Majorana 诱导的自旋选择性等自旋 Andreev 反射

考虑一个具有真实自旋自由度的正常金属导线，末端耦合一个局域 Majorana 零模。正常导线中的电子场记为

$\psi_\uparrow(x),\qquad \psi_\downarrow(x),$

其中 $\uparrow,\downarrow$ 表示真实电子自旋。线性化后的导线 Hamiltonian 写成

$\boxed{ H_L = -i v_F \sum_{\alpha=\uparrow,\downarrow} \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \psi_\alpha^\dagger(x)\partial_x\psi_\alpha(x) } \label{eq:majorana-1}$

这里界面前后的 incoming 和 outgoing 模式被展开成同一个手性场。

设超导端点存在一个 Majorana 模式

$\boxed{ \gamma=\gamma^\dagger } \label{eq:majorana-2}$

Majorana 与正常导线的最一般局域耦合可以写成

$\boxed{ H_c = \tilde t\,\gamma \left[ a\psi_\uparrow(0) + b\psi_\downarrow(0) - a^*\psi_\uparrow^\dagger(0) - b^*\psi_\downarrow^\dagger(0) \right] } \label{eq:majorana-3}$

其中

$|a|^2+|b|^2=1. \label{eq:majorana-4}$

这里最重要的结构是：electron coupling 和 hole coupling 不是独立参数。由于 Majorana 满足

$\gamma=\gamma^\dagger,$

一旦它与某个电子组合

$a\psi_\uparrow+b\psi_\downarrow$

耦合，Hermiticity 就同时要求它与相应的 hole combination 耦合。

Majorana 选择了真实自旋空间中的一个方向

定义新的自旋通道

${ \Psi_1 = a\psi_\uparrow+b\psi_\downarrow } \label{eq:majorana-5}$

以及与它正交的组合

${ \Psi_2 = -b^*\psi_\uparrow+a^*\psi_\downarrow } \label{eq:majorana-6}$

矩阵形式为

$\begin{pmatrix} \Psi_1\\ \Psi_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a&b\\ -b^*&a^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_\uparrow\\ \psi_\downarrow \end{pmatrix}. \label{eq:majorana-7}$

由于$|a|^2+|b|^2=1$。这个变换是自旋空间中的幺正变换。因此 $\Psi_1,\Psi_2$ 仍然是两个真实自旋态，只不过自旋量子化轴不再是原来的 $z$ 轴。

任意归一化 spinor 都可以写成

$a = \cos\frac{\theta}{2}, \qquad b = e^{i\phi} \sin\frac{\theta}{2}, \label{eq:majorana-8}$

这里已经省略了一个没有物理意义的整体相位。于是 $\Psi_1$ 对应的自旋态为

${ |s_1\rangle = \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2} \end{pmatrix} } \label{eq:majorana-9}$

真实自旋极化方向定义为

$\mathbf n = \langle s_1| \boldsymbol{\sigma} |s_1\rangle. \label{eq:majorana-10}$

逐项计算：

$\langle \sigma_x\rangle = \sin\theta\cos\phi,$ $\langle \sigma_y\rangle = \sin\theta\sin\phi,$ $\langle \sigma_z\rangle = \cos\theta.$

因此

${ \mathbf n = ( \sin\theta\cos\phi,\, \sin\theta\sin\phi,\, \cos\theta ) } \label{eq:majorana-11}$

而 $\Psi_2$ 对应的 spinor 可以写成

${ |s_2\rangle = \begin{pmatrix} -\sin\frac{\theta}{2}\\ e^{i\phi}\cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix} } \label{eq:majorana-12}$

有

$\langle s_1|s_2\rangle=0, \label{eq:majorana-13}$

并且

${ \langle s_2| \boldsymbol{\sigma} |s_2\rangle = -\mathbf n } \label{eq:majorana-14}$

所以可以直接理解为

${ \Psi_1=\psi_{+\mathbf n}, \qquad \Psi_2=\psi_{-\mathbf n} } \label{eq:majorana-15}$

