超导近邻效应

超导近邻效应指的是：当一个普通材料$N$、磁性材料$M$、拓扑材料或交错磁体与超导体$S$ 接触时，即使该材料本身没有本征吸引相互作用，也会由于界面隧穿或耦合而获得超导关联。超导近邻效应的核心问题是：一个本身不是超导的体系与超导体接触后，为什么会在非超导区域中出现 Cooper对关联？这里需要首先区分两个概念：$\Delta(\mathbf r)$和$F_{\alpha\beta}(\mathbf r,\mathbf r’;\tau)
=
-\langle T_\tau c_\alpha(\mathbf r,\tau)c_\beta(\mathbf r’,0)\rangle$，其中$\Delta(\mathbf r)$是超导序参量，通常来自吸引相互作用的自洽平均场；而$F$是反常格林函数，描述两个电子作为 Cooper对的关联传播。在近邻效应中，非超导区域通常没有本征吸引相互作用，所以可以有

$\Delta(\mathbf r)=0,$

而仍然有

$F_{\alpha\beta}(\mathbf r,\mathbf r')\neq0.$

所以在研究近邻效应的时候，需要关注的不是非超导区域有没有$\Delta$，而是有没有被诱导出来$F$。

BdG哈密顿量

为了描述正常电子和Cooper对之间的混合，通常使用 Nambu 表象。取一种常见基底

$\Psi^\dagger = \left( c^\dagger_{\uparrow}, c^\dagger_{\downarrow}, c_{\uparrow}, c_{\downarrow} \right).$

在该基底下，BdG哈密顿量表示为

$H_{\rm BdG} = \begin{pmatrix} h & \Delta \\ \Delta^\dagger & -h^* \end{pmatrix}.$

其中$h$是正常态哈密顿量，包含动能、化学势、磁性、自旋轨道耦合、轨道自由度等；$\Delta$是配对势。对于普通的$s$波单重态超导，配对结构有$\Delta_s i\sigma_y$的形式，对应的Cooper对为$|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle$。在一个空间非均匀的体系中，$\Delta$可以写成位置依赖的形式，例如在超导区域$\Delta(x)=\Delta_0$，而在非超导区域$\Delta(x)=0$。但是由于BdG哈密顿量把电子和空穴混合起来，超导区域的信息会通过格林函数传播到非超导区域，于是非超导区即使没有$\Delta$，也可能出现非零的反常格林函数$F$。

给定 BdG 哈密顿量后，Matsubara 格林函数定义为

$G(i\omega_n) = \left[ i\omega_n-H_{\rm BdG} \right]^{-1},\qquad \omega_n=(2n+1)\pi T.$

在Nambu空间中，$G$可以写成分块形式

$G(i\omega_n) = \begin{pmatrix} G_{ee} & G_{eh}\\ G_{he} & G_{hh} \end{pmatrix}.$

其中$G_{ee}$是电子传播子，$G_{hh}$是空穴传播子，$G_{eh},G_{he}$就是反常传播子。对于固定的Nambu基矢，选择

$F(i\omega_n)=G_{he}(i\omega_n).$

这是一个$2\times 2$的矩阵

$F= \begin{pmatrix} F_{\uparrow\uparrow} & F_{\uparrow\downarrow}\\ F_{\downarrow\uparrow} & F_{\downarrow\downarrow} \end{pmatrix}.$

如果体系沿$x$方向非均匀，沿$y$方向周期，那么可以固定$k_y$计算$G_{xx}(i\omega_n,k_y)$，然后选择其中的反常部分

$F_x(i\omega_n,k_y) = G_{he}(x,x;i\omega_n,k_y).$

从而得到空间分辨、动量分辨的近邻配对关联。

单重态与三重态分解

反常格林函数$F$包含所有自旋结构，为了看清楚近邻效应诱导了哪种配对，需要将其分解为单重态和三重态分量。写成矩阵形式为

$F= \begin{pmatrix} F_{\uparrow\uparrow} & F_{\uparrow\downarrow}\\ F_{\downarrow\uparrow} & F_{\downarrow\downarrow} \end{pmatrix}.$

自旋单重态为

$F_s = \frac{F_{\downarrow\uparrow}-F_{\uparrow\downarrow}}{2}.$

$S_z=0$的三重态为

$F_z = \frac{F_{\downarrow\uparrow}+F_{\uparrow\downarrow}}{2}.$

等自旋三重态为

$F_{\uparrow\uparrow}, \qquad F_{\downarrow\downarrow}.$

因此可以将反常格林函数表示为

$F = -i\sigma_y F_s + \sigma_x F_z + P_\uparrow F_{\uparrow\uparrow} + P_\downarrow F_{\downarrow\downarrow},$

