Landau 能级波函数与理想量子几何条件

Landau 能级波函数与理想量子几何

本文整理二维电子气在垂直磁场中的 Landau 能级求解，并进一步说明最低 Landau 能级的波函数结构如何给出理想量子度规条件。

二维电子在垂直磁场中的 Hamiltonian

考虑二维电子气，磁场沿 $z$ 方向：

$$\mathbf B=B\hat z .$$

电子电荷取为 $-e$，其中 $e>0$。Hamiltonian 为

$$H= \frac{1}{2m} \left( \mathbf p+e\mathbf A \right)^2 .$$

定义正则动量$\boldsymbol{\pi}
=
\mathbf p+e\mathbf A$，于是

$$H= \frac{\pi_x^2+\pi_y^2}{2m}.$$

动力学动量的两个分量不再对易：

$$[\pi_x,\pi_y] = -i\hbar eB .$$

引入磁长$\ell_B=
\sqrt{\frac{\hbar}{eB}}$，则

$$[\pi_x,\pi_y] = -i\frac{\hbar^2}{\ell_B^2}.$$

因此，垂直磁场将二维自由电子的运动量子化为一组离散能级。这组能级就是 Landau 能级。取 Landau gauge：

$$\mathbf A=(0,Bx,0).$$

此时 Hamiltonian 为

$$H= \frac{1}{2m} \left[ p_x^2+ \left(p_y+eBx\right)^2 \right].$$

由于 Hamiltonian 不显含 $y$，所以 $p_y$ 是守恒量。令波函数为

$$\psi(x,y) = \frac{1}{\sqrt{L_y}} e^{iky} \phi_k(x).$$

代入$p_y\psi=\hbar k\psi$，得到 $x$ 方向的有效方程：

$$\left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2m} \left( \hbar k+eBx \right)^2 \right] \phi_k(x) = E\phi_k(x).$$

利用$eB=\frac{\hbar}{\ell_B^2}$，有

$$\hbar k+eBx = \frac{\hbar}{\ell_B^2} \left( x+k\ell_B^2 \right).$$

定义谐振子中心$X=-k\ell_B^2$，则$x+k\ell_B^2=x-X$。所以方程变为

$$\left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega_c^2 (x-X)^2 \right] \phi_k(x) = E\phi_k(x),$$

其中$\omega_c=\frac{eB}{m}$是一个中心位于 $X$ 的一维谐振子。Landau 能级的巨大简并来自这个中心位置 $X$ 的自由度。

引入无量纲变量

$$\xi=\frac{x-X}{\ell_B}.$$

因为

$$\frac{d}{dx} = \frac{1}{\ell_B} \frac{d}{d\xi},$$

所以方程化为

$$\left[ -\frac{1}{2} \frac{d^2}{d\xi^2} + \frac{1}{2}\xi^2 \right]\phi(\xi) = \epsilon\phi(\xi),\qquad \epsilon=\frac{E}{\hbar\omega_c}.$$

当 $|\xi|\rightarrow\infty$ 时，束缚态波函数必须衰减。谐振子势主导，因此令

$$\phi(\xi) = e^{-\xi^2/2}h(\xi).$$

计算导数：

$$\phi' = e^{-\xi^2/2} \left( h'-\xi h \right),\qquad \phi'' = e^{-\xi^2/2} \left[ h''-2\xi h' + (\xi^2-1)h \right].$$

代回谐振子方程：

$$-\frac{1}{2} \left[ h''-2\xi h' + (\xi^2-1)h \right] + \frac{1}{2}\xi^2h = \epsilon h.$$

其中 $\xi^2h$ 项相互抵消，得到

$$h''-2\xi h' + (2\epsilon-1)h=0.$$

令

$$h(\xi) = \sum_{j=0}^{\infty}a_j\xi^j.$$

代入后得到递推关系

$$a_{j+2} = \frac{2j+1-2\epsilon}{(j+2)(j+1)} a_j.$$

如果级数不终止，$h(\xi)$ 会在大 $|\xi|$ 处增长过快，从而使

$$\phi(\xi)=e^{-\xi^2/2}h(\xi)$$

不可归一化。因此，级数必须在某个非负整数 $n$ 处终止。终止条件为

$$2n+1-2\epsilon=0.$$

因此

$$\epsilon=n+\frac{1}{2}.$$

由此得到 Landau 能级能量：

$$E_n= \hbar\omega_c \left( n+\frac{1}{2} \right), \qquad n=0,1,2,\cdots .$$

当终止条件满足时，$h(\xi)$ 是 Hermite 多项式：

$$h(\xi)=H_n(\xi).$$

所以 Landau gauge 下的本征波函数为

$$\psi_{n,k}(x,y) = \frac{1}{\sqrt{L_y}} e^{iky} \frac{1}{\sqrt{2^n n!\sqrt{\pi}\ell_B}} H_n\left( \frac{x-X}{\ell_B} \right) \exp\left[ -\frac{(x-X)^2}{2\ell_B^2} \right],$$

