Skyrmion 晶格连续电子模型

模型与符号约定

考虑二维巡游电子与周期性 Skyrmion 磁构型之间的交换耦合。为了同时容纳两套感受到相反磁织构的 flavor，写成

$H_{\tau} = \frac{\mathbf p^2}{2m} + V(\mathbf r) - \tau J\,\mathbf n(\mathbf r)\cdot\boldsymbol{\sigma}, \qquad \tau=\pm1. \label{eq:basic_hamiltonian}$

其中，$\mathbf p=-i\hbar\nabla$ 是二维动量算符，$m$ 是电子有效质量，$\boldsymbol{\sigma}=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$ 是电子自旋或赝自旋空间中的 Pauli 矩阵，$J>0$ 是交换耦合强度，$\mathbf n(\mathbf r)$ 是单位磁化方向，满足 $|\mathbf n(\mathbf r)|=1$，而 $V(\mathbf r)$ 是可选的周期标量势。指标 $\tau=\pm1$ 表示两套交换耦合符号相反的 flavor。

磁构型和标量势满足超晶格周期性

$\mathbf n(\mathbf r+\mathbf R) = \mathbf n(\mathbf r), \qquad V(\mathbf r+\mathbf R) = V(\mathbf r), \label{eq:periodicity}$

其中 $\mathbf R=l_1\mathbf a_1+l_2\mathbf a_2$ 是 Skyrmion 晶格的实空间平移矢量。对固定位置 $\mathbf r$，交换项 $-\tau J\,\mathbf n(\mathbf r)\cdot\boldsymbol{\sigma}$ 的本征值为 $\pm J$。因此，在固定模长模型中，局域交换劈裂始终为 $2J$，空间依赖只来自自旋量子化轴的旋转，而不是交换场强度的变化。若只研究单个 flavor，可以固定 $\tau=+1$，模型简化为

$H = \frac{\mathbf p^2}{2m} + V(\mathbf r) - J\,\mathbf n(\mathbf r)\cdot\boldsymbol{\sigma}. \label{eq:single_flavor_hamiltonian}$

Skyrmion 磁构型

单位磁化方向可以用两个角度参数化为

$\mathbf n(\mathbf r) = \begin{pmatrix} \sin\theta(\mathbf r)\cos\phi(\mathbf r)\\ \sin\theta(\mathbf r)\sin\phi(\mathbf r)\\ \cos\theta(\mathbf r) \end{pmatrix}. \label{eq:n_parameterization}$

Skyrmion 拓扑荷密度定义为

$\rho_{\mathrm{sk}}(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi} \mathbf n\cdot \left( \partial_x\mathbf n \times \partial_y\mathbf n \right). \label{eq:skyrmion_density}$

一个磁性晶胞中的 Skyrmion 数为

$Q_{\mathrm{sk}} = \frac{1}{4\pi} \int_{\mathrm{cell}} d^2r\, \mathbf n\cdot \left( \partial_x\mathbf n \times \partial_y\mathbf n \right). \label{eq:skyrmion_number}$

式 $\eqref{eq:skyrmion_density}$ 中的三重积

$\mathbf n\cdot \left( \partial_x\mathbf n \times \partial_y\mathbf n \right) \label{eq:scalar_chirality_density}$

衡量磁化方向在单位球面上的局部winding程度。后面可以看到，同一个组合也决定电子在单交换分支中感受到的涌现磁场。

考虑三角磁性超晶格，取倒格子基矢

$\mathbf b_1 = Q(1,0), \qquad \mathbf b_2 = Q\left( -\frac12,\frac{\sqrt3}{2} \right). \label{eq:triangular_reciprocal_vectors}$

第一壳层的第三个等价波矢为

$\mathbf b_3 = -\mathbf b_1-\mathbf b_2 = Q\left( -\frac12,-\frac{\sqrt3}{2} \right), \label{eq:third_reciprocal_vector}$

并满足

$\mathbf b_1+\mathbf b_2+\mathbf b_3=0. \label{eq:q_sum_zero}$

与式 $\eqref{eq:triangular_reciprocal_vectors}$ 对应的实空间基矢可以取为

$\mathbf a_1 = \left( \frac{2\pi}{Q}, \frac{2\pi}{\sqrt3Q} \right), \qquad \mathbf a_2 = \left( 0, \frac{4\pi}{\sqrt3Q} \right), \label{eq:triangular_real_vectors}$

