超导近邻效应：从 $N/S$ 异质结到自能与诱导配对的推导

本文只讨论最基本的普通金属/常规 $s$ 波超导异质结，目标是从 $H_N+H_S+H_T$ 出发，完整推导 $G_N^{-1}=g_N^{-1}-\Sigma_S$、$\Sigma_S=Tg_ST^\dagger$ 以及正常层中的 anomalous Green function $F_N$。

物理问题与基本模型

考虑最简单的异质结 $N|S$，其中 $N$ 是本身不超导的正常材料，$S$ 是普通 BCS $s$ 波超导体。孤立的 $N$ 中 $\langle c_{-\mathbf k\downarrow}c_{\mathbf k\uparrow}\rangle=0$，而孤立的 $S$ 中 $\langle a_{-\mathbf q\downarrow}a_{\mathbf q\uparrow}\rangle\neq0$。一旦二者通过界面隧穿耦合，$N$ 中也可以出现有限的 Cooper-pair correlation：

$\langle c_{-\mathbf k\downarrow}c_{\mathbf k\uparrow}\rangle\neq0.$

这就是超导近邻效应的核心。体系总 Hamiltonian 写成

$H=H_N+H_S+H_T. \label{eq:Htotal}$

正常材料取最简单的单带形式

$H_N=\sum_{\mathbf k,\sigma}\xi_{\mathbf k}^N c_{\mathbf k\sigma}^\dagger c_{\mathbf k\sigma},$

其中 $\xi_{\mathbf k}^N=\epsilon_{\mathbf k}^N-\mu_N$。超导体取常规自旋单冲态 $s$ 波 BCS Hamiltonian：

$H_S=\sum_{\mathbf q,\sigma}\xi_{\mathbf q}^S a_{\mathbf q\sigma}^\dagger a_{\mathbf q\sigma}+\sum_{\mathbf q}\left(\Delta_S a_{\mathbf q\uparrow}^\dagger a_{-\mathbf q\downarrow}^\dagger+\Delta_S^* a_{-\mathbf q\downarrow}a_{\mathbf q\uparrow}\right). \label{eq:HS}$

如果没有超流，可选取规范使 $\Delta_S=\Delta_S^*>0$。界面单电子隧穿写成

$H_T=\sum_{\mathbf k,\mathbf q,\sigma}\left[t_{\mathbf k\mathbf q}c_{\mathbf k\sigma}^\dagger a_{\mathbf q\sigma}+t_{\mathbf k\mathbf q}^*a_{\mathbf q\sigma}^\dagger c_{\mathbf k\sigma}\right]. \label{eq:HT}$

对于平整界面，通常有面内动量守恒 $\mathbf k_\parallel=\mathbf q_\parallel$。为了先讲清楚理论，后面先取 $t_{\mathbf k\mathbf q}=t_c$。

超导 Hamiltonian 同时含有 $a^\dagger a$ 和 $a^\dagger a^\dagger$ 项，因此需要把电子和空穴放进同一个 Nambu 空间。定义

$\Psi_{N,\mathbf k}=\begin{pmatrix}c_{\mathbf k\uparrow}\\c_{-\mathbf k\downarrow}^\dagger\end{pmatrix},\qquad \Psi_{S,\mathbf q}=\begin{pmatrix}a_{\mathbf q\uparrow}\\a_{-\mathbf q\downarrow}^\dagger\end{pmatrix}.$

以下用 $\tau_i$ 表示 Nambu 空间 Pauli 矩阵。对正常材料，电子能量为 $+\xi_{\mathbf k}^N$，对应空穴能量为 $-\xi_{-\mathbf k}^N$。若 $\xi_{-\mathbf k}^N=\xi_{\mathbf k}^N$，则

$H_N^{\rm BdG}=\begin{pmatrix}\xi_{\mathbf k}^N&0\\0&-\xi_{\mathbf k}^N\end{pmatrix}=\xi_{\mathbf k}^N\tau_z. \label{eq:HNbdg}$

因此孤立正常材料的 bare Green function 为

$g_N^{-1}(i\omega_n,\mathbf k)=i\omega_n-H_N^{\rm BdG}=i\omega_n-\xi_{\mathbf k}^N\tau_z. \label{eq:gNbare}$

这里用小写 $g_N$ 表示尚未接触超导体的 bare Green function；之后用大写 $G_N$ 表示接触超导体后的 dressed Green function。对超导体，在同一 Nambu 基底下

