eq14}$$

这说明即使没有非局域键相位，两个不同粒子—空穴传递动量和外部指标置换仍然必须保留。

从子晶格空间投影到能带空间

将式 $\eqref{eq:total-cooper-vertex-full}$ 投影到能带表象。利用

$$c_{\mu\mathbf k s} = \sum_n u_n^\mu(\mathbf k) d_{n\mathbf k s},$$

得到

$$\begin{aligned} & [V(n_1\mathbf k,n_2\mathbf k')] _{s_1s_2}^{s_3s_4} = \sum_{\mu_1\mu_2\mu_3\mu_4} u_{n_1}^{\mu_1*}(\mathbf k) u_{n_1}^{\mu_3*}(-\mathbf k)\times [V(\mathbf k,\mathbf k')] _{\mu_1s_1,\mu_2s_2}^{\mu_3s_3,\mu_4s_4} u_{n_2}^{\mu_2}(-\mathbf k') u_{n_2}^{\mu_4}(\mathbf k'). \end{aligned} \label{eq:band-projected-cooper-vertex-complete}$$

这里 $n_2$ 是入射 Cooper 对所在能带，$n_1$ 是出射 Cooper 对所在能带。以下采用 intraband Cooper-pair 近似：每一个 Cooper 对内部的两个电子来自同一条能带，即

$$(n,\mathbf k), \qquad (n,-\mathbf k).$$

但允许一对从费米面能带 $n_2$ 散射到另一条费米面能带 $n_1$。对于只有一条能带穿过费米能的情形，可省略 $n_1,n_2$。

令 $\bar s$ 表示与 $s$ 相反的自旋。对带空间四点顶角作单重态和三重态自旋投影，定义

$$\begin{aligned} \Gamma_{s/t}(n_1\mathbf k,n_2\mathbf k') = \sum_{s=\uparrow,\downarrow} \Big( [V(n_1\mathbf k,n_2\mathbf k')] _{\bar s\,s}^{s\,\bar s} \mp [V(n_1\mathbf k,n_2\mathbf k')] _{\bar s\,\bar s}^{s\,s} \Big). \end{aligned} \label{eq:spin-singlet-triplet-projection}$$

上号对应单重态，下号对应三重态。式 $\eqref{eq:spin-singlet-triplet-projection}$ 中对 $s=\uparrow,\downarrow$ 的求和应显式保留。若 SU(2) 对称性严格成立，两项相等，求和只产生一个整体因子；但在数值实现中，显式求和也是检查自旋指标和顶角排列是否正确的重要诊断。

从标准自旋态

$$|S\rangle = \frac{ |\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\rangle }{\sqrt2},\qquad |T_0\rangle = \frac{ |\uparrow\downarrow\rangle + |\downarrow\uparrow\rangle }{\sqrt2},$$

出发，可以得到

$$\Gamma_s=D-X, \qquad \Gamma_t=D+X,$$

这正是第 3 节中 Pauli 反对称化在自旋基底中的具体形式。

能带顶角的单重态与三重态投影

定义带空间顶角中的两种独立自旋矩阵元

$$D = V_{\uparrow\downarrow;\uparrow\downarrow}, \qquad X = V_{\uparrow\downarrow;\downarrow\uparrow}.$$

在 SU(2) 对称条件下，对 $|S\rangle$ 和 $|T_0\rangle$ 取矩阵元得到

$$\Gamma_s=D-X, \qquad \Gamma_t=D+X. \label{eq:singlet-triplet-DX-revised}$$

若 $\mathcal U(\mathbf q)$ 是自旋无关的标量作用，并将交换连接中的费米负号包含在 $X$ 的定义中，则

$$D=\mathcal U(\mathbf k-\mathbf k'), \qquad X=-\mathcal U(\mathbf k+\mathbf k'),$$

所以

$$\Gamma_s = \mathcal U(\mathbf k-\mathbf k') + \mathcal U(\mathbf k+\mathbf k'),\qquad \Gamma_t = \mathcal U(\mathbf k-\mathbf k') - \mathcal U(\mathbf k+\mathbf k'). \label{eq:scalar-direct-exchange-parity}$$

对于动量无关的接触作用 $\mathcal U=U$，三重态裸顶角严格为零，而单重态保留非零接触排斥。整体因子取决于 Hamiltonian 中 $1/2$ 与 Cooper 对计数约定，但三重态抵消这一结论不依赖约定。

线性化能隙方程

在能带表象中写为

$$H_{\mathrm{pair}} = \frac12 \sum_{\mathbf k\mathbf k'} \Gamma(\mathbf k,\mathbf k') d_{\mathbf k}^{\dagger} d_{-\mathbf k}^{\dagger} d_{-\mathbf k'} d_{\mathbf k'}. \label{eq:pairing-hamiltonian}$$