它们满足 $\mathbf a_i\cdot\mathbf b_j=2\pi\delta_{ij}$。磁性晶胞面积为

$A_M = |\mathbf a_1\times\mathbf a_2| = \frac{8\pi^2}{\sqrt3Q^2}. \label{eq:magnetic_cell_area}$

一般倒格矢写成

$\mathbf G_{mn} = m\mathbf b_1+n\mathbf b_2, \qquad m,n\in\mathbb Z. \label{eq:general_reciprocal_vector}$

一种方便的构造方法是先定义未归一化矢量场

$\mathbf m(\mathbf r) = m_0\hat{\mathbf z} + m_1\sum_{j=1}^{3} \left[ \hat{\mathbf z} \cos(\mathbf b_j\cdot\mathbf r+\varphi_j) + \chi\,\mathbf e_j \sin(\mathbf b_j\cdot\mathbf r+\varphi_j) \right], \label{eq:triple_q_texture}$

然后归一化：

$\mathbf n(\mathbf r) = \frac{\mathbf m(\mathbf r)} {|\mathbf m(\mathbf r)|}. \label{eq:normalized_texture}$

对于 Bloch 型 Skyrmion，可以取

$\mathbf e_j = \hat{\mathbf z}\times\hat{\mathbf b}_j, \label{eq:bloch_helicity_vector}$

而对于 Néel 型 Skyrmion，可以取

$\mathbf e_j = \hat{\mathbf b}_j. \label{eq:neel_helicity_vector}$

参数 $m_0/m_1$ 控制均匀背景磁化与螺旋调制之间的竞争，$\chi=\pm1$ 控制面内旋转方向，$\varphi_j$ 控制三个螺旋之间的相对相位。需要注意，triple-$Q$ 叠加并不自动保证 $Q_{\mathrm{sk}}=\pm1$。具体磁织构是否为 Skyrmion 晶格，应由式 $\eqref{eq:skyrmion_number}$ 直接确认。

如果直接把式 $\eqref{eq:triple_q_texture}$ 作为交换场，

$\mathbf J(\mathbf r) = J_1\mathbf m(\mathbf r), \label{eq:finite_harmonic_exchange}$

则 $|\mathbf J(\mathbf r)|$ 随位置变化，局域交换劈裂也随位置变化。如果使用

$\mathbf J(\mathbf r) = J\mathbf n(\mathbf r), \qquad \mathbf n(\mathbf r) = \frac{\mathbf m(\mathbf r)} {|\mathbf m(\mathbf r)|}, \label{eq:fixed_magnitude_exchange}$

则局域交换劈裂固定为 $2J$。这两个模型在 Fourier 空间中的结构不同。未归一化的 $\mathbf m(\mathbf r)$ 只包含 $\mathbf G=0$ 和 $\mathbf G=\pm\mathbf b_1,\pm\mathbf b_2,\pm\mathbf b_3$ 这些谐波；但归一化因子 $1/|\mathbf m(\mathbf r)|$ 是非线性周期函数，因此 $\mathbf n(\mathbf r)$ 会包含无限多个高次 Fourier 分量。固定模长模型更适合讨论磁化方向本身引起的规范场。实际平面波计算时，则需要先在实空间构造 $\mathbf n(\mathbf r)$，再通过 FFT 获得其 Fourier 系数。

将交换构型改写成 $SU(2)$ 规范场

为简化符号，暂时固定 $\tau=+1$，考虑式 $\eqref{eq:single_flavor_hamiltonian}$。定义局域自旋旋转矩阵

$U(\mathbf r) = e^{-i\phi(\mathbf r)\sigma_z/2} e^{-i\theta(\mathbf r)\sigma_y/2}. \label{eq:local_spin_rotation}$

它满足

$U(\mathbf r)\sigma_zU^\dagger(\mathbf r) = \mathbf n(\mathbf r)\cdot\boldsymbol{\sigma}, \label{eq:rotation_identity}$

因此

$U^\dagger(\mathbf r) \left[ \mathbf n(\mathbf r)\cdot\boldsymbol{\sigma} \right] U(\mathbf r) = \sigma_z. \label{eq:exchange_diagonalization}$

将波函数写成

$\Psi(\mathbf r) = U(\mathbf r)\widetilde\Psi(\mathbf r). \label{eq:wavefunction_rotation}$