$H_S^{\rm BdG}=\begin{pmatrix}\xi_{\mathbf q}^S&\Delta_S\\\Delta_S&-\xi_{\mathbf q}^S\end{pmatrix}=\xi_{\mathbf q}^S\tau_z+\Delta_S\tau_x. \label{eq:HSbdg}$

超导体 Green function

超导体 bare Green function 为

$g_S(i\omega_n,\mathbf q)=\left[i\omega_n-\xi_{\mathbf q}^S\tau_z-\Delta_S\tau_x\right]^{-1}.$

由于 $\{\tau_x,\tau_z\}=0$，有 $(\xi_S\tau_z+\Delta_S\tau_x)^2=\xi_S^2+\Delta_S^2$。因此

$\begin{aligned} &\left[i\omega_n-\xi_S\tau_z-\Delta_S\tau_x\right]\left[i\omega_n+\xi_S\tau_z+\Delta_S\tau_x\right]\\ &=-\left(\omega_n^2+\xi_S^2+\Delta_S^2\right). \end{aligned}$

于是

$g_S(i\omega_n,\mathbf q)=-\frac{i\omega_n+\xi_{\mathbf q}^S\tau_z+\Delta_S\tau_x}{\omega_n^2+(\xi_{\mathbf q}^S)^2+\Delta_S^2}. \label{eq:gSbulk}$

矩阵形式为

$g_S=-\frac{1}{\omega_n^2+\xi_S^2+\Delta_S^2}\begin{pmatrix}i\omega_n+\xi_S&\Delta_S\\\Delta_S&i\omega_n-\xi_S\end{pmatrix}.$

非对角元即 anomalous Green function：

$F_S(\mathbf q,i\omega_n)=-\frac{\Delta_S}{\omega_n^2+\xi_S^2+\Delta_S^2}. \label{eq:FS}$

Matsubara anomalous Green function 定义为

$F(\mathbf k,\tau)=-\left\langle T_\tau c_{\mathbf k\uparrow}(\tau)c_{-\mathbf k\downarrow}(0)\right\rangle.$

在 $\tau\rightarrow0^-$ 时，$F(\mathbf k,0^-)$ 与 $\langle c_{-\mathbf k\downarrow}c_{\mathbf k\uparrow}\rangle$ 直接相关，因此 $F\neq0$ 表示存在 Cooper-pair correlation。

需要特别区分 pair amplitude 和 order parameter。若正常材料内部 pairing interaction 为 $U_N$，则 $\Delta_N=-U_N\langle c_\downarrow c_\uparrow\rangle$。所以即使 $F_N\neq0$，只要 $U_N=0$，仍然有 $\Delta_N=0$。近邻效应严格来说首先诱导的是 superconducting correlation，而不一定是正常层内部自发形成的 order parameter。

完整 $N+S$ Green function

将两部分自由度合并：

$\Phi=\begin{pmatrix}\Psi_N\\\Psi_S\end{pmatrix}.$

完整 BdG Hamiltonian 写成 block matrix：

$\mathcal H=\begin{pmatrix}H_N&T\\T^\dagger&H_S\end{pmatrix}. \label{eq:Hblock}$

因此完整 inverse Green function 为

$\mathcal G^{-1}=i\omega-\mathcal H=\begin{pmatrix}i\omega-H_N&-T\\-T^\dagger&i\omega-H_S\end{pmatrix}.$

利用 $g_N^{-1}=i\omega-H_N$ 和 $g_S^{-1}=i\omega-H_S$，有

$\mathcal G^{-1}=\begin{pmatrix}g_N^{-1}&-T\\-T^\dagger&g_S^{-1}\end{pmatrix}\label{eq:Gfullinverse}$

把完整 Green function 也写成 block：

$\mathcal G=\begin{pmatrix}G_N&G_{NS}\\G_{SN}&G_S\end{pmatrix}. \label{eq:Gfull}$

这里 $G_N$ 表示 $N\rightarrow N$ 的传播，$G_S$ 表示 $S\rightarrow S$，而 $G_{NS},G_{SN}$ 是跨界面的 mixed propagator。根据 $\mathcal G^{-1}\mathcal G=1$，有

$\begin{pmatrix}g_N^{-1}&-T\\-T^\dagger&g_S^{-1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}G_N&G_{NS}\\G_{SN}&G_S\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.$