其中

$P_\uparrow=\frac{\sigma_0+\sigma_z}{2}, \qquad P_\downarrow=\frac{\sigma_0-\sigma_z}{2}.$

这一步非常重要。因为超导体本身可能注入的是单重态，但进入一个磁性、自旋轨道耦合或动量依赖自旋劈裂的体系后，$F_s$可以被转换为$F_z,F_{\uparrow\uparrow},F_{\downarrow\downarrow}$。如果我们计算得到

$F_i(x,k_y,i\omega_n),\qquad i=s,z,\uparrow\uparrow,\downarrow\downarrow,$

那么最直接的图像就是$|F_i(x,k_y)|$，这个量可以告诉我们配对关联在实空间中传播了多远。比如$|F_s(x,k_y)|$如果只在超导附近存在且很快衰减，说明单重态近邻效应是短程的。其次，这个量还可以高度我们哪些动量通道的贡献最大。比如$|F_{\uparrow\uparrow}(x,k_y)|$如果只集中在某些$k_y$区域，说明等自旋三重态近邻效应受到费米面结构、自旋结构或者谷结构的选择。

如果想看某个配对通道随$x$的整体衰减，就需要对$k_y$求和

$F_i(x,i\omega_n) = \frac{1}{N_{k_y}} \sum_{k_y} F_i(x,k_y,i\omega_n).$

然后绘制

$|F_i(x,i\omega_n)| = \left| \frac{1}{N_{k_y}} \sum_{k_y} F_i(x,k_y,i\omega_n) \right|.$

这里是先对反常格林函数求和然后取绝对值$\left|
\sum_{k_y}F_i(x,k_y)
\right|$，这个量会保留不同$k_y$通道之间的相位干涉相长和相消，是真正的关联函数求和。如果是计算$\sum_{k_y}|F_i(x,k_y)|$则会将相位因子的贡献消除，可能会高估关联强度。在实际计算中通常会固定一个Matsubara频率$\omega_n$，然后绘制$|F_i(x,k_y,i\omega_n)|$，它能反映某一个低能尺度上的配对传播特征。如果是关注真正的等时配对关联，则需要做松原频率求和

$\langle c_\alpha(x)c_\beta(x)\rangle = T\sum_{\omega_n} F_{\alpha\beta}(x,i\omega_n).$

所以更加完整的定义是

$F_i(x) = T\sum_{\omega_n} \frac{1}{N_{k_y}} \sum_{k_y} F_i(x,k_y,i\omega_n).$

数值计算的时候会取有限频率截断$|\omega_n|<\omega_{\rm max}$，但文章为了展示低能近邻效应，通常还是选择固定一个代表性的Matsubara频率然后绘制空间分布，可以更清楚的看到低能Cooper对传播通道。

递归格林函数方法

如果体系沿 $x$ 方向很长，直接构造完整的 BdG 矩阵并求逆会非常耗费内存和时间。假设体系沿 $y$ 方向周期，固定 $k_y$ 后，问题可以化为一个沿 $x$ 方向的准一维链。每一个 $x$ 截面可以看成一个“层”或一个“块”，块内部包含自旋、轨道、Nambu 自由度等。

如果只存在最近邻层间跃迁，BdG 哈密顿量可以写成

$H_{\rm BdG}(k_y) = \sum_x C_x^\dagger h_x(k_y) C_x + \sum_x \left[ C_{x+1}^\dagger T_x(k_y) C_x +{\rm H.c.} \right].$

这里 $h_x(k_y)$ 是第 $x$ 层的块内哈密顿量，$T_x(k_y)$ 是从第 $x$ 层跃迁到第 $x+1$ 层的层间耦合矩阵。于是 Matsubara 格林函数满足

$G(i\omega_n,k_y) = \left[i\omega_n-H_{\rm BdG}(k_y)\right]^{-1}.$

令

$A=i\omega_n-H_{\rm BdG}(k_y),$

则 $A$ 是块三对角矩阵：

$A= \begin{pmatrix} A_1 & B_1 & 0 & \cdots \\ C_1 & A_2 & B_2 & \cdots \\ 0 & C_2 & A_3 & \cdots\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix},$

其中

$A_x=i\omega_n-h_x, \qquad B_x=-T_x^\dagger, \qquad C_x=-T_x.$

递归格林函数方法的核心思想是：如果我们只关心某个位置的局域格林函数 $G_{xx}$，就没有必要求整个大矩阵 $A^{-1}$。由于 $A$ 只在相邻层之间耦合，左侧所有层对第 $x$ 层的影响可以等效为一个“左自能”，右侧所有层对第 $x$ 层的影响也可以等效为一个“右自能”。这样，一个很长的系统可以被压缩成第 $x$ 层的一个有效局域问题。