旋转后的 Hamiltonian 为

$\widetilde H = U^\dagger H U. \label{eq:rotated_hamiltonian_definition}$

交换项变成空间无关的形式：

$U^\dagger \left[ -J\mathbf n\cdot\boldsymbol{\sigma} \right] U = -J\sigma_z. \label{eq:uniform_exchange_after_rotation}$

定义矩阵规范场

$\boldsymbol{\mathcal A}(\mathbf r) = iU^\dagger(\mathbf r)\nabla U(\mathbf r), \label{eq:su2_gauge_field}$

则有

$U^\dagger\mathbf pU = \mathbf p-\hbar\boldsymbol{\mathcal A}. \label{eq:covariant_momentum}$

因此，原始模型可以精确写成

$\widetilde H = \frac{ \left[ \mathbf p-\hbar\boldsymbol{\mathcal A}(\mathbf r) \right]^2 }{2m} + V(\mathbf r) - J\sigma_z. \label{eq:su2_hamiltonian}$

式 $\eqref{eq:su2_hamiltonian}$ 与式 $\eqref{eq:single_flavor_hamiltonian}$ 完全幺正等价。空间依赖的交换方向被旋转成固定的 $z$ 方向，而磁织构的空间变化全部进入动能中的矩阵规范场。

对式 $\eqref{eq:local_spin_rotation}$ 求导，可以得到

$\mathcal A_i = \frac12 \left[ (\partial_i\theta)\sigma_y + (\partial_i\phi) \left( \cos\theta\,\sigma_z - \sin\theta\,\sigma_x \right) \right], \qquad i=x,y. \label{eq:su2_gauge_components}$

矩阵形式为

$\mathcal A_i = \frac12 \begin{pmatrix} \cos\theta\,\partial_i\phi & -\sin\theta\,\partial_i\phi-i\partial_i\theta \\ -\sin\theta\,\partial_i\phi+i\partial_i\theta & -\cos\theta\,\partial_i\phi \end{pmatrix}. \label{eq:su2_gauge_matrix}$

可以将其分为对角部分

$\mathcal A_i^{\parallel} = \frac12 \cos\theta\, \partial_i\phi\, \sigma_z, \label{eq:su2_diagonal_part}$

和非对角部分

$\mathcal A_i^{\perp} = \frac12 \left[ (\partial_i\theta)\sigma_y - \sin\theta(\partial_i\phi)\sigma_x \right]. \label{eq:su2_offdiagonal_part}$

完整的动能需要按照算符次序展开：

$\left( \mathbf p-\hbar\boldsymbol{\mathcal A} \right)^2 = \mathbf p^2 - \hbar\sum_i \{p_i,\mathcal A_i\} + \hbar^2\sum_i\mathcal A_i^2. \label{eq:covariant_kinetic_expansion}$

因此

$\widetilde H = \frac{\mathbf p^2}{2m} - \frac{\hbar}{2m} \sum_i \{p_i,\mathcal A_i\} + \frac{\hbar^2}{2m} \sum_i\mathcal A_i^2 + V - J\sigma_z. \label{eq:expanded_su2_hamiltonian}$

完整的 $SU(2)$ 规范场由局域基底旋转产生。其非阿贝尔场强定义为

$\mathcal F_{ij} = \partial_i\mathcal A_j - \partial_j\mathcal A_i - i[\mathcal A_i,\mathcal A_j]. \label{eq:nonabelian_field_strength}$

在局域旋转 $U(\mathbf r)$ 光滑的区域内式 $\eqref{eq:nonabelian_field_strength}$ 为零，这是因为完整的 $\boldsymbol{\mathcal A}$ 是纯规范场。真正与 Landau 磁场对应的非零曲率，是在只保留一个局域交换分支后得到的 Abelian Berry 曲率。

单交换分支与涌现 $U(1)$ 规范场

局域算符 $\mathbf n(\mathbf r)\cdot\boldsymbol{\sigma}$ 的本征态满足

$\mathbf n\cdot\boldsymbol{\sigma} |\chi_\eta(\mathbf r)\rangle = \eta|\chi_\eta(\mathbf r)\rangle, \qquad \eta=\pm1. \label{eq:local_spin_eigenproblem}$

对 $\tau=+1$ 的 Hamiltonian，交换能量为

$E_\eta^{\mathrm{ex}} = -\eta J. \label{eq:local_exchange_energy}$

因此低能分支为 $\eta=+1$。一种局域本征态选择为

$|\chi_+\rangle = \begin{pmatrix} e^{-i\phi/2}\cos(\theta/2)\\ e^{i\phi/2}\sin(\theta/2) \end{pmatrix}. \label{eq:local_spinor}$

