超流权重推导

设序参量为

$\Delta(\mathbf r)=|\Delta|e^{i\theta(\mathbf r)},\qquad \theta(\mathbf r)=2\mathbf q\cdot\mathbf r.$

自由能展开为

$F(\mathbf q)=F(0)+ \left.\frac{\partial F}{\partial q_\mu}\right|_{\mathbf q=0}q_\mu+ \frac12\left.\frac{\partial^2F}{\partial q_\mu\partial q_\nu}\right|_{\mathbf q=0}q_\mu q_\nu+O(q^3).$

平衡态一阶项为零，定义

$\color{blue} D^s_{\mu\nu}=\frac1V\left.\frac{\partial^2F}{\partial q_\mu\partial q_\nu}\right|_{\mathbf q=0} \label{eq:def}$

于是

$\frac{F(\mathbf q)-F(0)}V=\frac12D^s_{\mu\nu}q_\mu q_\nu. \label{eq:stiffness}$

正常态哈密顿量为

$H_0=\sum_{\mathbf k}c^\dagger_{\mathbf k}[h(\mathbf k)-\mu]c_{\mathbf k}.$

在 Nambu 基底 $\Psi_{\mathbf k}=(c_{\mathbf k},c^\dagger_{-\mathbf k})^T$ 下，

$H_{\mathrm{BdG}}(\mathbf k,\mathbf q)= \begin{pmatrix} h(\mathbf k+\mathbf q)-\mu&\Delta(\mathbf k)\\ \Delta^\dagger(\mathbf k)&-h^T(-\mathbf k+\mathbf q)+\mu \end{pmatrix}. \label{eq:bdg-q}$

这里使用了平均场近似，并且只考虑静态、均匀、长波长的相位扭转。Taylor 展开：

$H_{\mathrm{BdG}}(\mathbf k,\mathbf q) =H_0(\mathbf k)+q_\mu H_\mu(\mathbf k)+\frac12q_\mu q_\nu H_{\mu\nu}(\mathbf k)+O(q^3), \label{eq:bdg-expansion}$

其中

$H_\mu=\left.\frac{\partial H_{\mathrm{BdG}}}{\partial q_\mu}\right|_0, \qquad H_{\mu\nu}=\left.\frac{\partial^2H_{\mathrm{BdG}}}{\partial q_\mu\partial q_\nu}\right|_0.$

设

$H(\mathbf q)|n(\mathbf q)\rangle=E_n(\mathbf q)|n(\mathbf q)\rangle.$

对 $q_\mu$ 求导并左乘 $\langle n|$：

${ \partial_\mu E_n=\langle n|H_\mu|n\rangle } \label{eq:hf}$

对本征方程求导后左乘 $\langle m|$，其中 $m\ne n$：

$\langle m|H_\mu|n\rangle=(E_n-E_m)\langle m|\partial_\mu n\rangle.$

所以

$\color{blue} \langle m|\partial_\mu n\rangle= \frac{\langle m|H_\mu|n\rangle}{E_n-E_m} \label{eq:state-derivative}$

再次求导

${ \partial_\mu\partial_\nu E_n =\langle n|H_{\mu\nu}|n\rangle +2\operatorname{Re}\sum_{m\ne n} \frac{\langle n|H_\mu|m\rangle\langle m|H_\nu|n\rangle}{E_n-E_m} } \label{eq:second-energy}$

式 $\eqref{eq:second-energy}$ 使用了非简并微扰理论；简并时须先在简并子空间中对角化扰动。

BdG 对角化与自由能 Hessian

对固定的 $\mathbf q$，平均场哈密顿量具有形式

$H_{\mathrm{MF}}(\mathbf q) =E_{\mathrm{vac}}(\mathbf q) +\frac12\sum_{\mathbf k} \Psi^\dagger_{\mathbf k} H_{\mathrm{BdG}}(\mathbf k,\mathbf q) \Psi_{\mathbf k}. \label{eq:mf-bdg}$