其中$X=-k\ell_B^2$。最低 Landau 能级对应 $n=0$。由于$H_0(\xi)=1$，最低 Landau 能级波函数为

$$\psi_{0,k}(x,y) = \frac{1}{\sqrt{L_y}} e^{iky} \frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{\ell_B}} \exp\left[ -\frac{(x-X)^2}{2\ell_B^2} \right].$$

它是沿 $y$ 方向延展、沿 $x$ 方向局域的 Gaussian 波包。

Landau 能级的简并度

周期边界条件给出

$$k=\frac{2\pi m}{L_y},$$

其中 $m$ 为整数。相邻 $k$ 的间隔为

$$\Delta k=\frac{2\pi}{L_y}.$$

由于$X=-k\ell_B^2$，相邻 guiding center 的间隔为

$$\Delta X = \ell_B^2\Delta k = \frac{2\pi\ell_B^2}{L_y}.$$

若样品尺寸为 $L_x\times L_y$，要求 guiding center 落在宽度 $L_x$ 内，则可容纳的态数为

$$N_\phi = \frac{L_x}{\Delta X} = \frac{L_xL_y}{2\pi\ell_B^2}.$$

样品面积为$A=L_xL_y$，所以单位面积简并度为

$$\frac{N_\phi}{A} = \frac{1}{2\pi\ell_B^2}.$$

这也可以写成磁通量的形式：

$$N_\phi= \frac{BA}{h/e}.$$

也就是说，每个磁通量子对应一个 Landau 轨道。

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除了直接求解微分方程，也可以用升降算符更紧凑地理解 Landau 能级。定义

$$a= \frac{\ell_B}{\sqrt{2}\hbar} \left( \pi_x-i\pi_y \right),\qquad a^\dagger= \frac{\ell_B}{\sqrt{2}\hbar} \left( \pi_x+i\pi_y \right).$$

利用

$$[\pi_x,\pi_y] = -i\frac{\hbar^2}{\ell_B^2},$$

可以验证

$$[a,a^\dagger]=1.$$

Hamiltonian 化为

$$H= \hbar\omega_c \left( a^\dagger a+\frac{1}{2} \right).$$

因此本征能量为

$$E_n= \hbar\omega_c \left( n+\frac{1}{2} \right).$$

这与前面直接求解 Schrödinger 方程得到的结果一致。

Symmetric gauge 与最低 Landau 能级的解析结构

Landau gauge 适合显式求解波函数。若要看清最低 Landau 能级的特殊结构，symmetric gauge 更直观。取

$$\mathbf A= \frac{B}{2}(-y,x,0).$$

定义复坐标

$$z=x+iy, \qquad \bar z=x-iy.$$

最低 Landau 能级满足

$$a\psi=0.$$

在 symmetric gauge 下，这个方程可以写成

$$\left( 2\ell_B\frac{\partial}{\partial \bar z} + \frac{z}{2\ell_B} \right)\psi=0.$$

于是

$$\frac{\partial\psi}{\partial \bar z} = -\frac{z}{4\ell_B^2}\psi.$$

这个一阶微分方程可以直接积分。因为

$$\frac{\partial}{\partial \bar z} \left( -\frac{|z|^2}{4\ell_B^2} \right) = -\frac{z}{4\ell_B^2},$$

所以通解为

$$\psi(z,\bar z) = f(z) \exp\left[ -\frac{|z|^2}{4\ell_B^2} \right],$$

其中 $f(z)$ 是任意关于 $z$ 的解析函数。若取角动量本征态，

$$f(z)\propto z^m, \qquad m=0,1,2,\cdots,$$

则

$$\psi_m(z,\bar z) = \mathcal N_m z^m \exp\left[ -\frac{|z|^2}{4\ell_B^2} \right].$$

归一化后可写为

$$\psi_m(z,\bar z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\,2^m m!\,\ell_B^2}} \left( \frac{z}{\ell_B} \right)^m \exp\left[ -\frac{|z|^2}{4\ell_B^2} \right].$$

最低 Landau 能级的重要特征是：

$$\psi_{\rm LLL} = \text{holomorphic function of }z \times \text{Gaussian}.$$

这种 holomorphic Gaussian 结构是最低 Landau 能级理想量子几何的波函数来源。

量子几何张量的定义

对一个 Bloch 能带，cell-periodic 波函数记为$|u_{\mathbf k}\rangle$，量子几何张量定义为

$$Q_{ij}(\mathbf k) = \left\langle \partial_i u_{\mathbf k} \left| 1-|u_{\mathbf k}\rangle\langle u_{\mathbf k}| \right| \partial_j u_{\mathbf k} \right\rangle ,$$