将电子波函数限制在该局域分支，

$|\Psi(\mathbf r)\rangle = \psi(\mathbf r) |\chi_+(\mathbf r)\rangle, \label{eq:projected_wavefunction}$

可以得到有效 Hamiltonian

$H_{\mathrm{eff}} = \frac{ \left[ \mathbf p-\mathbf a(\mathbf r) \right]^2 }{2m} + V(\mathbf r) - J + \Phi(\mathbf r). \label{eq:projected_hamiltonian}$

其中

$\mathbf a(\mathbf r) = i\hbar \langle\chi_+| \nabla\chi_+\rangle \label{eq:abelian_connection}$

是 Abelian Berry connection，而

$\Phi(\mathbf r) = \frac{\hbar^2}{2m} \sum_i \left[ \langle\partial_i\chi_+| \partial_i\chi_+\rangle - |\langle\chi_+|\partial_i\chi_+\rangle|^2 \right] \label{eq:geometric_scalar_potential_definition}$

是投影产生的几何标量势。在式 $\eqref{eq:local_spinor}$ 的规范中，

$\mathbf a = \frac{\hbar}{2} \cos\theta\,\nabla\phi. \label{eq:abelian_connection_symmetric_gauge}$

通过局域相位变换，也可以写成

$\mathbf a = -\frac{\hbar}{2} (1-\cos\theta)\nabla\phi. \label{eq:abelian_connection_north_gauge}$

式 $\eqref{eq:abelian_connection_symmetric_gauge}$ 和式 $\eqref{eq:abelian_connection_north_gauge}$ 相差一个梯度，因此给出的物理曲率相同。

涌现磁场

定义动量量纲的涌现磁场

$b(\mathbf r) = \partial_xa_y-\partial_ya_x. \label{eq:emergent_b_definition}$

直接计算得到

$b(\mathbf r) = -\frac{\hbar}{2} \mathbf n\cdot \left( \partial_x\mathbf n \times \partial_y\mathbf n \right). \label{eq:emergent_b_texture}$

结合式 $\eqref{eq:skyrmion_density}$，有

$b(\mathbf r) = -2\pi\hbar\, \rho_{\mathrm{sk}}(\mathbf r). \label{eq:b_and_skyrmion_density}$

对一个磁性晶胞积分：

$\Phi_b = \int_{\mathrm{cell}} d^2r\, b(\mathbf r) = -2\pi\hbar Q_{\mathrm{sk}} = -hQ_{\mathrm{sk}}. \label{eq:momentum_flux}$

若把 $\mathbf a$ 与电子电荷 $-e$ 的电磁矢势对应，即

$\mathbf p-\mathbf a = \mathbf p+e\mathbf A_{\mathrm{em}}, \label{eq:electromagnetic_identification}$

则

$\mathbf A_{\mathrm{em}} = -\frac{\mathbf a}{e}, \qquad B_{\mathrm{em}} = -\frac{b}{e}. \label{eq:emergent_electromagnetic_fields}$

因此，每个磁性晶胞中的物理涌现磁通为

$\Phi_{\mathrm{em}} = \frac{h}{e} Q_{\mathrm{sk}}. \label{eq:emergent_flux_quantization}$

对于 $Q_{\mathrm{sk}}=\pm1$，每个 Skyrmion 晶胞正好对应一个单电子磁通量子 $h/e$。

两个 flavor 的关系

回到式 $\eqref{eq:basic_hamiltonian}$。对 flavor $\tau$，低能局域分支满足 $\eta=\tau$，因此其涌现磁场为

$b_\tau(\mathbf r) = -\tau\frac{\hbar}{2} \mathbf n\cdot \left( \partial_x\mathbf n \times \partial_y\mathbf n \right). \label{eq:flavor_emergent_field}$

两个 flavor 感受到符号相反的涌现磁场：

$b_+(\mathbf r) = -b_-(\mathbf r). \label{eq:opposite_emergent_fields}$

相应的物理磁通为

$\Phi_{\mathrm{em},\tau} = \tau\frac{h}{e} Q_{\mathrm{sk}}. \label{eq:flavor_flux}$

