BdG 框架下的电导

考虑一个多轨道正常态哈密顿量

$H_0 = \sum_{\mathbf k} c^\dagger_{\mathbf k} h(\mathbf k) c_{\mathbf k},$

其中 $h(\mathbf k)$ 可以包含轨道、自旋、子晶格等自由度。进入超导态后，定义 Nambu 旋量

$\Psi_{\mathbf k} = \begin{pmatrix} c_{\mathbf k}\\ c^\dagger_{-\mathbf k} \end{pmatrix}.$

BdG 平均场哈密顿量写成

$H_{\mathrm{BdG}} = \frac{1}{2} \sum_{\mathbf k} \Psi^\dagger_{\mathbf k} \mathcal H(\mathbf k) \Psi_{\mathbf k} +\text{const.},$

其中

$\mathcal H(\mathbf k) = \begin{pmatrix} h(\mathbf k)-\mu & \Delta(\mathbf k)\\ \Delta^\dagger(\mathbf k) & -h^T(-\mathbf k)+\mu \end{pmatrix}.$

如果考虑 onsite配对或者局域吸引 Hubbard 模型的平均场，那么通常有

$\Delta(\mathbf k)=\Delta,$

即序参量不显含动量。若 $\Delta(\mathbf k)$ 显含动量，则电流顶角需要额外包含 $\partial_\mu\Delta(\mathbf k)$。

电导定义

电导定义为电流对电场的响应

$j_\mu(\omega) = \sigma_{\mu\nu}(\omega)E_\nu(\omega).$

如果取标量势为零的规范($\phi=0$)，那么电场由矢势给出。采用时间因子 $e^{-i\omega t}$，有

$\mathbf E(\omega) = -\partial_t \mathbf A(\omega) = i\omega \mathbf A(\omega).\label{eq:e1}$

另一方面，线性响应通常先给出电流对矢势的响应

$j_\mu(\omega) = K^R_{\mu\nu}(\omega)A_\nu(\omega),$

那么形式上有

$\sigma_{\mu\nu}(\omega) = \frac{K^R_{\mu\nu}(\omega)}{i(\omega+i0^+)}.$

但是这里需要注意一个物理问题：均匀静态矢势并不产生电场。当

$\omega=0, \qquad \mathbf q=0,$

时

$\mathbf E=i\omega\mathbf A=0,\qquad \mathbf B=i\mathbf q\times\mathbf A=0.$

所以严格的均匀静态矢势只是一个纯规范扰动，它本身不对应真实的电场驱动，也不应该被解释为有限频率光学吸收。因此，把响应核写成

$K^R_{\mu\nu}(\omega) = K^R_{\mu\nu}(0) + \left[ K^R_{\mu\nu}(\omega)-K^R_{\mu\nu}(0) \right].$

代入电导定义得到

$\sigma_{\mu\nu}(\omega) = \frac{K^R_{\mu\nu}(0)}{i(\omega+i0^+)} + \frac{ K^R_{\mu\nu}(\omega)-K^R_{\mu\nu}(0) }{ i(\omega+i0^+) }.\label{eq:e3}$

第一项是零频奇异项

$\sigma^{\mathrm{sing}}_{\mu\nu}(\omega) = \frac{K^R_{\mu\nu}(0)}{i(\omega+i0^+)}.$

利用

$\frac{1}{\omega+i0^+} = \mathcal P\frac{1}{\omega} - i\pi\delta(\omega),$

可以看到这一项会给出

$\mathrm{Im}\,\sigma(\omega)\sim \frac{1}{\omega},\qquad \mathrm{Re}\,\sigma(\omega)\sim \delta(\omega).$

这部分描述的是零频无耗散响应，例如干净金属中的 Drude权重或超导态中的零频凝聚响应。它不是普通意义上的有限频光学吸收。方程$\eqref{eq:e3}$中的第二项

$\sigma^{\mathrm{reg}}_{\mu\nu}(\omega) = \frac{ K^R_{\mu\nu}(\omega)-K^R_{\mu\nu}(0) }{ i(\omega+i0^+) }$

才是 regular光电导。它描述的是有限频率电场驱动下，体系通过准粒子跃迁等过程产生的常规吸收和输运响应。这个 subtraction 还有一个规范不变性的含义：对于均匀静态矢势，物理电场和磁场都为零，因此一个规范不变的电磁响应不应对这种纯规范扰动产生 regular 电流响应。减去 $K^R_{\mu\nu}(0)$ 正是在电导公式中去掉这部分静态纯规范响应，使剩余部分只对应真实的动态电场响应。因此，在电导计算中通常区分

