超流权重推导

设序参量为

$\Delta(\mathbf r)=|\Delta|e^{i\theta(\mathbf r)},\qquad \theta(\mathbf r)=2\mathbf q\cdot\mathbf r.$

自由能展开为

$F(\mathbf q)=F(0)+ \left.\frac{\partial F}{\partial q_\mu}\right|_{\mathbf q=0}q_\mu+ \frac12\left.\frac{\partial^2F}{\partial q_\mu\partial q_\nu}\right|_{\mathbf q=0}q_\mu q_\nu+O(q^3).$

平衡态一阶项为零，定义

$\color{blue} D^s_{\mu\nu}=\frac1V\left.\frac{\partial^2F}{\partial q_\mu\partial q_\nu}\right|_{\mathbf q=0} \label{eq:def}$

于是

$\frac{F(\mathbf q)-F(0)}V=\frac12D^s_{\mu\nu}q_\mu q_\nu. \label{eq:stiffness}$

正常态哈密顿量为

$H_0=\sum_{\mathbf k}c^\dagger_{\mathbf k}[h(\mathbf k)-\mu]c_{\mathbf k}.$

在 Nambu 基底 $\Psi_{\mathbf k}=(c_{\mathbf k},c^\dagger_{-\mathbf k})^T$ 下，

$H_{\mathrm{BdG}}(\mathbf k,\mathbf q)= \begin{pmatrix} h(\mathbf k+\mathbf q)-\mu&\Delta(\mathbf k)\\ \Delta^\dagger(\mathbf k)&-h^T(-\mathbf k+\mathbf q)+\mu \end{pmatrix}. \label{eq:bdg-q}$

这里使用了平均场近似，并且只考虑静态、均匀、长波长的相位扭转。Taylor 展开：

$H_{\mathrm{BdG}}(\mathbf k,\mathbf q) =H_0(\mathbf k)+q_\mu H_\mu(\mathbf k)+\frac12q_\mu q_\nu H_{\mu\nu}(\mathbf k)+O(q^3), \label{eq:bdg-expansion}$

其中

$H_\mu=\left.\frac{\partial H_{\mathrm{BdG}}}{\partial q_\mu}\right|_0, \qquad H_{\mu\nu}=\left.\frac{\partial^2H_{\mathrm{BdG}}}{\partial q_\mu\partial q_\nu}\right|_0.$

设

$H(\mathbf q)|n(\mathbf q)\rangle=E_n(\mathbf q)|n(\mathbf q)\rangle.$

对 $q_\mu$ 求导并左乘 $\langle n|$：

${ \partial_\mu E_n=\langle n|H_\mu|n\rangle } \label{eq:hf}$

对本征方程求导后左乘 $\langle m|$，其中 $m\ne n$：

$\langle m|H_\mu|n\rangle=(E_n-E_m)\langle m|\partial_\mu n\rangle.$

所以

$\color{blue} \langle m|\partial_\mu n\rangle= \frac{\langle m|H_\mu|n\rangle}{E_n-E_m} \label{eq:state-derivative}$

再次求导

${ \partial_\mu\partial_\nu E_n =\langle n|H_{\mu\nu}|n\rangle +2\operatorname{Re}\sum_{m\ne n} \frac{\langle n|H_\mu|m\rangle\langle m|H_\nu|n\rangle}{E_n-E_m} } \label{eq:second-energy}$

式 $\eqref{eq:second-energy}$ 使用了非简并微扰理论；简并时须先在简并子空间中对角化扰动。

BdG 对角化与自由能 Hessian

对固定的 $\mathbf q$，平均场哈密顿量具有形式

$H_{\mathrm{MF}}(\mathbf q) =E_{\mathrm{vac}}(\mathbf q) +\frac12\sum_{\mathbf k} \Psi^\dagger_{\mathbf k} H_{\mathrm{BdG}}(\mathbf k,\mathbf q) \Psi_{\mathbf k}. \label{eq:mf-bdg}$

