投影形式因子与 Landau 能级的关系

这份笔记整理两个问题：

投影形式因子如何得到
它为什么可以看成 Landau 能级形式因子的晶格推广。

核心思想是：相互作用中的密度算符投影到一个孤立能带后，不再只产生普通的动量转移，还会带上该能带 Bloch 波函数的内部重叠。这个重叠就是投影形式因子。

为什么会出现投影形式因子

从一般的密度—密度相互作用出发

$\hat H_{\rm int} = \frac{1}{2A}\sum_{\mathbf q}V_{\mathbf q}\hat\rho_{\mathbf q}\hat\rho_{-\mathbf q}.$

这里 $A$ 是体系面积，$V_{\mathbf q}$ 是相互作用势，$\hat\rho_{\mathbf q}$ 是密度算符的 Fourier 分量。在连续体系中，

$\hat\rho_{\mathbf q} = \int d\mathbf r\, e^{-i\mathbf q\cdot\mathbf r} \hat\psi^\dagger(\mathbf r)\hat\psi(\mathbf r).$

如果不做能带投影，密度算符只是普通的动量转移算符。但是如果只保留一个低能窄带，密度算符就必须投影到这个能带中。这个投影会带来 Bloch 波函数的重叠，也就是形式因子。

设某个孤立能带的 Bloch 波函数为

$\Psi_{\mathbf k}(\mathbf r) = e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}u_{\mathbf k}(\mathbf r),$

其中 $u_{\mathbf k}(\mathbf r)$ 是周期部分。投影到该能带后，场算符可写为

$\hat\psi(\mathbf r) = \frac{1}{\sqrt A} \sum_{\mathbf k} e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}u_{\mathbf k}(\mathbf r)\gamma_{\mathbf k}.$

这里 $\gamma_{\mathbf k}$ 是投影到该能带后的湮灭算符。相应地，

$\hat\psi^\dagger(\mathbf r) = \frac{1}{\sqrt A} \sum_{\mathbf k'} e^{-i\mathbf k'\cdot\mathbf r}u^*_{\mathbf k'}(\mathbf r)\gamma^\dagger_{\mathbf k'}.$

代入密度算符：

$\hat\rho_{\mathbf q} = \frac{1}{A} \sum_{\mathbf k',\mathbf k} \gamma^\dagger_{\mathbf k'}\gamma_{\mathbf k} \int d\mathbf r\, e^{-i\mathbf q\cdot\mathbf r} e^{-i\mathbf k'\cdot\mathbf r} e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r} u^*_{\mathbf k'}(\mathbf r)u_{\mathbf k}(\mathbf r).$

这里最后一项应为 $u^*_{\mathbf k’}u_{\mathbf k}$。平面波因子给出动量守恒：

$\mathbf k'=\mathbf k-\mathbf q.$

因此可写为

$\hat\rho_{\mathbf q} = \sum_{\mathbf k} \langle u_{\mathbf k-\mathbf q}|u_{\mathbf k}\rangle \gamma^\dagger_{\mathbf k-\mathbf q}\gamma_{\mathbf k}.$

等价地，重新命名动量指标，也可以写成

$\hat\rho_{\mathbf q} = \sum_{\mathbf k} \langle u_{\mathbf k}|u_{\mathbf k-\mathbf q}\rangle \gamma^\dagger_{\mathbf k}\gamma_{\mathbf k-\mathbf q}.$

定义

$F_{\mathbf k,\mathbf k-\mathbf q} = \langle u_{\mathbf k}|u_{\mathbf k-\mathbf q}\rangle.$

于是投影密度算符为

$\color{blue}{ \bar\rho_{\mathbf q} = \sum_{\mathbf k} F_{\mathbf k,\mathbf k-\mathbf q} \gamma^\dagger_{\mathbf k}\gamma_{\mathbf k-\mathbf q}. }$

这就是形式因子的来源。

它的物理含义是：投影后，电子不再是点粒子，而携带该能带 Bloch 波函数的内部结构。密度扰动把电子从 $\mathbf k-\mathbf q$ 散射到 $\mathbf k$，这个过程的强度由两个 Bloch 态周期部分的重叠决定。