也就是说，$\Psi_1$ 和 $\Psi_2$ 是沿同一根新量子化轴 $\mathbf n$ 的 spin-up 和 spin-down 通道。把它们代回耦合 Hamiltonian，

${ H_c = \tilde t\,\gamma [\Psi_1(0)-\Psi_1^\dagger(0)] } \label{eq:majorana-16}$

这里出现了一个极其重要的结果：

${\color{blue} \Psi_2\ \text{完全不出现在耦合中} } \label{eq:majorana-17}\nonumber$

因此 Majorana 只和 $+\mathbf n$ 方向的电子耦合，而与 $-\mathbf n$ 方向电子完全解耦。这个自旋选择并不是来自 normal lead 本身的自旋极化，因为 normal lead 本来是顺磁的；它是 Majorana–lead coupling 自己定义出来的。

由于 $\Psi_2$ 完全解耦，只需要研究

$\psi\equiv \Psi_1.$

有效 Hamiltonian 变成

${ H = -i v_F\int dx\, \psi^\dagger(x)\partial_x\psi(x) + \tilde t\,\gamma [\psi(0)-\psi^\dagger(0)] } \label{eq:majorana-18}$

定义能量为 $E$ 的 incoming 和 outgoing electron amplitude：

$e_{\rm in} = \psi_E(0^-), \qquad e_{\rm out} = \psi_E(0^+), \label{eq:majorana-19}$

以及相应的 hole amplitude：

$h_{\rm in} = \psi_E^\dagger(0^-), \qquad h_{\rm out} = \psi_E^\dagger(0^+). \label{eq:majorana-20}$

我们的目标是得到

$\boxed{ \begin{pmatrix} e_{\rm out}\\ h_{\rm out} \end{pmatrix} = S(E) \begin{pmatrix} e_{\rm in}\\ h_{\rm in} \end{pmatrix} } \label{eq:majorana-21}$

局域 Majorana 耦合导致场在界面发生跳变

由 Hamiltonian 得到 electron 场的运动方程。采用与最终散射矩阵一致的 Fourier convention，可写为

$E\psi(x) = iv_F\partial_x\psi(x) - \tilde t\,\gamma\,\delta(x). \label{eq:majorana-22}$

在 $x=0$ 两侧积分：

$\int_{-\epsilon}^{+\epsilon} dx\,E\psi(x) = iv_F \int_{-\epsilon}^{+\epsilon} dx\,\partial_x\psi(x) - \tilde t\gamma. \label{eq:majorana-23}$

令$\epsilon\rightarrow0$，上式左侧趋于零，因此

$0 = iv_F [\psi(0^+)-\psi(0^-)] - \tilde t\gamma. \label{eq:majorana-24}$

得到

${ e_{\rm out}-e_{\rm in} = -i\frac{\tilde t}{v_F}\gamma } \label{eq:majorana-25}$

这一步的物理很简单：这里的 lead Hamiltonian 是一阶微分算符$-i v_F\partial_x$，而 Majorana 耦合是一个位于 $x=0$ 的 $\delta(x)$ 局域源，所以穿过界面时场本身产生有限跳变。hole 分量的耦合符号相反，因此

${ h_{\rm out}-h_{\rm in} = +i\frac{\tilde t}{v_F}\gamma } \label{eq:majorana-26}$

定义

${ q = -i\frac{\tilde t}{v_F}\gamma } \label{eq:majorana-27}$

于是

${ e_{\rm out} = e_{\rm in}+q } \label{eq:majorana-28}$ ${ h_{\rm out} = h_{\rm in}-q } \label{eq:majorana-29}$

注意 electron 和 hole 的散射修正大小完全相同，只是符号相反。这正是

$H_c\propto\gamma(\psi-\psi^\dagger)$

的直接反映。

Majorana 自己的运动方程

利用

$\{\gamma,\gamma\}=2, \qquad \{\gamma,\psi\}=0,$

可以得到

$i\partial_t\gamma = 2\tilde t [\psi(0)-\psi^\dagger(0)]. \label{eq:majorana-30}$