对 $H_{\mathrm{BdG}}$ 做 Bogoliubov 变换。若 $E_{a\mathbf k}(\mathbf q)>0$ 表示正能量 BdG 分支，则

$H_{\mathrm{MF}}(\mathbf q) =E_0(\mathbf q) +\sum_{\mathbf k,a>0} E_{a\mathbf k}(\mathbf q) \gamma^\dagger_{a\mathbf k}(\mathbf q) \gamma_{a\mathbf k}(\mathbf q), \label{eq:bdg-diagonal}$

其中 $E_0(\mathbf q)$ 包含 BdG 真空能、配对场常数项以及 Nambu 双计数修正。每个正能量费米准粒子模式的占据数为 $0$ 或 $1$，因此该模式的配分函数是

$Z_{a\mathbf k}(\mathbf q) =\sum_{n=0}^{1} \exp[-\beta nE_{a\mathbf k}(\mathbf q)] =1+\exp[-\beta E_{a\mathbf k}(\mathbf q)]. \label{eq:mode-partition}$

所有独立正能量模式相互独立，所以总配分函数为

$Z(\mathbf q) =\exp[-\beta E_0(\mathbf q)] \prod_{\mathbf k,a>0} \left[1+\exp(-\beta E_{a\mathbf k}(\mathbf q))\right]. \label{eq:bdg-partition}$

由 $F=-\beta^{-1}\ln Z$：

$F(\mathbf q) =E_0(\mathbf q) -\frac1\beta \sum_{\mathbf k,a>0} \ln\left[1+\exp(-\beta E_{a\mathbf k}(\mathbf q))\right]. \label{eq:bdg-free-energy}$

因此，最基本的单个 BdG 正能量分支贡献函数是

$\phi_a(E) =-\frac1\beta\ln(1+e^{-\beta E}). \label{eq:phi-basic}$

如果一个正能量分支具有简并度 $g_a$，则右侧乘以 $g_a$。在常用的自旋简并 BCS 记号中，真空能中的 $-E$ 项与两个自旋简并的热项合并为

$\phi(E) =-E-\frac2\beta\ln(1+e^{-\beta E}) =-\frac2\beta\ln\left(2\cosh\frac{\beta E}{2}\right). \label{eq:phi-bcs}$

因此，本文后面的单带 BCS 推导使用的是式 $\eqref{eq:phi-bcs}$；一般 BdG 推导则使用式 $\eqref{eq:bdg-free-energy}$，并把 $E_0(\mathbf q)$ 的显式二阶导数保留下来。对任意一条能量分支，设其自由能贡献为 $\phi(E_n(\mathbf q))$，则

$\phi(E_n(\mathbf q)) =\phi(E_n) +\phi'(E_n)q_\mu\partial_\mu E_n +\frac12\phi'(E_n)q_\mu q_\nu\partial_\mu\partial_\nu E_n +\frac12\phi''(E_n)q_\mu q_\nu \partial_\mu E_n\partial_\nu E_n.$

如果显式真空能和配对常数项的二阶响应定义为

$D^{\mathrm{expl}}_{\mu\nu} =\frac1V \left. \frac{\partial^2E_0(\mathbf q)} {\partial q_\mu\partial q_\nu} \right|_{\mathbf q=0}, \label{eq:explicit-response}$

那么由式 $\eqref{eq:def}$：

${ D^s_{\mu\nu} =D^{\mathrm{expl}}_{\mu\nu} +\frac1V\sum_{\mathbf k,n} \left[ \phi'(E_n)\partial_\mu\partial_\nu E_n +\phi''(E_n) \partial_\mu E_n\partial_\nu E_n \right] } \label{eq:hessian}$

代入式 $\eqref{eq:hf}$ 和式 $\eqref{eq:second-energy}$：

$\begin{aligned} D^s_{\mu\nu} =D^{\mathrm{expl}}_{\mu\nu} +\frac1V\sum_{\mathbf k,n}\Bigg[& \phi'(E_n)\langle n|H_{\mu\nu}|n\rangle+\phi''(E_n) \langle n|H_\mu|n\rangle \langle n|H_\nu|n\rangle\\ &+2\phi'(E_n)\operatorname{Re}\sum_{m\ne n} \frac{\langle n|H_\mu|m\rangle\langle m|H_\nu|n\rangle} {E_n-E_m} \Bigg]. \end{aligned} \label{eq:general-response}$