取左上角 block：

$g_N^{-1}G_N-TG_{SN}=1. \label{eq:block1}$

取左下角 block：

$-T^\dagger G_N+g_S^{-1}G_{SN}=0. \label{eq:block2}$

由式 $(\ref{eq:block2})$，$g_S^{-1}G_{SN}=T^\dagger G_N$，左乘 $g_S$ 得

$G_{SN}=g_ST^\dagger G_N. \label{eq:GSN}$

将式 $(\ref{eq:GSN})$ 代入式 $(\ref{eq:block1})$：

$g_N^{-1}G_N-Tg_ST^\dagger G_N=1.$

提取 $G_N$：

$\left(g_N^{-1}-Tg_ST^\dagger\right)G_N=1.$

因此

$G_N=\left[g_N^{-1}-Tg_ST^\dagger\right]^{-1},$

或者

${G_N^{-1}=g_N^{-1}-Tg_ST^\dagger.} \label{eq:GNdyson}$

定义 superconducting self-energy

$\color{magenta}\boxed{\Sigma_S=Tg_ST^\dagger,} \label{eq:SigmaDef}$

于是式 $(\ref{eq:GNdyson})$ 变成

$\boxed{G_N^{-1}=g_N^{-1}-\Sigma_S.} \label{eq:GNselfenergy}$

这就是所谓“integrating out the superconductor”。它不是把 $S$ 忽略掉，而是不再显式保留 $S$ 的自由度，将其全部影响压缩进频率依赖的 self-energy $\Sigma_S$ 中。

自能的物理含义

由式 $(\ref{eq:SigmaDef})$，$\Sigma_S=Tg_ST^\dagger$。它对应的虚过程是 $N\xrightarrow{T^\dagger}S\xrightarrow{g_S}S\xrightarrow{T}N$，所以弱耦合下近邻效应天然是二阶 tunneling 过程，即 $\Sigma_S\sim t_c^2$。

由于

$g_S=\begin{pmatrix}G_S&F_S\\F_S^\dagger&\bar G_S\end{pmatrix},$

自能中也有 anomalous block：$\Sigma_S^{eh}\propto t_c^2F_S$。对应的物理过程是

$e_N\overset{t_c}{\longrightarrow}e_S\overset{\Delta_S}{\longrightarrow}h_S\overset{t_c}{\longrightarrow}h_N.$

因此 SC 的 anomalous propagation 会在 $N$ 中产生 electron-hole mixing，这正是 induced pairing 的来源。电子 tunneling 为 $t_c c^\dagger a+\mathrm{h.c.}$。在 Nambu basis $(c,c^\dagger)$ 中，electron sector 的 hopping 是 $+t_c$，而 hole sector 因粒子-空穴重排得到 $-t_c^*$，所以

$T=\begin{pmatrix}t_c&0\\0&-t_c^*\end{pmatrix}.$

若 $t_c$ 取实数，则

${T=t_c\tau_z.} \label{eq:Ttauz}$

严格地说，$\Sigma_S=t_c^2\tau_zg_S\tau_z$。由于 $\tau_z\tau_x\tau_z=-\tau_x$，anomalous 部分会出现一个 convention-dependent minus sign。

对于三维 bulk SC 和二维正常层，固定面内动量 $\mathbf k_\parallel$ 后，还要对 SC 垂直方向的 $q_z$ 求和：

$g_S^{\rm surf}(\mathbf k_\parallel,i\omega_n)=\sum_{q_z}g_S(\mathbf k_\parallel,q_z,i\omega_n).$

在 wide-band approximation 中，取 SC Fermi level 附近 DOS 为常数 $\rho_S$，则 $\sum_{q_z}\rightarrow\rho_S\int d\xi$。利用式 $(\ref{eq:gSbulk})$：

$g_S^{\rm loc}=-\rho_S\int_{-\infty}^{\infty}d\xi\frac{i\omega+\xi\tau_z+\Delta_S\tau_x}{\omega^2+\xi^2+\Delta_S^2}. \label{eq:gSlocInt}$

其中 $\xi\tau_z$ 项是 $\xi$ 的奇函数，因此在 particle-hole symmetric wide-band approximation 下

$\int_{-\infty}^{\infty}d\xi\,\frac{\xi}{\omega^2+\xi^2+\Delta_S^2}=0.$

若 DOS 明显 particle-hole asymmetric，这一项一般不会严格为零，会表现为 chemical-potential renormalization。令 $A^2=\omega^2+\Delta_S^2$，则

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\xi}{\xi^2+A^2}=\frac{\pi}{A}.$

所以式 $(\ref{eq:gSlocInt})$ 化为

${g_S^{\rm loc}(i\omega)=-\pi\rho_S\frac{i\omega+\Delta_S\tau_x}{\sqrt{\omega^2+\Delta_S^2}}.} \label{eq:gSloc}$