递归

先看一个最简单的两块矩阵

$A= \begin{pmatrix} A_1 & B_1\\ C_1 & A_2 \end{pmatrix}.$

如果要求第二个块的格林函数 $G_{22}$，即 $A^{-1}$ 的 $(2,2)$ 块，可以用 Schur 补公式。结果是

$G_{22} = \left(A_2-C_1A_1^{-1}B_1\right)^{-1}.$

这个式子有非常清楚的物理意义。第 2 层本来的动力学是 $A_2$，但是它可以先通过 $C_1$ 跳到第 1 层，在第 1 层中传播 $A_1^{-1}$，再通过 $B_1$ 回到第 2 层。因此第 1 层对第 2 层的影响是

$\Sigma_L=C_1A_1^{-1}B_1.$

所以第 2 层的有效矩阵为

$A_2^{\rm eff}=A_2-\Sigma_L.$

这就是递归格林函数的基本机制：把一侧的自由度积分掉，得到一个有效自能。

左递归块 $L_x$

对于多层系统，可以逐层消去左侧自由度。定义

$L_1=A_1.$

当我们把第 1 层消去后，第 2 层的有效块为

$L_2=A_2-C_1L_1^{-1}B_1.$

继续消去第 1、2 层后，第 3 层的有效块为

$L_3=A_3-C_2L_2^{-1}B_2.$

因此一般地有

$L_x=A_x-C_{x-1}L_{x-1}^{-1}B_{x-1}.$

$L_x$ 不是原始的 $A_x$，而是已经包含了左侧所有层影响的有效块。也就是说，第 $1,2,\ldots,x-1$ 层已经被“积分掉”，它们对第 $x$ 层的作用被写成了左自能：

$\Sigma_L(x)=C_{x-1}L_{x-1}^{-1}B_{x-1}.$

于是

$L_x=A_x-\Sigma_L(x).$

这说明左递归并不是近似，而是对块三对角矩阵进行精确的高斯消元或 Schur 补变换。

右递归块 $R_x$

同理，也可以从右侧向左消元。定义

$R_N=A_N.$

消去第 $N$ 层后，第 $N-1$ 层的有效块为

$R_{N-1}=A_{N-1}-B_{N-1}R_N^{-1}C_{N-1}.$

一般地，

$R_x=A_x-B_xR_{x+1}^{-1}C_x.$

其中

$\Sigma_R(x)=B_xR_{x+1}^{-1}C_x$

是右侧所有层对第 $x$ 层产生的有效自能。因此

$R_x=A_x-\Sigma_R(x).$

右递归同样是精确的 Schur 补消元。它把第 $x+1,x+2,\ldots,N$ 层的影响压缩为一个作用在第 $x$ 层上的有效自能。

局域格林函数 $G_{xx}$

现在考虑第 $x$ 层。如果只保留这一层，左侧全部层对它的影响是

$\Sigma_L(x)=C_{x-1}L_{x-1}^{-1}B_{x-1},$

右侧全部层对它的影响是

$\Sigma_R(x)=B_xR_{x+1}^{-1}C_x.$

因此第 $x$ 层的有效矩阵为

$A_x^{\rm eff} = A_x-\Sigma_L(x)-\Sigma_R(x).$

于是局域格林函数就是

$G_{xx} = \left(A_x^{\rm eff}\right)^{-1}.$

也就是

$G_{xx} = \left[ A_x - C_{x-1}L_{x-1}^{-1}B_{x-1} - B_xR_{x+1}^{-1}C_x \right]^{-1}.$

这就是递归格林函数公式。它的本质是：把左半部分和右半部分都积分掉，只留下目标层 $x$ 的有效问题。

对于边界层，需要去掉不存在的一侧自能。例如：

$G_{11}=\left(A_1-B_1R_2^{-1}C_1\right)^{-1},$ $G_{NN}=\left(A_N-C_{N-1}L_{N-1}^{-1}B_{N-1}\right)^{-1}.$