对 $H_{\mathrm{BdG}}$ 做 Bogoliubov 变换。若 $E_{a\mathbf k}(\mathbf q)>0$ 表示正能量 BdG 分支，则

$H_{\mathrm{MF}}(\mathbf q) =E_0(\mathbf q) +\sum_{\mathbf k,a>0} E_{a\mathbf k}(\mathbf q) \gamma^\dagger_{a\mathbf k}(\mathbf q) \gamma_{a\mathbf k}(\mathbf q), \label{eq:bdg-diagonal}$

其中 $E_0(\mathbf q)$ 包含 BdG 真空能、配对场常数项以及 Nambu 双计数修正。每个正能量费米准粒子模式的占据数为 $0$ 或 $1$，因此该模式的配分函数是

$Z_{a\mathbf k}(\mathbf q) =\sum_{n=0}^{1} \exp[-\beta nE_{a\mathbf k}(\mathbf q)] =1+\exp[-\beta E_{a\mathbf k}(\mathbf q)]. \label{eq:mode-partition}$

所有独立正能量模式相互独立，所以总配分函数为

$Z(\mathbf q) =\exp[-\beta E_0(\mathbf q)] \prod_{\mathbf k,a>0} \left[1+\exp(-\beta E_{a\mathbf k}(\mathbf q))\right]. \label{eq:bdg-partition}$

由 $F=-\beta^{-1}\ln Z$：

$F(\mathbf q) =E_0(\mathbf q) -\frac1\beta \sum_{\mathbf k,a>0} \ln\left[1+\exp(-\beta E_{a\mathbf k}(\mathbf q))\right]. \label{eq:bdg-free-energy}$

因此，最基本的单个 BdG 正能量分支贡献函数是

$\phi_a(E) =-\frac1\beta\ln(1+e^{-\beta E}). \label{eq:phi-basic}$

如果一个正能量分支具有简并度 $g_a$，则右侧乘以 $g_a$。在常用的自旋简并 BCS 记号中，真空能中的 $-E$ 项与两个自旋简并的热项合并为

$\phi(E) =-E-\frac2\beta\ln(1+e^{-\beta E}) =-\frac2\beta\ln\left(2\cosh\frac{\beta E}{2}\right). \label{eq:phi-bcs}$

因此，本文后面的单带 BCS 推导使用的是式 $\eqref{eq:phi-bcs}$；一般 BdG 推导则使用式 $\eqref{eq:bdg-free-energy}$，并把 $E_0(\mathbf q)$ 的显式二阶导数保留下来。对任意一条能量分支，设其自由能贡献为 $\phi(E_n(\mathbf q))$，则

$\phi(E_n(\mathbf q)) =\phi(E_n) +\phi'(E_n)q_\mu\partial_\mu E_n +\frac12\phi'(E_n)q_\mu q_\nu\partial_\mu\partial_\nu E_n +\frac12\phi''(E_n)q_\mu q_\nu \partial_\mu E_n\partial_\nu E_n.$

如果显式真空能和配对常数项的二阶响应定义为

$D^{\mathrm{expl}}_{\mu\nu} =\frac1V \left. \frac{\partial^2E_0(\mathbf q)} {\partial q_\mu\partial q_\nu} \right|_{\mathbf q=0}, \label{eq:explicit-response}$

那么由式 $\eqref{eq:def}$：

${ D^s_{\mu\nu} =D^{\mathrm{expl}}_{\mu\nu} +\frac1V\sum_{\mathbf k,n} \left[ \phi'(E_n)\partial_\mu\partial_\nu E_n +\phi''(E_n) \partial_\mu E_n\partial_\nu E_n \right] } \label{eq:hessian}$

代入式 $\eqref{eq:hf}$ 和式 $\eqref{eq:second-energy}$：

$\begin{aligned} D^s_{\mu\nu} =D^{\mathrm{expl}}_{\mu\nu} +\frac1V\sum_{\mathbf k,n}\Bigg[& \phi'(E_n)\langle n|H_{\mu\nu}|n\rangle+\phi''(E_n) \langle n|H_\mu|n\rangle \langle n|H_\nu|n\rangle\\ &+2\phi'(E_n)\operatorname{Re}\sum_{m\ne n} \frac{\langle n|H_\mu|m\rangle\langle m|H_\nu|n\rangle} {E_n-E_m} \Bigg]. \end{aligned} \label{eq:general-response}$