将投影密度算符代回相互作用

$\hat H_{\rm int} = \frac{1}{2A}\sum_{\mathbf q}V_{\mathbf q} \bar\rho_{\mathbf q}\bar\rho_{-\mathbf q}.$

得到

$\hat H_{\rm int} = \frac{1}{2A} \sum_{\mathbf q,\mathbf k_1,\mathbf k_2} V_{\mathbf q} F_{\mathbf k_1,\mathbf k_1-\mathbf q} F_{\mathbf k_2,\mathbf k_2+\mathbf q} \gamma^\dagger_{\mathbf k_1}\gamma_{\mathbf k_1-\mathbf q} \gamma^\dagger_{\mathbf k_2}\gamma_{\mathbf k_2+\mathbf q}.$

所以形式因子不是额外引入的相互作用，而是密度算符投影到单个能带后必然出现的矩阵元。如果 $u_{\mathbf k}$ 完全不随 $\mathbf k$ 变化，那么 $F_{\mathbf k_1,\mathbf k_2}=1$。此时投影后仍然像普通点粒子相互作用。但如果能带有非平庸 Berry curvature 和 quantum metric，$u_{\mathbf k}$ 随 $\mathbf k$ 变化显著，形式因子就会强烈影响相互作用。

形式因子与量子几何的关系

对相邻动量点，形式因子为

$F_{\mathbf k,\mathbf k+d\mathbf k} = \langle u_{\mathbf k}|u_{\mathbf k+d\mathbf k}\rangle.$

小 $d\mathbf k$ 展开时，模长和相位分别由 quantum metric 与 Berry connection 控制：

$F_{\mathbf k,\mathbf k+d\mathbf k} \sim \exp\left[ -i\mathcal A_i(\mathbf k)dk_i - \frac{1}{2}g_{ij}(\mathbf k)dk_i dk_j +\cdots \right].$

其中$\mathcal A_i(\mathbf k)
=
i\langle u_{\mathbf k}|\partial_i u_{\mathbf k}\rangle$是 Berry connection，而

$g_{ij}(\mathbf k) = \operatorname{Re} \left\langle \partial_i u_{\mathbf k} \left| 1-|u_{\mathbf k}\rangle\langle u_{\mathbf k}| \right| \partial_j u_{\mathbf k} \right\rangle$

是 quantum metric。因此，形式因子的相位由 Berry connection 或 Berry curvature 控制，而形式因子的模长衰减由 quantum metric 控制。特别地，

$|F_{\mathbf k,\mathbf k+d\mathbf k}| = 1-\frac{1}{2}g_{ij}(\mathbf k)dk_i dk_j+\cdots.$

所以 quantum metric 可以理解为形式因子在小动量转移下的二阶衰减系数。

Landau 能级中的投影形式因子

在磁场中，实空间位置算符可以分解为

$\mathbf r=\mathbf R+\boldsymbol{\eta}.$

其中 $\mathbf R$ 是 guiding center，$\boldsymbol{\eta}$ 是 cyclotron coordinate。它们满足

$[R_i,\eta_j]=0.$

密度算符为$\rho_{\mathbf q}=e^{i\mathbf q\cdot\mathbf r}$，利用位置分解：

$e^{i\mathbf q\cdot\mathbf r} = e^{i\mathbf q\cdot(\mathbf R+\boldsymbol{\eta})} = e^{i\mathbf q\cdot\mathbf R} e^{i\mathbf q\cdot\boldsymbol{\eta}}.$

投影到第 $n$ 个 Landau 能级：

$\bar\rho_{\mathbf q}^{(n)} = P_n e^{i\mathbf q\cdot\mathbf r}P_n.$

由于 $\mathbf R$ 不改变 Landau level index，而 $\boldsymbol{\eta}$ 作用在 cyclotron oscillator 上，所以

$P_n e^{i\mathbf q\cdot\boldsymbol{\eta}}P_n = \langle n|e^{i\mathbf q\cdot\boldsymbol{\eta}}|n\rangle P_n.$

因此

$\boxed{ P_n e^{i\mathbf q\cdot\mathbf r}P_n = F_n(\mathbf q)P_n e^{i\mathbf q\cdot\mathbf R}P_n. }$

其中$F_n(\mathbf q)
=
\langle n|e^{i\mathbf q\cdot\boldsymbol{\eta}}|n\rangle$就是 Landau 能级的投影形式因子。它表示第 $n$ 个 cyclotron 轨道对密度扰动的内部响应。