这就是从 BdG 对角化和配分函数直接得到的自由能响应。后续单带计算会把 $E_0(\mathbf q)$ 的显式项写出来，而不是把它隐含在 $\phi$ 中。

单带 BCS 结果

取

$\xi_{\mathbf k}=\epsilon_{\mathbf k}-\mu,\qquad H_{\mathbf k}=\xi_{\mathbf k}\tau_z+\Delta\tau_x.$

BdG 能量为

$E_{\mathbf k}=\sqrt{\xi_{\mathbf k}^2+\Delta^2}.$

假设时间反演对称：$\xi_{-\mathbf k}=\xi_{\mathbf k}$，定义

$v_{\mathbf k,\mu}=\partial_\mu\epsilon_{\mathbf k}, \qquad m^{-1}_{\mathbf k,\mu\nu}=\partial_\mu\partial_\nu\epsilon_{\mathbf k}.$

则

$\begin{aligned} &\xi_{\mathbf k+\mathbf q} =\xi_{\mathbf k}+q_\mu v_{\mathbf k,\mu} +\frac12q_\mu q_\nu m^{-1}_{\mathbf k,\mu\nu}+O(q^3),\\ &\xi_{-\mathbf k+\mathbf q} =\xi_{\mathbf k}-q_\mu v_{\mathbf k,\mu} +\frac12q_\mu q_\nu m^{-1}_{\mathbf k,\mu\nu}+O(q^3). \end{aligned}$

对角化这个 $2\times2$ BdG 块后，正能量准粒子为 $E_{\mathbf k}(\mathbf q)$。结合其真空能和自旋简并的热占据，单带自由能可写为

$F(\mathbf q) =\sum_{\mathbf k} \left[ \xi^+_{\mathbf k}(\mathbf q) +\phi\left(E_{\mathbf k}(\mathbf q)\right) \right] +\frac{\Delta^2}{g}, \label{eq:single-band-free-energy}$

其中 $\xi^+_{\mathbf k}(\mathbf q)$ 是粒子和空穴色散的平均值：

$\xi^+_{\mathbf k}(\mathbf q) =\frac12\left[ \xi_{\mathbf k+\mathbf q} +\xi_{-\mathbf k+\mathbf q} \right].$

这里的 $\phi$ 就是式 $\eqref{eq:phi-bcs}$ 中由 BdG 配分函数得到的函数：

$\phi(E) =-E-\frac2\beta\ln(1+e^{-\beta E}) =-\frac2\beta\ln\left(2\cosh\frac{\beta E}{2}\right).$

因此

$\phi'(E)=-\tanh\frac{\beta E}{2}, \qquad \phi''(E)=-\frac{\beta}{2\cosh^2(\beta E/2)}. \label{eq:phi-bcs-derivatives}$

代入自由能展开后：

$D^s_{\mu\nu} =\sum_{\mathbf k} \left[ A_{\mathbf k}m^{-1}_{\mathbf k,\mu\nu} -\frac{\beta}{2\cosh^2(\beta E_{\mathbf k}/2)} v_{\mathbf k,\mu}v_{\mathbf k,\nu} \right],\qquad A_{\mathbf k}=1-\frac{\xi_{\mathbf k}}{E_{\mathbf k}}\tanh\frac{\beta E_{\mathbf k}}2.$

使用周期性布里渊区恒等式

$\sum_{\mathbf k}\partial_\mu[v_{\mathbf k,\nu}A_{\mathbf k}]=0,$

以及

$\partial_\mu E_{\mathbf k}=\frac{\xi_{\mathbf k}}{E_{\mathbf k}}v_{\mathbf k,\mu}, \qquad \partial_\mu\left(\frac{\xi_{\mathbf k}}{E_{\mathbf k}}\right) =\frac{\Delta^2}{E_{\mathbf k}^3}v_{\mathbf k,\mu},$