这就是从 BdG 对角化和配分函数直接得到的自由能响应。后续单带计算会把 $E_0(\mathbf q)$ 的显式项写出来，而不是把它隐含在 $\phi$ 中。

单带 BCS 结果

取

$\xi_{\mathbf k}=\epsilon_{\mathbf k}-\mu,\qquad H_{\mathbf k}=\xi_{\mathbf k}\tau_z+\Delta\tau_x.$

BdG 能量为

$E_{\mathbf k}=\sqrt{\xi_{\mathbf k}^2+\Delta^2}.$

假设时间反演对称：$\xi_{-\mathbf k}=\xi_{\mathbf k}$，定义

$v_{\mathbf k,\mu}=\partial_\mu\epsilon_{\mathbf k}, \qquad m^{-1}_{\mathbf k,\mu\nu}=\partial_\mu\partial_\nu\epsilon_{\mathbf k}.$

则

$\begin{aligned} &\xi_{\mathbf k+\mathbf q} =\xi_{\mathbf k}+q_\mu v_{\mathbf k,\mu} +\frac12q_\mu q_\nu m^{-1}_{\mathbf k,\mu\nu}+O(q^3),\\ &\xi_{-\mathbf k+\mathbf q} =\xi_{\mathbf k}-q_\mu v_{\mathbf k,\mu} +\frac12q_\mu q_\nu m^{-1}_{\mathbf k,\mu\nu}+O(q^3). \end{aligned}$

对角化这个 $2\times2$ BdG 块后，正能量准粒子为 $E_{\mathbf k}(\mathbf q)$。结合其真空能和自旋简并的热占据，单带自由能可写为

$F(\mathbf q) =\sum_{\mathbf k} \left[ \xi^+_{\mathbf k}(\mathbf q) +\phi\left(E_{\mathbf k}(\mathbf q)\right) \right] +\frac{\Delta^2}{g}, \label{eq:single-band-free-energy}$

其中 $\xi^+_{\mathbf k}(\mathbf q)$ 是粒子和空穴色散的平均值：

$\xi^+_{\mathbf k}(\mathbf q) =\frac12\left[ \xi_{\mathbf k+\mathbf q} +\xi_{-\mathbf k+\mathbf q} \right].$

这里的 $\phi$ 就是式 $\eqref{eq:phi-bcs}$ 中由 BdG 配分函数得到的函数：

$\phi(E) =-E-\frac2\beta\ln(1+e^{-\beta E}) =-\frac2\beta\ln\left(2\cosh\frac{\beta E}{2}\right).$

因此

$\phi'(E)=-\tanh\frac{\beta E}{2}, \qquad \phi''(E)=-\frac{\beta}{2\cosh^2(\beta E/2)}. \label{eq:phi-bcs-derivatives}$

代入自由能展开后：

$D^s_{\mu\nu} =\sum_{\mathbf k} \left[ A_{\mathbf k}m^{-1}_{\mathbf k,\mu\nu} -\frac{\beta}{2\cosh^2(\beta E_{\mathbf k}/2)} v_{\mathbf k,\mu}v_{\mathbf k,\nu} \right],\qquad A_{\mathbf k}=1-\frac{\xi_{\mathbf k}}{E_{\mathbf k}}\tanh\frac{\beta E_{\mathbf k}}2.$

使用周期性布里渊区恒等式

$\sum_{\mathbf k}\partial_\mu[v_{\mathbf k,\nu}A_{\mathbf k}]=0,$

以及

$\partial_\mu E_{\mathbf k}=\frac{\xi_{\mathbf k}}{E_{\mathbf k}}v_{\mathbf k,\mu}, \qquad \partial_\mu\left(\frac{\xi_{\mathbf k}}{E_{\mathbf k}}\right) =\frac{\Delta^2}{E_{\mathbf k}^3}v_{\mathbf k,\mu},$