定义超导能隙

$$\Delta(\mathbf k) = - \sum_{\mathbf k'} \Gamma(\mathbf k,\mathbf k') \left\langle d_{-\mathbf k'}d_{\mathbf k'} \right\rangle. \label{eq:gap-definition}$$

负号来自平均场分解和费米算符排序。BCS 平均场 Hamiltonian 为

$$H_{\mathrm{MF}} = \sum_{\mathbf k} \xi_{\mathbf k} d_{\mathbf k}^{\dagger}d_{\mathbf k} - \sum_{\mathbf k} \left[ \Delta(\mathbf k) d_{\mathbf k}^{\dagger}d_{-\mathbf k}^{\dagger} +\mathrm{H.c.} \right]. \label{eq:BCS-mean-field-sign-convention}$$

准粒子能量为$E_{\mathbf k}
=
\sqrt{
\xi_{\mathbf k}^2+
|\Delta(\mathbf k)|^2
}$，反常平均为

$$\left\langle d_{-\mathbf k}d_{\mathbf k} \right\rangle = \frac{\Delta(\mathbf k)} {2E_{\mathbf k}} \tanh\frac{E_{\mathbf k}}{2T}. \label{eq:anomalous-average}$$

将式 $\eqref{eq:anomalous-average}$ 代回式 $\eqref{eq:gap-definition}$：

$$\Delta(\mathbf k) = - \sum_{\mathbf k'} \Gamma(\mathbf k,\mathbf k') \frac{\Delta(\mathbf k')} {2E_{\mathbf k'}} \tanh\frac{E_{\mathbf k'}}{2T}.$$

接近 $T_c$ 时$|\Delta|\rightarrow0$，所以$E_{\mathbf k}
\approx
|\xi_{\mathbf k}|$，得到

$$\Delta(\mathbf k) = - \sum_{\mathbf k'} \Gamma(\mathbf k,\mathbf k') \frac{ \tanh(\xi_{\mathbf k'}/2T) }{ 2\xi_{\mathbf k'} } \Delta(\mathbf k'). \label{eq:linearized-gap-momentum}$$

这是完整动量空间线性化能隙方程。二维体系中

$$\frac1N\sum_{\mathbf k} \rightarrow \frac{A_{\mathrm{uc}}}{(2\pi)^2} \int_{\mathrm{BZ}}d^2k.$$

在费米面附近，用沿费米面的弧长 $\ell$ 和垂直费米面的能量 $\xi$ 参数化：

$$d^2k = d\ell\,dk_\perp.$$

由于

$$d\xi = |\nabla_{\mathbf k}\xi|\,dk_\perp = |v_F(\mathbf k_f)|\,dk_\perp,$$

所以

$$dk_\perp = \frac{d\xi}{|v_F(\mathbf k_f)|}.$$

于是

$$d^2k = \frac{d\ell\,d\xi} {|v_F(\mathbf k_f)|}. \label{eq:fermi-surface-coordinate}$$

因此

$$\begin{aligned} \frac1N\sum_{\mathbf k'} \rightarrow \frac{A_{\mathrm{uc}}}{(2\pi)^2} \oint_{\mathrm{FS}} \frac{d\ell'}{|v_F(\mathbf k_f')|} \int d\xi'. \end{aligned}$$

Kagome 晶格的 Bravais 原胞为三角晶格。取 $a=1$ 时，

$$\mathbf t_1=(1,0),\qquad \mathbf t_2= \left( \frac12,\frac{\sqrt3}{2} \right),$$

所以

$$A_{\mathrm{uc}} = |\mathbf t_1\times\mathbf t_2| = \frac{\sqrt3}{2}.$$

线性化方程中的能量积分为

$$I(T) = \int_{-\Omega}^{\Omega} d\xi \frac{\tanh(\xi/2T)}{2\xi}.$$

被积函数为偶函数：

$$I(T) = \int_0^\Omega d\xi \frac{\tanh(\xi/2T)}{\xi}.$$

弱耦合低温下，

$$I(T) = \ln \frac{2e^\gamma\Omega}{\pi T}, \label{eq:bcs-log-integral}$$

其中 $\gamma$ 是 Euler 常数。将共同的 BCS 对数因子从角向本征值问题中提取出来。若有多条费米面 $C_j$，一般形式为

$$\color{blue}\boxed{ - \sum_j \oint_{C_j} \frac{A_{\mathrm{uc}}\,d\ell'}{(2\pi)^2|v_{F,j}(\mathbf k')|} \Gamma_{ij}^{s/t}(\mathbf k,\mathbf k') \Delta_j(\mathbf k') = \lambda\Delta_i(\mathbf k). } \label{eq:multi-FS-gap-equation}$$