得到

$\partial_\mu A_{\mathbf k} =-\left[ \frac{\Delta^2}{E_{\mathbf k}^3}\tanh\frac{\beta E_{\mathbf k}}2 +\frac{\beta\Delta^2}{2E_{\mathbf k}^2\cosh^2(\beta E_{\mathbf k}/2)} \right]v_{\mathbf k,\mu}.$

代回后得到常规超流权重：

${ \begin{aligned} D^s_{\mu\nu} =\sum_{\mathbf k} &\left[ -\frac{\beta}{2\cosh^2(\beta E_{\mathbf k}/2)} +\frac{\tanh(\beta E_{\mathbf k}/2)}{E_{\mathbf k}} \right]\times\frac{\Delta^2}{E_{\mathbf k}^2} v_{\mathbf k,\mu}v_{\mathbf k,\nu}. \end{aligned} } \label{eq:single-stiffness}$

逆质量项并未忽略，而是通过分部积分转化为速度平方项。

多带电流矩阵

正常态本征方程：

$h(\mathbf k)|u_m(\mathbf k)\rangle=\epsilon_m(\mathbf k)|u_m(\mathbf k)\rangle.$

对其求导并左乘 $\langle u_n|$：

$\langle u_n|\partial_\mu h|u_m\rangle =\partial_\mu\epsilon_m\delta_{nm} +(\epsilon_m-\epsilon_n)\langle u_n|\partial_\mu u_m\rangle.$

令

$J^\mu_{nm}=\langle u_n|\partial_\mu h|u_m\rangle,$

则

${ J^\mu_{nm} =\underbrace{\partial_\mu\epsilon_m\delta_{nm}}_{\mathrm{带内}} +\underbrace{(\epsilon_m-\epsilon_n)\langle u_n|\partial_\mu u_m\rangle}_{\mathrm{带间}} } \label{eq:current-decomposition}$

多带配对条件

为了得到常规项和几何项，使用：

时间反演对称：$\epsilon_m(\mathbf k)=\epsilon_m(-\mathbf k)$；

均匀带内配对：$\Delta_{mn}(\mathbf k)=\Delta\delta_{mn}$；

固定 $\Delta$，不考虑 $\Delta(\mathbf q)$ 的自洽反馈。

每条能带的 BdG 块为

$H_m^{\mathrm{BdG}}=\xi_m\tau_z+\Delta\tau_x, \qquad \xi_m=\epsilon_m-\mu,$

其能量为$E_m=\sqrt{\xi_m^2+\Delta^2}$。带内电流满足

$J^\mu_{mm}=\partial_\mu\epsilon_m.$

将式 $\eqref{eq:single-stiffness}$ 应用于每条能带

${\color{blue} \begin{aligned} D^{\mathrm{conv}}_{\mu\nu} =\sum_{\mathbf k,m} &\left[ -\frac{\beta}{2\cosh^2(\beta E_m/2)} +\frac{\tanh(\beta E_m/2)}{E_m} \right]\times\frac{\Delta^2}{E_m^2} (\partial_\mu\epsilon_m)(\partial_\nu\epsilon_m). \end{aligned} } \label{eq:conventional}$

带间几何项

当 $m\ne n$：

$J^\mu_{nm}=(\epsilon_m-\epsilon_n)\langle u_n|\partial_\mu u_m\rangle.$

因此

$J^\mu_{nm}J^\nu_{mn} =(\epsilon_m-\epsilon_n)^2 \langle u_n|\partial_\mu u_m\rangle \langle\partial_\nu u_m|u_n\rangle.$

每条 BdG 块满足

$(H_m^{\mathrm{BdG}})^2=E_m^2.$

正负能量投影算符为

$P_{m,s}=\frac12\left[ 1+s\frac{\xi_m\tau_z+\Delta\tau_x}{E_m} \right], \qquad s=\pm.$