得到

$\partial_\mu A_{\mathbf k} =-\left[ \frac{\Delta^2}{E_{\mathbf k}^3}\tanh\frac{\beta E_{\mathbf k}}2 +\frac{\beta\Delta^2}{2E_{\mathbf k}^2\cosh^2(\beta E_{\mathbf k}/2)} \right]v_{\mathbf k,\mu}.$

代回后得到常规超流权重：

${ \begin{aligned} D^s_{\mu\nu} =\sum_{\mathbf k} &\left[ -\frac{\beta}{2\cosh^2(\beta E_{\mathbf k}/2)} +\frac{\tanh(\beta E_{\mathbf k}/2)}{E_{\mathbf k}} \right]\times\frac{\Delta^2}{E_{\mathbf k}^2} v_{\mathbf k,\mu}v_{\mathbf k,\nu}. \end{aligned} } \label{eq:single-stiffness}$

逆质量项并未忽略，而是通过分部积分转化为速度平方项。

多带电流矩阵

正常态本征方程：

$h(\mathbf k)|u_m(\mathbf k)\rangle=\epsilon_m(\mathbf k)|u_m(\mathbf k)\rangle.$

对其求导并左乘 $\langle u_n|$：

$\langle u_n|\partial_\mu h|u_m\rangle =\partial_\mu\epsilon_m\delta_{nm} +(\epsilon_m-\epsilon_n)\langle u_n|\partial_\mu u_m\rangle.$

令

$J^\mu_{nm}=\langle u_n|\partial_\mu h|u_m\rangle,$

则

${ J^\mu_{nm} =\underbrace{\partial_\mu\epsilon_m\delta_{nm}}_{\mathrm{带内}} +\underbrace{(\epsilon_m-\epsilon_n)\langle u_n|\partial_\mu u_m\rangle}_{\mathrm{带间}} } \label{eq:current-decomposition}$

多带配对条件

为了得到常规项和几何项，使用：

时间反演对称：$\epsilon_m(\mathbf k)=\epsilon_m(-\mathbf k)$；

均匀带内配对：$\Delta_{mn}(\mathbf k)=\Delta\delta_{mn}$；

固定 $\Delta$，不考虑 $\Delta(\mathbf q)$ 的自洽反馈。

每条能带的 BdG 块为

$H_m^{\mathrm{BdG}}=\xi_m\tau_z+\Delta\tau_x, \qquad \xi_m=\epsilon_m-\mu,$

其能量为$E_m=\sqrt{\xi_m^2+\Delta^2}$。带内电流满足

$J^\mu_{mm}=\partial_\mu\epsilon_m.$

将式 $\eqref{eq:single-stiffness}$ 应用于每条能带

${\color{blue} \begin{aligned} D^{\mathrm{conv}}_{\mu\nu} =\sum_{\mathbf k,m} &\left[ -\frac{\beta}{2\cosh^2(\beta E_m/2)} +\frac{\tanh(\beta E_m/2)}{E_m} \right]\times\frac{\Delta^2}{E_m^2} (\partial_\mu\epsilon_m)(\partial_\nu\epsilon_m). \end{aligned} } \label{eq:conventional}$

带间几何项

当 $m\ne n$：

$J^\mu_{nm}=(\epsilon_m-\epsilon_n)\langle u_n|\partial_\mu u_m\rangle.$

因此

$J^\mu_{nm}J^\nu_{mn} =(\epsilon_m-\epsilon_n)^2 \langle u_n|\partial_\mu u_m\rangle \langle\partial_\nu u_m|u_n\rangle.$

每条 BdG 块满足

$(H_m^{\mathrm{BdG}})^2=E_m^2.$

正负能量投影算符为

$P_{m,s}=\frac12\left[ 1+s\frac{\xi_m\tau_z+\Delta\tau_x}{E_m} \right], \qquad s=\pm.$