定义界面 hybridization scale

${\Gamma=\pi\rho_S|t_c|^2.} \label{eq:Gamma}$

于是 superconducting self-energy 可写为

${\Sigma_S(i\omega)=-\Gamma\frac{i\omega+\Delta_S\tau_x}{\sqrt{\omega^2+\Delta_S^2}}.} \label{eq:SigmaBCS}$

这里仍省略了由不同 Nambu convention 产生的 anomalous 部分整体符号差异。

正常层的 dressed Green function

由式 $(\ref{eq:gNbare})$、$(\ref{eq:GNselfenergy})$ 和 $(\ref{eq:SigmaBCS})$，

$\begin{aligned} G_N^{-1} &=i\omega-\xi_N\tau_z+\Gamma\frac{i\omega+\Delta_S\tau_x}{\sqrt{\omega^2+\Delta_S^2}}=i\omega\left(1+\frac{\Gamma}{\Omega}\right)-\xi_N\tau_z+\frac{\Gamma\Delta_S}{\Omega}\tau_x, \end{aligned}$

其中 $\Omega=\sqrt{\omega^2+\Delta_S^2}$。定义

$\widetilde\omega=\omega\left(1+\frac{\Gamma}{\Omega}\right),\qquad \widetilde\Delta=\frac{\Gamma\Delta_S}{\Omega}.$

则

$G_N^{-1}=i\widetilde\omega-\xi_N\tau_z+\widetilde\Delta\tau_x.$

要求

$G_N=\left[i\widetilde\omega-\xi\tau_z+\widetilde\Delta\tau_x\right]^{-1}.$

乘以对应共轭结构 $i\widetilde\omega+\xi\tau_z-\widetilde\Delta\tau_x$，并使用 $(\xi\tau_z-\widetilde\Delta\tau_x)^2=\xi^2+\widetilde\Delta^2$，得到

${G_N=-\frac{i\widetilde\omega+\xi\tau_z-\widetilde\Delta\tau_x}{\widetilde\omega^2+\xi^2+\widetilde\Delta^2}.}$

矩阵形式为

$G_N=-\frac1D\begin{pmatrix}i\widetilde\omega+\xi&-\widetilde\Delta\\-\widetilde\Delta&i\widetilde\omega-\xi\end{pmatrix},$

其中 $D=\widetilde\omega^2+\xi^2+\widetilde\Delta^2$。因此 anomalous component 为

$\boxed{F_N(\mathbf k,i\omega)=\frac{\widetilde\Delta}{\widetilde\omega^2+\xi_{\mathbf k}^2+\widetilde\Delta^2}.} \label{eq:FN}$

所以 $t_c\neq0\Rightarrow\Gamma\neq0\Rightarrow\widetilde\Delta\neq0\Rightarrow F_N\neq0$，这就是从 microscopic tunneling 到正常层中 induced Cooper-pair amplitude 的完整推导。

低能近似与 induced gap

当 $|\omega|\ll\Delta_S$ 时，$\Omega=\sqrt{\omega^2+\Delta_S^2}\simeq\Delta_S$。于是

$\widetilde\omega\simeq\omega\left(1+\frac{\Gamma}{\Delta_S}\right),\qquad \widetilde\Delta\simeq\Gamma.$

所以

$G_N^{-1}\simeq i\omega\left(1+\frac{\Gamma}{\Delta_S}\right)-\xi\tau_z+\Gamma\tau_x.$

定义 quasiparticle residue

${Z^{-1}=1+\frac{\Gamma}{\Delta_S},\qquad Z=\frac{\Delta_S}{\Delta_S+\Gamma}.} \label{eq:Z}$

则

$G_N^{-1}=Z^{-1}\left[i\omega-Z\xi\tau_z+Z\Gamma\tau_x\right].$

因此低能有效 Hamiltonian 可以写成

${H_{\rm eff}=Z\xi\tau_z-\Delta_{\rm ind}\tau_x,} \label{eq:Heff}$

其中

${\Delta_{\rm ind}=Z\Gamma=\frac{\Gamma\Delta_S}{\Gamma+\Delta_S}.} \label{eq:Deltaind}$

弱耦合 $\Gamma\ll\Delta_S$ 时，$Z\simeq1$ 且 $\Delta_{\rm ind}\simeq\Gamma=\pi\rho_S|t_c|^2$，因此诱导 gap 在最低阶满足 $\Delta_{\rm ind}\propto t_c^2$。强耦合 $\Gamma\gg\Delta_S$ 时，$Z\simeq\Delta_S/\Gamma\ll1$，但 $\Delta_{\rm ind}\rightarrow\Delta_S$。因此低能近似下有 $\Delta_{\rm ind}\leq\Delta_S$，同时正常材料本身的低能参数被 $Z$ 强烈重整化。也就是说，近邻效应不是简单“给正常层加一个 $\Delta$”，而是同时带来 induced pairing 和 quasiparticle renormalization。