最低 Landau 能级的形式因子

最低 Landau 能级满足

$a|0\rangle=0.$

cyclotron coordinate 可写为

$\eta_x= \frac{\ell_B}{\sqrt{2}}(a+a^\dagger),\qquad \eta_y= \frac{i\ell_B}{\sqrt{2}}(a-a^\dagger).\label{eq:f1}$

于是

$\mathbf q\cdot\boldsymbol{\eta} = q_x\eta_x+q_y\eta_y.$

代入方程$\eqref{eq:f1}$得到

$q_x\eta_x+q_y\eta_y = \frac{\ell_B}{\sqrt{2}} \left[ (q_x+iq_y)a+(q_x-iq_y)a^\dagger \right].$

因此

$e^{i\mathbf q\cdot\boldsymbol{\eta}} = \exp(A+B),$

其中

$A= i\frac{\ell_B}{\sqrt{2}}(q_x-iq_y)a^\dagger,\qquad B= i\frac{\ell_B}{\sqrt{2}}(q_x+iq_y)a.$

因为 $[A,B]$ 是普通数，可以用 Baker—Campbell—Hausdorff 公式：

$e^{A+B}=e^A e^B e^{-\frac{1}{2}[A,B]}.$

计算对易子：

$[A,B] = \frac{\ell_B^2q^2}{2}.$

所以

$e^{i\mathbf q\cdot\boldsymbol{\eta}} = e^Ae^B \exp\left[-\frac{q^2\ell_B^2}{4}\right].$

取最低 Landau 能级期望值

$F_0(\mathbf q) = \langle0|e^{i\mathbf q\cdot\boldsymbol{\eta}}|0\rangle.$

$\color{blue}\boxed{ F_0(\mathbf q) = \exp\left[-\frac{q^2\ell_B^2}{4}\right]. }$

这就是最低 Landau 能级的 Gaussian form factor。最低 Landau 能级的 cyclotron 轨道是一个 Gaussian 波包，其空间尺度由磁长 $\ell_B$ 决定。密度扰动 $e^{i\mathbf q\cdot\mathbf r}$ 探测的是波函数的 Fourier 分量。Gaussian 波包的 Fourier 变换仍然是 Gaussian。因此形式因子为

$F_0(\mathbf q)=e^{-q^2\ell_B^2/4}.$

这说明：当 $q\ell_B\ll1$ 时，$F_0(\mathbf q)\approx1$，低动量扰动看不出 Landau 轨道的内部结构。当 $q\ell_B\gg1$ 时，$F_0(\mathbf q)\ll1$，高动量扰动被强烈压制。

因此，Landau 轨道不是点粒子，而是半径约为 $\ell_B$ 的量子波包。

Landau gauge 中的直接矩阵元

也可以直接用 Landau gauge 波函数验证。最低 Landau 能级波函数为

$\psi_k(x,y) = \frac{1}{\sqrt{L_y}} e^{iky} \frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{\ell_B}} \exp\left[-\frac{(x-X)^2}{2\ell_B^2}\right],$

其中$X=-k\ell_B^2$。计算矩阵元

$\langle k'|e^{i(q_xx+q_yy)}|k\rangle.$

$y$ 积分给出动量选择定则：

$k'=k+q_y.$

对应 guiding center 从 $X=-k\ell_B^2$ 变为

$X'=-(k+q_y)\ell_B^2=X-q_y\ell_B^2.$

$x$ 积分为

$I_x = \int dx\,\phi_{X'}(x)e^{iq_xx}\phi_X(x).$

由于两个 Gaussian 的中心相差 $X’-X$，积分结果包含

$\exp\left[ -\frac{q_x^2\ell_B^2}{4} - \frac{(X'-X)^2}{4\ell_B^2} \right].$

代入 $X’-X=-q_y\ell_B^2$，得到

$\exp\left[ -\frac{q_x^2\ell_B^2}{4} - \frac{q_y^2\ell_B^2}{4} \right] = \exp\left[-\frac{q^2\ell_B^2}{4}\right].$