将投影算符代入一般谱响应并计算 Nambu 迹，得到

$W_{mn} =\left[ \frac{\tanh(\beta E_m/2)}{E_m} -\frac{\tanh(\beta E_n/2)}{E_n} \right] \frac{\Delta^2(\epsilon_n-\epsilon_m)} {\epsilon_n+\epsilon_m-2\mu}.$

因此

${\color{blue} \begin{aligned} D^{\mathrm{geom}}_{\mu\nu} =\sum_{\mathbf k,m\ne n} &\left[ \frac{\tanh(\beta E_m/2)}{E_m} -\frac{\tanh(\beta E_n/2)}{E_n} \right]\times\frac{\Delta^2(\epsilon_n-\epsilon_m)} {\epsilon_n+\epsilon_m-2\mu}\times\left[ \langle\partial_\mu u_m|u_n\rangle \langle u_n|\partial_\nu u_m\rangle +\mu\leftrightarrow\nu \right]. \end{aligned} } \label{eq:geometric}$

量子几何张量

定义

$P_m=|u_m\rangle\langle u_m|, \qquad Q_m=1-P_m.$

量子几何张量为

${ \mathcal Q^{(m)}_{\mu\nu} =\langle\partial_\mu u_m|Q_m|\partial_\nu u_m\rangle } \label{eq:qgt}$

利用

$Q_m=\sum_{n\ne m}|u_n\rangle\langle u_n|,$

可得

$\mathcal Q^{(m)}_{\mu\nu} =\sum_{n\ne m} \langle\partial_\mu u_m|u_n\rangle \langle u_n|\partial_\nu u_m\rangle.$

定义量子度规

${ g^{(m)}_{\mu\nu}=\operatorname{Re}\mathcal Q^{(m)}_{\mu\nu} } \label{eq:metric}$

所以

$\sum_{n\ne m} \left[ \langle\partial_\mu u_m|u_n\rangle \langle u_n|\partial_\nu u_m\rangle +\mu\leftrightarrow\nu \right] =2g^{(m)}_{\mu\nu}.$

孤立能带近似

若

$|\epsilon_n-\epsilon_m|\gg\Delta,T,\qquad n\ne m,$

则采用孤立能带近似。其他能带不能被配对或热涨落显著激发，但仍通过 Bloch 波函数导数贡献量子几何。式 $\eqref{eq:geometric}$ 化为

${ D^{\mathrm{geom}}_{\mu\nu} =4\Delta^2 \sum_{\mathbf k} \frac{\tanh(\beta E_m/2)}{E_m} g^{(m)}_{\mu\nu}(\mathbf k) } \label{eq:isolated-geometric}$

若采用 $g^{\mathrm{sym}}_{\mu\nu}=2g_{\mu\nu}$，则等价地写成

$D^{\mathrm{geom}}_{\mu\nu} =2\Delta^2 \sum_{\mathbf k} \frac{\tanh(\beta E_m/2)}{E_m} g^{\mathrm{sym}}_{\mu\nu}(\mathbf k).$

平带极限

若$\epsilon_m(\mathbf k)=\epsilon_0$，则$\partial_\mu\epsilon_m=0$，从而

$D^{\mathrm{conv}}_{\mu\nu}=0.$

若 Bloch 态仍随动量变化，则 $g^{(m)}_{\mu\nu}$ 可以非零，因此

$D^s_{\mu\nu}=D^{\mathrm{geom}}_{\mu\nu}\ne0.$

参考文献

Liang, L., Vanhala, O., Peotta, S., Siro, T., and Törmä, P., “Band geometry, Berry curvature, and superfluid weight,” Physical Review B 95, 024515 (2017).
Peotta, S. and Törmä, P., “Superfluidity in topologically nontrivial flat bands,” Nature Communications 6, 8944 (2015).
Peotta, S., Huhtinen, K.-E., Lipparini, F., and Törmä, P., “Quantum geometry in superfluidity and superconductivity,” Nature Communications 14, 1–18 (2023).
Peltonen, J. T. and Heikkilä, M. T., “Superfluid weight in periodically strained graphene,” (2019).

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