式 $(\ref{eq:Deltaind})$ 是低能静态近似。严格情况下需要做解析延拓 $i\omega_n\rightarrow E+i0^+$，得到 retarded self-energy

${\Sigma_S^R(E)=-\Gamma\frac{E+\Delta_S\tau_x}{\sqrt{\Delta_S^2-(E+i0^+)^2}}.} \label{eq:SigmaRet}$

真正的 quasiparticle poles 由

${\det\left[E-H_N-\Sigma_S^R(E)\right]=0} \label{eq:pole}$

决定。因此严格的 induced spectral gap $E_g$ 一般不必精确等于式 $(\ref{eq:Deltaind})$，后者是低能 effective model 中非常有用的近似结果。

近邻效应也可以从二阶虚过程理解。一个正常层 electron 通过 $t_c$ 进入 SC：$|e_N\rangle\overset{t_c}{\longrightarrow}|e_S\rangle$；SC 中 $\Delta_S$ 把 electron 和 hole 混合：$|e_S\rangle\overset{\Delta_S}{\longleftrightarrow}|h_S\rangle$；hole 再通过 $t_c$ 返回正常层：$|h_S\rangle\overset{t_c}{\longrightarrow}|h_N\rangle$。因此有效 electron-hole coupling 为 $\Delta_{\rm ind}\sim t_c^2F_S$，与 self-energy 形式 $\Sigma_S=Tg_ST^\dagger$ 完全一致。

路径积分形式的“积分掉超导体”

如果使用场论语言，作用量写成

$S=\bar\psi_Ng_N^{-1}\psi_N+\bar\psi_Sg_S^{-1}\psi_S-\bar\psi_NT\psi_S-\bar\psi_ST^\dagger\psi_N.$

由于关于 $\psi_S$ 是 Gaussian 二次型，可以严格积分：

$Z=\int D\psi_ND\psi_S\,e^{-S}.$

对 $\psi_S$ 完成平方后，得到有效作用量

$S_{\rm eff}=\bar\psi_N\left[g_N^{-1}-Tg_ST^\dagger\right]\psi_N.$

因此 $G_N^{-1}=g_N^{-1}-Tg_ST^\dagger$，与式 $\ref{eq:GNdyson}$ 完全一致。

多层正常材料中的空间近邻效应

设正常材料包含 $L$ 层，$l=1,2,\ldots,L$，且只有第一层与 SC 接触，则 self-energy 在 layer space 中为

$\boxed{\Sigma_{ll'}=\delta_{l1}\delta_{l'1}\Sigma_S.} \label{eq:SigmaLayer}$

SC 只直接作用于第一层，但由于正常材料内部存在 hopping，pair correlation 会继续传播到更深层。在 weak-proximity limit 下，$G\simeq g+g\Sigma g+\cdots$。由于 bare normal material 没有 anomalous Green function，最低阶 anomalous part 为

$\boxed{F_{ll'}\simeq g^e_{l1}\Sigma_S^{eh}g^h_{1l'}.} \label{eq:Fmulti}$

对于同层 pairing，

$\boxed{F_{ll}\simeq g^e_{l1}\Sigma_S^{eh}g^h_{1l}.} \label{eq:Fll}$

物理含义非常直接：electron 从第 $l$ 层传播到界面，在 SC 中发生 Andreev electron-hole conversion，然后 hole 再从界面传播回第 $l$ 层。

Inverse proximity effect

到目前为止一直把 SC 当作无限 reservoir，即假设 $\Delta_S$ 固定不变，只考虑 $S\rightarrow N$ 的影响。真实异质结中，$N$ 也会反过来影响 $S$。若 SC 内部 pairing interaction 为 $U_S$，则需要自洽求解

$\boxed{\Delta_l=-U_l\langle a_{l\downarrow}a_{l\uparrow}\rangle.} \label{eq:selfconsistent}$

靠近界面的 SC layer 通常会出现 $\Delta_l<\Delta_{\rm bulk}$，这就是 inverse proximity effect。因此 proximity theory 可以分成三个层级：phenomenological 模型 $H_N+\Delta_{\rm ind}\tau_x$；microscopic self-energy 方法 $\Sigma_S=Tg_ST^\dagger$；以及显式保留 $H_N+H_S+H_T$ 并自洽求解 $\Delta_l$ 的 full heterostructure 方法。

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