将投影算符代入一般谱响应并计算 Nambu 迹，得到

$W_{mn} =\left[ \frac{\tanh(\beta E_m/2)}{E_m} -\frac{\tanh(\beta E_n/2)}{E_n} \right] \frac{\Delta^2(\epsilon_n-\epsilon_m)} {\epsilon_n+\epsilon_m-2\mu}.$

因此

${\color{blue} \begin{aligned} D^{\mathrm{geom}}_{\mu\nu} =\sum_{\mathbf k,m\ne n} &\left[ \frac{\tanh(\beta E_m/2)}{E_m} -\frac{\tanh(\beta E_n/2)}{E_n} \right]\times\frac{\Delta^2(\epsilon_n-\epsilon_m)} {\epsilon_n+\epsilon_m-2\mu}\times\left[ \langle\partial_\mu u_m|u_n\rangle \langle u_n|\partial_\nu u_m\rangle +\mu\leftrightarrow\nu \right]. \end{aligned} } \label{eq:geometric}$

量子几何张量

定义

$P_m=|u_m\rangle\langle u_m|, \qquad Q_m=1-P_m.$

量子几何张量为

${ \mathcal Q^{(m)}_{\mu\nu} =\langle\partial_\mu u_m|Q_m|\partial_\nu u_m\rangle } \label{eq:qgt}$

利用

$Q_m=\sum_{n\ne m}|u_n\rangle\langle u_n|,$

可得

$\mathcal Q^{(m)}_{\mu\nu} =\sum_{n\ne m} \langle\partial_\mu u_m|u_n\rangle \langle u_n|\partial_\nu u_m\rangle.$

定义量子度规

${ g^{(m)}_{\mu\nu}=\operatorname{Re}\mathcal Q^{(m)}_{\mu\nu} } \label{eq:metric}$

所以

$\sum_{n\ne m} \left[ \langle\partial_\mu u_m|u_n\rangle \langle u_n|\partial_\nu u_m\rangle +\mu\leftrightarrow\nu \right] =2g^{(m)}_{\mu\nu}.$

孤立能带近似

若

$|\epsilon_n-\epsilon_m|\gg\Delta,T,\qquad n\ne m,$

则采用孤立能带近似。其他能带不能被配对或热涨落显著激发，但仍通过 Bloch 波函数导数贡献量子几何。式 $\eqref{eq:geometric}$ 化为

${ D^{\mathrm{geom}}_{\mu\nu} =4\Delta^2 \sum_{\mathbf k} \frac{\tanh(\beta E_m/2)}{E_m} g^{(m)}_{\mu\nu}(\mathbf k) } \label{eq:isolated-geometric}$

若采用 $g^{\mathrm{sym}}_{\mu\nu}=2g_{\mu\nu}$，则等价地写成

$D^{\mathrm{geom}}_{\mu\nu} =2\Delta^2 \sum_{\mathbf k} \frac{\tanh(\beta E_m/2)}{E_m} g^{\mathrm{sym}}_{\mu\nu}(\mathbf k).$

平带极限

若$\epsilon_m(\mathbf k)=\epsilon_0$，则$\partial_\mu\epsilon_m=0$，从而

$D^{\mathrm{conv}}_{\mu\nu}=0.$

若 Bloch 态仍随动量变化，则 $g^{(m)}_{\mu\nu}$ 可以非零，因此

$D^s_{\mu\nu}=D^{\mathrm{geom}}_{\mu\nu}\ne0.$

参考文献

Liang, L., Vanhala, O., Peotta, S., Siro, T., and Törmä, P., “Band geometry, Berry curvature, and superfluid weight,”
Peotta, S. and Törmä, P., “Superfluidity in topologically nontrivial flat bands,”
Peotta, S., Huhtinen, K.-E., Lipparini, F., and Törmä, P., “Quantum geometry in superfluidity and superconductivity,”
Peltonen, J. T. and Heikkilä, M. T., “Superfluid weight in periodically strained graphene,”

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