对能量为 $E$ 的定态，

${ -E\gamma = 2\tilde t [\psi(0)-\psi^\dagger(0)] } \label{eq:majorana-31}$

由于 $\psi$ 在界面有跳变，局域场取左右两侧平均：

$\psi(0) = \frac{ e_{\rm in}+e_{\rm out} }{2}, \label{eq:majorana-32}$ $\psi^\dagger(0) = \frac{ h_{\rm in}+h_{\rm out} }{2}. \label{eq:majorana-33}$

代入：

$-E\gamma = \tilde t [ e_{\rm in} + e_{\rm out} - h_{\rm in} - h_{\rm out} ]. \label{eq:majorana-34}$

再利用

$e_{\rm out} = e_{\rm in}+q,\qquad h_{\rm out} = h_{\rm in}-q,$

有

$\begin{aligned} &e_{\rm in}+e_{\rm out} -h_{\rm in}-h_{\rm out} \\ &= e_{\rm in} + (e_{\rm in}+q) - h_{\rm in} - (h_{\rm in}-q) \\ &= 2(e_{\rm in}-h_{\rm in}+q). \end{aligned} \label{eq:majorana-35}$

所以

$-E\gamma = 2\tilde t (e_{\rm in}-h_{\rm in}+q). \label{eq:majorana-36}$

由

$q = -i\frac{\tilde t}{v_F}\gamma$

得到

$\gamma = i\frac{v_F}{\tilde t}q. \label{eq:majorana-37}$

代入：

$-E \left( i\frac{v_F}{\tilde t}q \right) = 2\tilde t (e_{\rm in}-h_{\rm in}+q). \label{eq:majorana-38}$

定义 Majorana 与 lead 耦合产生的展宽

${ \Gamma = \frac{2\tilde t^2}{v_F} } \label{eq:majorana-39}$

则

$-iEq = \Gamma (e_{\rm in}-h_{\rm in}+q). \label{eq:majorana-40}$

整理为

$(\Gamma+iE)q = -\Gamma (e_{\rm in}-h_{\rm in}), \label{eq:majorana-41}$

于是

${ q = -\frac{\Gamma} {\Gamma+iE} (e_{\rm in}-h_{\rm in}) }$

利用

$e_{\rm out} = e_{\rm in}+q,$

有

$e_{\rm out} = e_{\rm in} - \frac{\Gamma} {\Gamma+iE} (e_{\rm in}-h_{\rm in}). \label{eq:majorana-43}$

展开：

$e_{\rm out} = \left[ 1- \frac{\Gamma}{\Gamma+iE} \right] e_{\rm in} + \frac{\Gamma}{\Gamma+iE} h_{\rm in}. \label{eq:majorana-44}$

因为

$1- \frac{\Gamma}{\Gamma+iE} = \frac{iE}{\Gamma+iE},$

所以

${ e_{\rm out} = \frac{iE}{\Gamma+iE} e_{\rm in} + \frac{\Gamma}{\Gamma+iE} h_{\rm in} } \label{eq:majorana-45}$

同样，

$h_{\rm out} = h_{\rm in}-q,$

给出

$h_{\rm out} = h_{\rm in} + \frac{\Gamma}{\Gamma+iE} (e_{\rm in}-h_{\rm in}), \label{eq:majorana-46}$

即

${ h_{\rm out} = \frac{\Gamma}{\Gamma+iE} e_{\rm in} + \frac{iE}{\Gamma+iE} h_{\rm in} } \label{eq:majorana-47}$

因此最终散射矩阵为

${ S(E) = \frac{1}{\Gamma+iE} \begin{pmatrix} iE&\Gamma\\ \Gamma&iE \end{pmatrix} } \label{eq:majorana-48}$

也就是

${ \begin{pmatrix} e_{\rm out}\\ h_{\rm out} \end{pmatrix} = \frac{1}{\Gamma+iE} \begin{pmatrix} iE&\Gamma\\ \Gamma&iE \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_{\rm in}\\ h_{\rm in} \end{pmatrix} } \label{eq:majorana-49}$