在没有 flavor 混合时，它们可以具有相同的能量色散，但对应相反的轨道环流和 Landau-level 拓扑方向。

几何标量势

式 $\eqref{eq:geometric_scalar_potential_definition}$ 可以显式写成

$\Phi(\mathbf r) = \frac{\hbar^2}{8m} \left[ (\nabla\theta)^2 + \sin^2\theta (\nabla\phi)^2 \right]. \label{eq:geometric_scalar_potential_angles}$

利用

$\partial_i\mathbf n\cdot\partial_i\mathbf n = (\partial_i\theta)^2 + \sin^2\theta (\partial_i\phi)^2, \label{eq:texture_gradient_identity}$

也可写成

$\Phi(\mathbf r) = \frac{\hbar^2}{8m} \sum_{i=x,y} \partial_i\mathbf n\cdot\partial_i\mathbf n. \label{eq:geometric_scalar_potential_n}$

因此，Skyrmion 磁织构在单分支模型中同时产生周期涌现磁场 $b(\mathbf r)$ 和周期几何标量势 $\Phi(\mathbf r)$。

与 Landau 能级的关系

虽然 $b(\mathbf r)$ 通常在晶胞中高度不均匀，但其晶胞平均值完全由 $Q_{\mathrm{sk}}$ 决定：

$\overline b = \frac{1}{A_M} \int_{\mathrm{cell}} b(\mathbf r)d^2r = -\frac{2\pi\hbar Q_{\mathrm{sk}}}{A_M}. \label{eq:average_momentum_field}$

对应的物理平均磁场为

$\overline B_{\mathrm{em}} = \frac{hQ_{\mathrm{sk}}} {eA_M}. \label{eq:average_emergent_field}$

如果暂时忽略磁场的空间起伏，并把几何势替换为平均值，则式 $\eqref{eq:projected_hamiltonian}$ 近似成为

$H_{\mathrm{LL}} = \frac{ (\mathbf p-\overline{\mathbf a})^2 }{2m} - J + \overline\Phi. \label{eq:uniform_landau_hamiltonian}$

这就是普通的均匀磁场 Landau 问题。对应的磁长度为

$l_B = \sqrt{ \frac{\hbar} {|\overline b|} } = \sqrt{ \frac{A_M} {2\pi|Q_{\mathrm{sk}}|} }. \label{eq:magnetic_length}$

对于每个磁性晶胞一个 Skyrmion，即 $|Q_{\mathrm{sk}}|=1$，

$l_B = \sqrt{ \frac{A_M}{2\pi} }. \label{eq:magnetic_length_qone}$

将式 $\eqref{eq:magnetic_cell_area}$ 代入式 $\eqref{eq:magnetic_length_qone}$，得到

$l_B = \sqrt{ \frac{4\pi}{\sqrt3} } \frac{1}{Q}.$

有效回旋频率为

$\omega_c^{\mathrm{em}} = \frac{|\overline b|}{m}, \label{eq:emergent_cyclotron_frequency}$

因此

$\hbar\omega_c^{\mathrm{em}} = \frac{ 2\pi\hbar^2 |Q_{\mathrm{sk}}| }{ mA_M }. \label{eq:emergent_cyclotron_energy}$

理想均匀场中的能级为

$E_n = -J + \overline\Phi + \hbar\omega_c^{\mathrm{em}} \left( n+\frac12 \right), \qquad n=0,1,2,\ldots. \label{eq:landau_levels}$

定义超晶格动能尺度

$E_Q = \frac{\hbar^2Q^2}{2m}. \label{eq:superlattice_kinetic_scale}$

当 $|Q_{\mathrm{sk}}|=1$ 时，

$\hbar\omega_c^{\mathrm{em}} = \frac{\sqrt3}{2\pi} E_Q. \label{eq:cyclotron_energy_in_eq}$

因此，Skyrmion 晶格的 Landau 能级间隔由超晶格动能尺度 $E_Q$ 决定。

每个晶胞的 Landau 简并度

均匀磁场中，每单位面积的 Landau 能级简并度为

$\frac{1}{2\pi l_B^2}. \label{eq:landau_degeneracy_density}$

因此，一个磁性晶胞内的态数为

$N_{\mathrm{LL,cell}} = \frac{A_M}{2\pi l_B^2} = |Q_{\mathrm{sk}}|. \label{eq:landau_states_per_cell}$

对于 $|Q_{\mathrm{sk}}|=1$，

$N_{\mathrm{LL,cell}} = 1. \label{eq:one_state_per_cell}$

这意味着每个 Landau 能级在每个 Skyrmion 晶胞中恰好提供一个单粒子态。经过 Bloch 组合后，一个 Landau 能级通常对应一条 Bloch miniband。