其中$\partial_i=\frac{\partial}{\partial k_i}$。它可以分解为

$$Q_{ij}(\mathbf k) = g_{ij}(\mathbf k) - \frac{i}{2}\Omega_{ij}(\mathbf k).$$

其中

$$g_{ij}(\mathbf k)=\operatorname{Re}Q_{ij}(\mathbf k)$$

是量子度规，描述相邻态的距离；而

$$\Omega_{ij}(\mathbf k) = -2\operatorname{Im}Q_{ij}(\mathbf k)$$

是 Berry 曲率，描述相邻态的几何相位。量子度规可以从相邻态重叠的模长读出。对小动量差 $d\mathbf k$，

$$|\langle u_{\mathbf k}|u_{\mathbf k+d\mathbf k}\rangle| = 1 - \frac{1}{2} g_{ij}(\mathbf k) dk_i dk_j + \cdots .$$

Berry 曲率则来自相邻态重叠相位在闭合回路上的累积。最低 Landau 能级在 Landau gauge 下的 $x$ 向波函数为

$$\phi_X(x) = \frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{\ell_B}} \exp\left[ -\frac{(x-X)^2}{2\ell_B^2} \right].$$

考虑两个相邻 guiding center：

$$X \quad \text{and} \quad X+dX.$$

它们的重叠为

$$S(dX) = \int dx\, \phi_X(x)\phi_{X+dX}(x).$$

两个 Gaussian 的乘积为

$$\phi_X(x)\phi_{X+dX}(x) \propto \exp\left[ -\frac{(x-X)^2+(x-X-dX)^2}{2\ell_B^2} \right].$$

利用恒等式

$$(x-X)^2+(x-X-dX)^2 = 2\left( x-X-\frac{dX}{2} \right)^2 + \frac{(dX)^2}{2}.$$

因此积分给出

$$S(dX) = \exp\left[ -\frac{(dX)^2}{4\ell_B^2} \right].$$

对小 $dX$ 展开：

$$S(dX) = 1-\frac{(dX)^2}{4\ell_B^2} +\cdots .$$

Landau gauge 中$X=-k\ell_B^2$，所以

$$dX=-\ell_B^2 dk.$$

代入得到

$$S(dk) = 1 - \frac{\ell_B^2}{4}dk^2 +\cdots .$$

与量子度规的定义比较：

$$|\langle u_k|u_{k+dk}\rangle| = 1-\frac{1}{2}g_{kk}dk^2+\cdots ,$$

可得

$$g_{kk}=\frac{\ell_B^2}{2}.$$

由于连续 Landau 能级具有旋转对称性，在完整二维动量参数空间中有

$$g_{xx}=g_{yy}=\frac{\ell_B^2}{2}, \qquad g_{xy}=0.$$

因此最低 Landau 能级的量子度规为

$$g_{ij}^{\rm LLL} = \frac{\ell_B^2}{2}\delta_{ij}.$$

于是

$$\operatorname{tr}g = g_{xx}+g_{yy} = \ell_B^2.$$

从磁平移相位推导 Berry 曲率

量子度规来自相邻态重叠的模长，Berry 曲率来自相邻态重叠的相位。在磁场中，guiding center 的平移是磁平移。磁平移具有非对易性。若沿两个方向分别平移 $\mathbf a$ 和 $\mathbf b$，两种平移顺序相差一个 Aharonov-Bohm 相位：

$$T(\mathbf a)T(\mathbf b) = e^{i(\mathbf a\times\mathbf b)_z/\ell_B^2} T(\mathbf b)T(\mathbf a).$$

这个相位等于磁场穿过平移围成面积的相位。因此，在 guiding-center 空间中，一个面积元 $dS_R$ 对应的 Berry phase 为

$$d\varphi = \frac{dS_R}{\ell_B^2}.$$

这意味着 guiding-center 空间的 Berry 曲率为

$$\Omega_R= \frac{1}{\ell_B^2}.$$

另一方面，Landau 能级的动量参数 $\mathbf k$ 与 guiding center $\mathbf R$ 的关系为

$$\mathbf R = \ell_B^2\,\hat z\times \mathbf k.$$

写成分量形式：

$$R_x=-\ell_B^2 k_y, \qquad R_y=\ell_B^2 k_x.$$

因此，动量空间面积元 $dS_k$ 映射为 guiding-center 空间面积元

$$dS_R = \ell_B^4 dS_k.$$

于是 Berry phase 为

$$d\varphi = \frac{dS_R}{\ell_B^2} = \ell_B^2 dS_k.$$

根据 Berry 曲率定义

$$d\varphi = \Omega_{xy}dS_k,$$

得到

$$\Omega_{xy}^{\rm LLL} = \ell_B^2.$$

最低 Landau 能级的 trace condition

前面得到

$$g_{xx}=g_{yy}=\frac{\ell_B^2}{2}, \qquad g_{xy}=0,\qquad \Omega_{xy}=\ell_B^2.$$