其中 $\Gamma_{ij}$ 表示 Cooper 对从费米面 $C_j$ 散射到 $C_i$ 的配对顶角。对于只有一条费米面且 $A_{\mathrm{uc}}=\sqrt3/2$ 的 Kagome 模型，退化为

$$- \frac{\sqrt3}{2(2\pi)^2} \oint_{\mathrm{FS}} \frac{d\ell'}{|v_F(\mathbf k_f')|} \Gamma_{s/t}(\mathbf k_f,\mathbf k_f') \Delta(\mathbf k_f') = \lambda\Delta(\mathbf k_f). \label{eq:fermi-surface-gap-equation}$$

这就是将完整动量空间能隙方程投影到费米面后得到的线性本征方程。本征函数给出每一条费米面上的序参量分布，而最大本征值对应最领先的配对通道。

若最大的本征值为 $\lambda_{\max}$，则弱耦合下满足

$$1 = \lambda_{\max} \ln \frac{2e^\gamma\Omega}{\pi T_c}.$$

所以

$$T_c = \frac{2e^\gamma}{\pi} \Omega e^{-1/\lambda_{\max}}. \label{eq:tc-eigenvalue}$$

在实际 RPA 计算中，截止能量 $\Omega$ 和自能修正并未被精确处理，因此通常主要比较

$$\lambda_1,\lambda_2,\ldots$$

的相对大小，而不将其直接转化为精确的实验 $T_c$。

为什么排斥作用仍可产生正的配对本征值

线性化方程 $\eqref{eq:fermi-surface-gap-equation}$ 包含负号

$$- \oint \Gamma(\mathbf k,\mathbf k') \Delta(\mathbf k').$$

假设 susceptibility 在 $\mathbf Q$ 处很强，使得

$$\Gamma(\mathbf k,\mathbf k+\mathbf Q)>0.$$

如果能隙满足

$$\Delta(\mathbf k+\mathbf Q) = -\Delta(\mathbf k), \label{eq:sign-changing-gap}$$

那么

$$\begin{aligned} & -\Gamma(\mathbf k,\mathbf k+\mathbf Q) \Delta(\mathbf k+\mathbf Q) = +\Gamma(\mathbf k,\mathbf k+\mathbf Q) \Delta(\mathbf k), \end{aligned}$$

它对正本征值作出贡献。因此非常规超导中的“有效吸引”不是一定要求

$$\Gamma(\mathbf k,\mathbf k')<0$$

在每一个动量点成立，而是要求该积分算符在某个符号变化的能隙函数上具有正本征值。即

$${ \text{动量依赖的排斥顶角} + \text{符号变化的能隙} = \text{某个对称通道中的配对不稳定性}. }\nonumber$$

数值离散化与一致性检查

将所有穿过费米能的费米面分别离散。用复合指标 $i=(a,m)$ 表示第 $a$ 条费米面上的第 $m$ 个点，总点数记为 $N_F$。为简化记号，下面仍写成 $\mathbf k_i$。

$$\mathbf k_1,\mathbf k_2,\ldots,\mathbf k_{N_F}.$$

第 $j$ 个费米面区段的权重为

$$w_j = \frac{A_{\mathrm{uc}}}{(2\pi)^2} \frac{\Delta\ell_j}{|v_F(\mathbf k_j)|}. \label{eq:fermi-surface-weight}$$

对于本文取晶格常数为 1 的 Kagome Bravais 原胞，$A_{\mathrm{uc}}=\sqrt3/2$。积分方程变为

$$-\sum_j \Gamma_{ij}w_j\Delta_j = \lambda\Delta_i. \label{eq:discrete-gap-equation}$$

该矩阵通常不是普通 Euclidean 意义下的对称矩阵。定义

$$\phi_i = \sqrt{w_i}\Delta_i,$$

则

$$-\sum_j \sqrt{w_i}\Gamma_{ij}\sqrt{w_j} \phi_j = \lambda\phi_i.$$

定义带权核

$$K_{ij} = -\sqrt{w_i} \Gamma_{ij} \sqrt{w_j}. \label{eq:symmetrized-kernel}$$

于是

$$\sum_jK_{ij}\phi_j = \lambda\phi_i. \label{eq:symmetric-eigenproblem}$$

在一般复 Bloch 规范下，正确要求是

$$K_{ij}=K_{ji}^*,$$

即 $K$ 为 Hermitian，而不一定是实对称矩阵。只有在无磁性、无 SOC 且选择适当实规范时，才可进一步退化为普通实对称本征值问题。数值中应检查

$$\max_{ij}|K_{ij}-K_{ji}^*|$$

是否足够小。求出 $\phi_i$ 后

$$\Delta_i = \frac{\phi_i}{\sqrt{w_i}}.$$

参考文献

Superconductivity from repulsive interactions on the kagome lattice
Nature of Unconventional Pairing in the Kagome Superconductors AV$_3$Sb$_5$(A=K,Rb,Cs)

鉴于该网站分享的大都是学习笔记，作者水平有限，若发现有问题可以发邮件给我

• yxliphy@gmail.com

也非常欢迎喜欢分享的小伙伴投稿