从 Landau 能级到 Skyrmion miniband

真实的 Skyrmion 磁场不是均匀的，可以写成

$b(\mathbf r) = \overline b + \delta b(\mathbf r), \label{eq:field_decomposition}$

其中

$\int_{\mathrm{cell}} \delta b(\mathbf r)d^2r = 0. \label{eq:zero_average_field_modulation}$

投影 Hamiltonian 因而可以理解为

$H_{\mathrm{eff}} = H_{\mathrm{LL}} + \delta H_b + \delta\Phi(\mathbf r). \label{eq:landau_plus_modulation}$

均匀场中的完全平坦 Landau 能级，在周期性 $\delta b$ 和 $\Phi$ 的作用下会展宽成具有有限带宽的 Bloch miniband。因此，Skyrmion 晶格能带更准确地说是周期非均匀涌现磁场中的 Landau miniband。如果最低能带的带宽为 $W$，它与下一条能带的间隔为 $\Delta$，那么 Landau-level-like 的理想情况要求

$W\ll\Delta. \label{eq:landau_like_flatness_condition}$

Skyrmion 数只固定晶胞总磁通，并不单独决定带宽。两个具有相同 $Q_{\mathrm{sk}}$ 的磁织构，可以因为局域磁场分布不同而产生不同的 miniband 色散。局域交换劈裂相对于超晶格动能的强弱可以用

$\lambda_J = \frac{J}{E_Q} \label{eq:dimensionless_exchange}$

衡量，较大的 $J/E_Q$ 有利于分离两个交换分支。同时，涌现磁场不能过度集中在晶胞中很小的区域，否则周期磁场调制会使 Landau 能级产生较大色散。几何标量势 $\Phi(\mathbf r)$ 也不能产生过强的周期势调制。因此，是否形成平坦 Landau-level-like 能带，不只取决于 $Q_{\mathrm{sk}}$，还取决于磁织构的具体 profile。

最低 Landau 能级的 form factor 与量子度规

最低 Landau 能级的投影 form factor 为

$F_{\mathrm{LLL}}(q) = e^{-q^2l_B^2/4}, \label{eq:lll_form_factor}$

其模平方为

$|F_{\mathrm{LLL}}(q)|^2 = e^{-q^2l_B^2/2}. \label{eq:lll_form_factor_squared}$

与小动量 Bloch 重叠

$|\Lambda(\mathbf k,\mathbf k+\mathbf q)|^2 = 1-g_{ij}q_iq_j+\cdots \label{eq:small_q_overlap}$

比较，可以得到理想最低 Landau 能级的量子度规

$g_{ij} = \frac{l_B^2}{2} \delta_{ij}. \label{eq:lll_quantum_metric}$

利用式 $\eqref{eq:magnetic_length}$，有

$g_{ij} = \frac{ A_M }{ 4\pi|Q_{\mathrm{sk}}| } \delta_{ij}. \label{eq:lll_metric_cell_area}$

对应的动量空间几何宽度为

$q_g = \frac{1}{\sqrt g} = \frac{\sqrt2}{l_B} = \sqrt{ \frac{ 4\pi|Q_{\mathrm{sk}}| }{ A_M } }. \label{eq:geometric_momentum_width}$

因此，Skyrmion 晶格面积、磁长度、量子度规和 Gaussian form factor 之间形成了直接联系：

$A_M \longrightarrow l_B \longrightarrow g \longrightarrow F(q). \label{eq:geometry_chain}$

平面波展开

规范场形式主要用于理解 Landau 能级图像。实际计算能带时，最直接的方法是在原始固定自旋基底中展开式 $\eqref{eq:basic_hamiltonian}$。波函数写成

$\Psi_{n\tau\mathbf k}(\mathbf r) = e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r} u_{n\tau\mathbf k}(\mathbf r), \label{eq:bloch_wavefunction}$

其中

$u_{n\tau\mathbf k}(\mathbf r+\mathbf R) = u_{n\tau\mathbf k}(\mathbf r). \label{eq:periodic_bloch_part}$

周期部分满足

$H_\tau(\mathbf k) u_{n\tau\mathbf k} = E_{n\tau}(\mathbf k) u_{n\tau\mathbf k}, \label{eq:bloch_eigenproblem}$