迭代方法与直接求逆比较

如果整个体系有 $N$ 个 $x$ 层，每层块大小为 $m$，完整 BdG 矩阵大小是 $Nm\times Nm$。直接求逆的计算量大约随

$(Nm)^3$

增长，内存也随

$(Nm)^2$

增长。

递归格林函数每一步只需要处理一个 $m\times m$ 的块矩阵，因此计算量大约为

$N m^3.$

当 $N$ 很大时，

$N m^3 \ll N^3m^3.$

所以对于长条形体系、SNS 结、SC/normal/SC 结构、SC/magnet/SC 结构等准一维问题，递归格林函数方法会比直接对角化或直接求逆高效得多。

更重要的是，如果只需要局域量，比如

$G_{xx}, \qquad F_x=G_{he}(x,x),$

就完全没有必要保存整个 $G=A^{-1}$。

超导近邻效应

在超导近邻效应问题中，我们关心的是某个位置 $x$ 上的异常格林函数。得到 $G_{xx}$ 后，把它按照 Nambu 空间分块：

$G_{xx} = \begin{pmatrix} G_{ee}(x,x) & G_{eh}(x,x)\\ G_{he}(x,x) & G_{hh}(x,x) \end{pmatrix}.$

在当前基底约定下，取

$F_x=G_{he}(x,x).$

它是自旋空间中的 $2\times2$ 矩阵：

$F_x= \begin{pmatrix} F_{\uparrow\uparrow} & F_{\uparrow\downarrow}\\ F_{\downarrow\uparrow} & F_{\downarrow\downarrow} \end{pmatrix}.$

然后分解为

$F_s= \frac{F_{\downarrow\uparrow}-F_{\uparrow\downarrow}}{2},$ $F_z= \frac{F_{\downarrow\uparrow}+F_{\uparrow\downarrow}}{2},$ $F_{\uparrow\uparrow}=F_{\uparrow\uparrow}, \qquad F_{\downarrow\downarrow}=F_{\downarrow\downarrow}.$

这样就可以得到位置分辨的单重态和三重态近邻配对关联：

$|F_s(x)|, \qquad |F_z(x)|, \qquad |F_{\uparrow\uparrow}(x)|, \qquad |F_{\downarrow\downarrow}(x)|.$

如果体系还保留平行动量 $k_y$，则每个量还依赖于 $k_y$：

$F_i(x,k_y,i\omega_n).$

最终可以画

$|F_i(x,k_y)|$

来分析不同配对通道在空间和动量上的传播。

更一般的理解：递归格林函数就是逐层“积分掉自由度”

递归格林函数和路径积分中的“积分掉自由度”是同一个思想。完整系统可以分成三部分：左侧、目标层、右侧。目标层和左右两侧耦合。把左侧自由度消去后，会产生一个左自能；把右侧自由度消去后，会产生一个右自能。目标层最终看到的不是孤立的 $A_x$，而是

$A_x-\Sigma_L(x)-\Sigma_R(x).$

因此局域格林函数为

$G_{xx}= \left[A_x-\Sigma_L(x)-\Sigma_R(x)\right]^{-1}.$

这也是为什么递归格林函数特别适合近邻效应问题：近邻效应本质上就是超导区域的信息通过格林函数传播到非超导区域。递归格林函数把这种传播过程压缩成有效自能，使我们可以高效地计算每个位置的异常格林函数。

数值实现注意事项

实际代码中不要显式计算矩阵逆，例如

$L_{x-1}^{-1}B_{x-1}.$

更稳定的做法是解线性方程：

$L_{x-1}X=B_{x-1}.$

然后使用

$C_{x-1}X$

代替

$C_{x-1}L_{x-1}^{-1}B_{x-1}.$

类似地，右递归中计算

$R_{x+1}^{-1}C_x$

时，也应该用线性方程求解。

此外，如果哈密顿量存在次近邻跃迁，矩阵不再是简单的 block-tridiagonal。此时有两种处理方法：一种是扩大每个 block，把多个相邻层合并成一个 supercell；另一种是使用更一般的带状矩阵递归方法。实际计算中，最常见的是扩大 block，使其重新变成三对角块矩阵。递归格林函数方法之所以成立，是因为固定平行动量后，准一维 BdG 矩阵具有块三对角结构。块三对角结构允许我们用 Schur 补逐层消去自由度，把左侧和右侧的影响分别写成有效自能：

$\Sigma_L(x)=C_{x-1}L_{x-1}^{-1}B_{x-1},$ $\Sigma_R(x)=B_xR_{x+1}^{-1}C_x.$

于是局域格林函数为

$G_{xx} = \left[ A_x- \Sigma_L(x)- \Sigma_R(x) \right]^{-1}.$

得到 $G_{xx}$ 后，就可以提取异常格林函数

$F_x=G_{he}(x,x),$

并进一步分析单重态、$S_z=0$三重态和等自旋三重态近邻效应。