因此 normal reflection amplitude 为

${ r_{ee}(E) = \frac{iE}{\Gamma+iE} } \label{eq:majorana-50}$

Andreev reflection amplitude 为

${ r_{he}(E) = \frac{\Gamma}{\Gamma+iE} } \label{eq:majorana-51}$

对应概率：

$R_{ee}(E) = \frac{E^2}{E^2+\Gamma^2},\qquad R_{he}(E) = \frac{\Gamma^2}{E^2+\Gamma^2}$

所以

$R_{ee}+R_{he}=1. \label{eq:majorana-54}$

在零能 $E=0$ 时，

${ r_{ee}(0)=0, \qquad r_{he}(0)=1 } \label{eq:majorana-55}$

即

${ R_{ee}(0)=0, \qquad R_{he}(0)=1 } \label{eq:majorana-56}$

所以被 Majorana 选中的 $\Psi_1$ 通道发生完美共振 Andreev reflection。

为什么 Majorana 会产生自旋选择？

这里最好把两个不同的物理机制分开：

为什么只选择一个自旋方向？
为什么这个自旋方向发生 equal-spin Andreev reflection？

正常导线的自旋空间是二维的：

$\begin{pmatrix} \psi_\uparrow\\ \psi_\downarrow \end{pmatrix}.$

Majorana 与电子的耦合只通过一个二维向量

$\boxed{ \mathbf t = \tilde t \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} } \label{eq:majorana-57}$

发生。因此 Majorana 实际只看到沿 $\mathbf t$ 方向的自旋组合

$\Psi_1 = a\psi_\uparrow+b\psi_\downarrow.$

与它正交的组合 $\Psi_2$ 必然处在 coupling matrix 的 null space：

$\boxed{ H_c[\Psi_2]=0 } \label{eq:majorana-58}$

所以从线性代数上可以概括成

${ \text{single Majorana} \Longrightarrow \text{rank-one coupling in spin space} }\nonumber$

这意味着 $+\mathbf n$ 方向被选中，而 $-\mathbf n$ 方向完全解耦。因此

${\color{blue} \text{spin selectivity} = \text{Majorana coupling selects one spinor} }\nonumber$

Equal-spin Andreev reflection 来自 Majorana 的自共轭性质

Majorana 满足

$\boxed{ \gamma=\gamma^\dagger } \label{eq:majorana-61}$

因此同一个局域态同时具有 electron 和 hole character。耦合 Hamiltonian 是

$H_c = \tilde t\gamma (\Psi_1-\Psi_1^\dagger).$

这意味着同一个 Majorana 同时连接$\Psi_1$和$\Psi_1^\dagger$。因此散射路径可以理解为

${ \Psi_1 \rightarrow \gamma \rightarrow \Psi_1^\dagger } \label{eq:majorana-62}$

由于 $\Psi_1$ 对应真实自旋 $+\mathbf n$，所以这个过程实际上就是

$\boxed{ e_{+\mathbf n} \rightarrow h_{+\mathbf n} } \label{eq:majorana-63}$

electron 和 hole 属于同一个 $\Psi_1$ 自旋通道，因此这是 equal-spin Andreev reflection。而正交自旋

$\Psi_2=\psi_{-\mathbf n}$

不和 Majorana 耦合，所以

${ R_{he}^{(-\mathbf n)}=0 } \label{eq:majorana-64}$

在零能处：

${ R_{he}^{(+\mathbf n)}=1, \qquad R_{he}^{(-\mathbf n)}=0 } \label{eq:majorana-65}$

同时

${ R_{ee}^{(+\mathbf n)}=0, \qquad R_{ee}^{(-\mathbf n)}=1 } \label{eq:majorana-66}$

所以整个零能散射可以总结成

$\boxed{ \begin{array}{c|cc} \text{incoming spin} & R_{he} & R_{ee} \\ \hline +\mathbf n & 1 & 0 \\ -\mathbf n & 0 & 1 \end{array} } \label{eq:majorana-67}$

这就是 selective equal-spin Andreev reflection。