所以

$$\operatorname{tr}g = g_{xx}+g_{yy} = \ell_B^2.$$

因此

$$\operatorname{tr}g = |\Omega_{xy}|.$$

这就是最低 Landau 能级满足的理想 trace condition。同时，

$$\det g = g_{xx}g_{yy}-g_{xy}^2 = \frac{\ell_B^4}{4},$$

而

$$\frac{\Omega_{xy}^2}{4} = \frac{\ell_B^4}{4}.$$

所以最低 Landau 能级还满足更强的条件：

$$\det g= \frac{\Omega_{xy}^2}{4}.$$

这说明最低 Landau 能级饱和了量子几何不等式。

一般能带中的量子几何不等式

对二维单带，量子几何张量可写成

$$Q= \begin{pmatrix} g_{xx} & g_{xy}-i\Omega_{xy}/2\\ g_{xy}+i\Omega_{xy}/2 & g_{yy} \end{pmatrix}.$$

由于 $Q$ 是正半定矩阵，所以

$$\det Q\ge0.$$

计算行列式：

$$\det Q = g_{xx}g_{yy} - \left( g_{xy}^2+\frac{\Omega_{xy}^2}{4} \right).$$

于是

$$g_{xx}g_{yy}-g_{xy}^2 \ge \frac{\Omega_{xy}^2}{4}.$$

即

$$\det g \ge \frac{\Omega_{xy}^2}{4}.$$

又因为对正定二维矩阵有

$$\operatorname{tr}g \ge 2\sqrt{\det g},$$

所以

$$\operatorname{tr}g \ge |\Omega_{xy}|.$$

最低 Landau 能级正好饱和这个不等式：

$$\operatorname{tr}g=|\Omega_{xy}|.$$

这就是最低 Landau 能级具有 ideal quantum geometry 的原因。

高 Landau 能级为什么偏离 trace condition

第 $n$ 个 Landau 能级波函数为

$$\phi_n(\xi) \propto H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}.$$

相比最低 Landau 能级，高 Landau 能级具有 Hermite 多项式 $H_n(\xi)$，因此有节点，空间分布也更宽。对一维谐振子第 $n$ 个本征态，有

$$\langle \xi^2\rangle_n = n+\frac{1}{2}.$$

因为$x-X=\ell_B\xi$，所以

$$\langle (x-X)^2\rangle_n = \ell_B^2 \left( n+\frac{1}{2} \right).$$

这说明第 $n$ 个 Landau 能级对 guiding center 的位移更敏感。重复前面相邻态重叠的思路，可以得到

$$g_{xx}^{(n)} = g_{yy}^{(n)} = \left( n+\frac{1}{2} \right) \ell_B^2.$$

因此

$$\operatorname{tr}g^{(n)} = (2n+1)\ell_B^2.$$

另一方面，Berry 曲率来自 guiding-center 磁平移代数。这个代数与 Landau level index $n$ 无关，所以

$$\Omega_{xy}^{(n)} = \ell_B^2.$$

因此

$$\operatorname{tr}g^{(n)} - |\Omega_{xy}^{(n)}| = 2n\ell_B^2.$$

只有 $n=0$ 时，

$$\operatorname{tr}g=|\Omega_{xy}|.$$

当 $n>0$ 时，

$$\operatorname{tr}g>|\Omega_{xy}|.$$

所以高 Landau 能级虽然仍然具有 Chern 数 $C=1$，但不再具有最低 Landau 能级那样的理想量子几何。

Landau 能级与 Chern 数

一个 Landau 能级对应 Chern 数

$$C=1.$$

若将 Landau 能级视为一个理想 Chern band，则其 Berry 曲率为常数。磁布里渊区面积可取为

$$A_{\rm mBZ} = \frac{2\pi}{\ell_B^2}.$$

Chern 数定义为

$$C = \frac{1}{2\pi} \int_{\rm mBZ}d^2k\, \Omega_{xy}.$$

若 $\Omega_{xy}$ 为常数，则

$$C = \frac{1}{2\pi} \Omega_{xy} A_{\rm mBZ}.$$

代入 $C=1$ 和 $A_{\rm mBZ}=2\pi/\ell_B^2$，得到

$$1 = \frac{1}{2\pi} \Omega_{xy} \frac{2\pi}{\ell_B^2}.$$

因此

$$\Omega_{xy}=\ell_B^2.$$

这和前面通过磁平移相位得到的结果一致。

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