因此完整矩阵元可以写成

$\langle k'|e^{i\mathbf q\cdot\mathbf r}|k\rangle = \delta_{k',k+q_y} e^{-q^2\ell_B^2/4} e^{iq_x(X+X')/2}.$

其中 $e^{-q^2\ell_B^2/4}$ 就是 LLL form factor。剩下的

$\delta_{k',k+q_y}e^{iq_x(X+X')/2}$

属于 guiding center 矩阵元，反映 Landau 能级内部的非对易几何。所以可以写成

$\boxed{ P_0 e^{i\mathbf q\cdot\mathbf r}P_0 = e^{-q^2\ell_B^2/4}e^{i\mathbf q\cdot\mathbf R}. }$

Landau 能级形式因子与 quantum metric

最低 Landau 能级形式因子为

$F_0(\mathbf q)=e^{-q^2\ell_B^2/4}.$

小 $\mathbf q$ 展开：

$F_0(\mathbf q) = 1-\frac{q^2\ell_B^2}{4}+\cdots.$

一般能带中，相邻态重叠的模长展开为

$|F_{\mathbf k,\mathbf k+\mathbf q}| = 1-\frac{1}{2}q_iq_jg_{ij}(\mathbf k)+\cdots.$

比较两式：

$\frac{1}{2}q_iq_jg_{ij} = \frac{q^2\ell_B^2}{4}.$

因此

$q_iq_jg_{ij} = \frac{q^2\ell_B^2}{2}.$

由于最低 Landau 能级各向同性，$g_{ij}=g\delta_{ij}$。于是

$gq^2=\frac{q^2\ell_B^2}{2}.$

所以

$\boxed{ g_{ij}^{\rm LLL} = \frac{\ell_B^2}{2}\delta_{ij}. }$

因此，形式因子的小 $q$ 模长衰减给出 quantum metric。

Landau 能级与 Berry curvature

最低 Landau 能级还有一个重要结构：投影后的 guiding center 坐标非对易。

$[R_x,R_y]=i\ell_B^2.$

因此投影密度算符中的 $e^{i\mathbf q\cdot\mathbf R}$ 满足非平庸的乘法代数：

$e^{i\mathbf q\cdot\mathbf R} e^{i\mathbf q'\cdot\mathbf R} = e^{-\frac{i}{2}\ell_B^2(\mathbf q\times\mathbf q')} e^{i(\mathbf q+\mathbf q')\cdot\mathbf R}.$

符号取决于电荷和磁场约定。这个非对易相位就是 Landau 能级 Berry curvature 的代数表现。对应地，

$|\Omega_{xy}|=\ell_B^2.$

因此最低 Landau 能级满足

$\operatorname{tr}g=\ell_B^2,\qquad |\Omega_{xy}|=\ell_B^2.$

所以

${ \operatorname{tr}g=|\Omega_{xy}|. }$

从 Landau 能级推广到一般 Chern band

Landau 能级中：

$\bar\rho_{\mathbf q} = F_0(\mathbf q)e^{i\mathbf q\cdot\mathbf R}.$

其中

$F_0(\mathbf q) = \langle0|e^{i\mathbf q\cdot\boldsymbol{\eta}}|0\rangle.$

也就是 cyclotron wavefunction 的内部重叠。在一般 Bloch Chern band 中，投影密度算符为

$\bar\rho_{\mathbf q} = \sum_{\mathbf k} \lambda(\mathbf k,\mathbf q) \gamma^\dagger_{\mathbf k+\mathbf q}\gamma_{\mathbf k},$

其中$\lambda(\mathbf k,\mathbf q)
=
\langle u_{\mathbf k+\mathbf q}|u_{\mathbf k}\rangle$就是 Bloch band 的投影形式因子。两者对应关系为

Landau level	Chern band / moiré band
$\boldsymbol{\eta}$ 的 cyclotron wavefunction	$u_{\mathbf k}(\mathbf r)$ 的内部结构
$F_0(\mathbf q)=\langle0	e^{i\mathbf q\cdot\boldsymbol{\eta}}	0\rangle$	$\lambda(\mathbf k,\mathbf q)=\langle u_{\mathbf k+\mathbf q}	u_{\mathbf k}\rangle$
$e^{-q^2\ell_B^2/4}$	一般依赖 $\mathbf k,\mathbf q$
$g_{ij}^{\rm LLL}=\ell_B^2\delta_{ij}/2$	$g_{ij}(\mathbf k)$