其中

$H_\tau(\mathbf k) = \frac{ (-i\hbar\nabla+\hbar\mathbf k)^2 }{2m} + V(\mathbf r) - \tau J \mathbf n(\mathbf r)\cdot\boldsymbol{\sigma}.$

将三个磁化分量展开为

$n_\alpha(\mathbf r) = \sum_{\mathbf G} n_{\alpha,\mathbf G} e^{i\mathbf G\cdot\mathbf r}, \qquad \alpha=x,y,z, \label{eq:texture_fourier_expansion}$

其中

$n_{\alpha,\mathbf G} = \frac{1}{A_M} \int_{\mathrm{cell}} d^2r\, n_\alpha(\mathbf r) e^{-i\mathbf G\cdot\mathbf r}. \label{eq:texture_fourier_coefficient}$

因为 $n_\alpha(\mathbf r)$ 是实函数，

$n_{\alpha,-\mathbf G} = n_{\alpha,\mathbf G}^{\ast}. \label{eq:texture_fourier_reality}$

同样，

$V(\mathbf r) = \sum_{\mathbf G} V_{\mathbf G} e^{i\mathbf G\cdot\mathbf r}, \label{eq:scalar_potential_fourier}$

且

$V_{-\mathbf G} = V_{\mathbf G}^{\ast}. \label{eq:scalar_potential_reality}$

平面波基矢

周期 Bloch 波函数展开为

$u_{n\tau\mathbf k}(\mathbf r) = \frac{1}{\sqrt{A_M}} \sum_{\mathbf G} e^{i\mathbf G\cdot\mathbf r} C_{n\tau\mathbf k}(\mathbf G), \label{eq:plane_wave_expansion}$

其中

$C_{n\tau\mathbf k}(\mathbf G) = \begin{pmatrix} C_{\mathbf G\uparrow}^{n\tau\mathbf k}\\ C_{\mathbf G\downarrow}^{n\tau\mathbf k} \end{pmatrix}. \label{eq:spinor_coefficients}$

基矢可以写成

$|\mathbf G,s\rangle = \frac{1}{\sqrt{A_M}} e^{i\mathbf G\cdot\mathbf r} |s\rangle, \qquad s=\uparrow,\downarrow. \label{eq:plane_wave_basis}$

若保留 $N_G$ 个倒格矢，则每个 flavor 的 Hamiltonian 维数为 $2N_G\times2N_G$。

动能矩阵元为

$\left\langle \mathbf G,s \left| \frac{ (-i\hbar\nabla+\hbar\mathbf k)^2 }{2m} \right| \mathbf G',s' \right\rangle = \frac{ \hbar^2|\mathbf k+\mathbf G|^2 }{2m} \delta_{\mathbf G\mathbf G'} \delta_{ss'}. \label{eq:kinetic_matrix_element}$

定义

$\varepsilon_{\mathbf G}(\mathbf k) = \frac{ \hbar^2|\mathbf k+\mathbf G|^2 }{2m}.$

标量势矩阵元为

$\langle\mathbf G,s| V(\mathbf r) |\mathbf G',s'\rangle = V_{\mathbf G-\mathbf G'} \delta_{ss'}.$

交换项矩阵元为

$\begin{aligned} & \left\langle \mathbf G,s \left| -\tau J \mathbf n(\mathbf r)\cdot\boldsymbol{\sigma} \right| \mathbf G',s' \right\rangle = -\tau J \sum_{\alpha=x,y,z} n_{\alpha,\mathbf G-\mathbf G'} (\sigma_\alpha)_{ss'}. \end{aligned} \label{eq:exchange_matrix_element}$

因此，完整平面波矩阵为

$\begin{aligned} H_{\mathbf Gs,\mathbf G's'}^{(\tau)}(\mathbf k) ={}& \varepsilon_{\mathbf G}(\mathbf k) \delta_{\mathbf G\mathbf G'} \delta_{ss'}+ V_{\mathbf G-\mathbf G'} \delta_{ss'}- \tau J \sum_{\alpha} n_{\alpha,\mathbf G-\mathbf G'} (\sigma_\alpha)_{ss'}. \end{aligned} \label{eq:full_plane_wave_hamiltonian}$

式 $\eqref{eq:full_plane_wave_hamiltonian}$ 是实际能带计算的核心公式。令

$\mathbf q = \mathbf G-\mathbf G', \label{eq:momentum_transfer_G}$

并定义

$D_{\mathbf G,\mathbf G'} = \varepsilon_{\mathbf G}(\mathbf k) \delta_{\mathbf G\mathbf G'} + V_{\mathbf q}. \label{eq:D_block_definition}$

由于

$\mathbf n_{\mathbf q}\cdot\boldsymbol{\sigma} = \begin{pmatrix} n_{z,\mathbf q} & n_{x,\mathbf q}-in_{y,\mathbf q} \\ n_{x,\mathbf q}+in_{y,\mathbf q} & -n_{z,\mathbf q} \end{pmatrix}, \label{eq:texture_pauli_matrix}$

每一对 $(\mathbf G,\mathbf G’)$ 对应的 $2\times2$ 块为

$H_{\mathbf G,\mathbf G'}^{(\tau)}(\mathbf k) = \begin{pmatrix} D_{\mathbf G,\mathbf G'} -\tau Jn_{z,\mathbf q} & -\tau J \left( n_{x,\mathbf q}-in_{y,\mathbf q} \right) \\ -\tau J \left( n_{x,\mathbf q}+in_{y,\mathbf q} \right) & D_{\mathbf G,\mathbf G'} +\tau Jn_{z,\mathbf q} \end{pmatrix}. \label{eq:explicit_spin_block}$

由式 $\eqref{eq:explicit_spin_block}$ 可以直接看出，$n_z$ 产生相同自旋之间的散射，而 $n_x\pm in_y$ 产生自旋翻转散射。Fourier 分量 $\mathbf n_{\mathbf q}$ 将 $\mathbf G’$ 耦合到 $\mathbf G’+\mathbf q$。

数值 Fourier 展开

在分数坐标中定义实空间网格

$\mathbf r_{ij} = \frac{i}{N_1}\mathbf a_1 + \frac{j}{N_2}\mathbf a_2, \label{eq:real_space_grid}$

其中 $i=0,\ldots,N_1-1$，$j=0,\ldots,N_2-1$。

对于 $\mathbf G_{mn}=m\mathbf b_1+n\mathbf b_2$，有

$\mathbf G_{mn}\cdot\mathbf r_{ij} = 2\pi \left( \frac{mi}{N_1} + \frac{nj}{N_2} \right). \label{eq:grid_phase_relation}$

因此 Fourier 系数可通过二维 FFT 计算：

$n_{\alpha,mn} \simeq \frac{1}{N_1N_2} \sum_{i,j} n_\alpha(\mathbf r_{ij}) \exp \left[ -2\pi i \left( \frac{mi}{N_1} + \frac{nj}{N_2} \right) \right]. \label{eq:discrete_fourier_transform}$

构造 Hamiltonian 时需要访问的是 $\mathbf q=\mathbf G-\mathbf G’$。如果平面波基底包含 $-N\leq m,n\leq N$，那么差矢量范围可以达到

$-2N \leq m-m', n-n' \leq 2N. \label{eq:difference_index_range}$

因此 FFT 网格和 Fourier 系数字典必须覆盖完整的差矢量范围。

平面波截断与无量纲参数

一种常用的平面波截断是

$-N_G \leq m,n \leq N_G. \label{eq:index_cutoff}$

此时倒格矢数为

$N_{\mathrm{PW}} = (2N_G+1)^2, \label{eq:number_plane_waves}$

Hamiltonian 维数为

$\dim H = 2(2N_G+1)^2. \label{eq:hamiltonian_dimension}$

另一种选择是圆形截断

$|\mathbf G| \leq G_{\mathrm{cut}}. \label{eq:circular_cutoff}$

所有 $\mathbf k$ 点必须使用同一组 $\mathbf G$ 基矢。用 $E_Q$ 作为能量单位后，式 $\eqref{eq:full_plane_wave_hamiltonian}$ 可以写成

$\begin{aligned} \frac{ H_{\mathbf G,\mathbf G'}^{(\tau)}(\mathbf k) }{ E_Q } ={}& |\widetilde{\mathbf k} + \widetilde{\mathbf G}|^2 \delta_{\mathbf G\mathbf G'} \mathbb I+ \widetilde V_{\mathbf G-\mathbf G'} \mathbb I- \tau\lambda_J \mathbf n_{\mathbf G-\mathbf G'} \cdot\boldsymbol{\sigma}, \end{aligned} \label{eq:dimensionless_plane_wave_hamiltonian}$

其中 $\lambda_J=J/E_Q$。