因此，moiré Chern band 的形式因子就是 Landau level form factor 的晶格推广。

均匀量子几何模型中的形式因子

如果进一步假设一个 Chern band 具有均匀 Berry curvature 和均匀各向同性 quantum metric：

$\Omega_{xy}(\mathbf k)=\mathcal B,\qquad g_{ij}(\mathbf k) = \frac{\mathcal B+\sigma^2}{2}\delta_{ij},$

那么

$\operatorname{tr}g=\mathcal B+\sigma^2.$

若 $\mathcal B>0$，则 trace condition 的偏离为

$\operatorname{tr}g-|\mathcal B|=\sigma^2.$

此时最自然的两点重叠形式为

$\boxed{ F_{\mathbf k_1,\mathbf k_2} = \exp\left[ - \frac{\mathcal B+\sigma^2}{4} |\mathbf k_1-\mathbf k_2|^2 - \frac{i\mathcal B}{2} (\mathbf k_1\times\mathbf k_2) \right]. }$

这个式子可以理解为：Gaussian 模长对应 uniform quantum metric，叉乘相位对应 uniform Berry curvature。当 $\sigma^2=0$ 时，

$g_{ij}=\frac{\mathcal B}{2}\delta_{ij},$

并且$\operatorname{tr}g=|\mathcal B|$，这就是最低 Landau 能级的理想量子几何。此时形式因子变成

$F_{\mathbf k_1,\mathbf k_2}^{\rm ideal} = \exp\left[ - \frac{\mathcal B}{4} |\mathbf k_1-\mathbf k_2|^2 - \frac{i\mathcal B}{2} (\mathbf k_1\times\mathbf k_2) \right].$

这正是 LLL coherent-state overlap 的形式。对于均匀 Berry curvature，可以选择动量空间的对称规范 Berry connection：

$\mathcal A_x(\mathbf k) = - \frac{\mathcal B}{2}k_y,\qquad \mathcal A_y(\mathbf k) = \frac{\mathcal B}{2}k_x.$

它给出

$\partial_{k_x}\mathcal A_y- \partial_{k_y}\mathcal A_x = \mathcal B.$

从 $\mathbf k_2$ 到 $\mathbf k_1$ 的重叠相位由 Berry connection 的线积分给出。对均匀曲率和对称规范，这个相位可以写成两点张成的有向面积：

$\exp\left[ - \frac{i\mathcal B}{2} (\mathbf k_1\times\mathbf k_2) \right].$

所以 $\mathbf k_1\times\mathbf k_2$ 不是任意写出来的，而是均匀 Berry curvature 在动量空间给出的几何相位面积。形式因子的模长满足

$|F_{\mathbf k,\mathbf k+d\mathbf k}| \simeq \exp\left[ - \frac{1}{2} g_{ij}dk_i dk_j \right].$

若

$g_{ij} = \frac{\mathcal B+\sigma^2}{2}\delta_{ij},$

则

$- \frac{1}{2}g_{ij}dk_i dk_j = - \frac{\mathcal B+\sigma^2}{4}|d\mathbf k|^2.$

对均匀几何，可以把小位移推广为有限两点距离：

$|d\mathbf k|^2 \rightarrow |\mathbf k_1-\mathbf k_2|^2.$

所以得到

$\exp\left[ - \frac{\mathcal B+\sigma^2}{4} |\mathbf k_1-\mathbf k_2|^2 \right].$

这就是形式因子的 Gaussian 模长。

在真实 moiré Chern band 中，形式因子一般是

$F_{\mathbf k_1,\mathbf k_2} = \langle u_{\mathbf k_1}|u_{\mathbf k_2}\rangle.$

它通常不是简单 Gaussian，也不只依赖 $|\mathbf k_1-\mathbf k_2|^2$ 和 $\mathbf k_1\times\mathbf k_2$。它会依赖具体的 Bloch 波函数、轨道成分、层成分、谷成分以及局域堆垛结构。因此，均匀量子几何形式因子应理解为一个理想化模型。它是最低 Landau 能级 form factor 的 Chern-band 推广，保留了最核心的两种几何信息：Berry curvature 控制相位，quantum metric 控制模长衰减。

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