$\sigma_{\mu\nu}(\omega) = \sigma^{\mathrm{sing}}_{\mu\nu}(\omega) + \sigma^{\mathrm{reg}}_{\mu\nu}(\omega),$

其中

$\sigma^{\mathrm{sing}}_{\mu\nu}(\omega) = \frac{K^R_{\mu\nu}(0)}{i(\omega+i0^+)},\qquad \sigma^{\mathrm{reg}}_{\mu\nu}(\omega) = \frac{ K^R_{\mu\nu}(\omega)-K^R_{\mu\nu}(0) }{ i(\omega+i0^+) }.$

如果研究的是有限频光电导、吸收谱或 Hall 光学响应，通常主要关注 $\sigma^{\mathrm{reg}}_{\mu\nu}(\omega)$。如果研究的是零频无耗散响应，则必须保留第一项中的 $\delta(\omega)$ 权重。所以电导计算的极限是

$\mathbf q=0, \qquad \omega \text{有限},\nonumber$

最后根据需要取$\omega\to 0$或者研究有限频率的光电导。

电流顶角

外加矢势通过 Peierls替换进入正常态哈密顿量。对于均匀矢势，可以理解为

$h(\mathbf k) \rightarrow h(\mathbf k-\mathbf A).$

因此正常态电流顶角为

$v_\mu(\mathbf k) = \partial_\mu h(\mathbf k), \qquad \partial_\mu\equiv \frac{\partial}{\partial k_\mu}.$

在 BdG 表示中，电流顶角不是简单的 $\partial_\mu\mathcal H$。原因是粒子和空穴对电磁场的耦合符号相反。定义

$\gamma^z = \tau^z\otimes I,$

其中 $\tau^z$ 作用在 Nambu particle-hole 空间，$I$ 作用在轨道/自旋空间。若 $\Delta$ 不依赖 $\mathbf k$，常用的 BdG charge-current vertex 可以写成

$\Gamma_\mu(\mathbf k) = \partial_\mu\mathcal H(\mathbf k)\gamma^z.$

等价地，它在块对角形式中表示粒子与空穴的电荷耦合符号相反。如果 $\Delta(\mathbf k)$ 显含动量，则不能简单使用上式作为完整电流顶角。此时

$\partial_\mu\mathcal H(\mathbf k) = \begin{pmatrix} \partial_\mu h(\mathbf k) & \partial_\mu\Delta(\mathbf k)\\ \partial_\mu\Delta^\dagger(\mathbf k) & \partial_\mu[-h^T(-\mathbf k)] \end{pmatrix},$

其中 $\partial_\mu\Delta(\mathbf k)$ 会产生配对电流顶角。对于非局域配对、$p$ 波、$d$ 波配对，必须认真处理这部分。下面先采用最常见的局域配对情形$\partial_\mu\Delta=0$。

响应核 $K_{\mu\nu}$

电流响应核包含两部分

$K_{\mu\nu}(\omega) = K^{\mathrm{dia}}_{\mu\nu} + K^{\mathrm{para}}_{\mu\nu}(\omega).$

这里 $K^{\mathrm{dia}}_{\mu\nu}$ 是抗磁项，来自哈密顿量对 $\mathbf A$ 的二阶展开；$K^{\mathrm{para}}_{\mu\nu}$ 是顺磁流-流关联。不过对于很多 Hall 电导计算，尤其是 $\mu\neq\nu$ 的反对称部分，抗磁项通常不直接贡献主要的 Hall 响应。但为了公式完整，先保留它。定义抗磁顶角

$\Gamma_{\mu\nu}(\mathbf k) = \partial_\mu\partial_\nu \mathcal H(\mathbf k),$

则

$K^{\mathrm{dia}}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \frac{1}{\beta} \sum_{\mathbf k,\Omega_m} \mathrm{Tr} \left[ \Gamma_{\mu\nu}(\mathbf k) G(i\Omega_m,\mathbf k) \right].$

这里的 $1/2$ 来自 Nambu 表示的粒子-空穴冗余。如果你的 Nambu 约定没有重复计数，例如只在半个布里渊区求和，或者像某些文献一样采用非冗余 spinor 约定，这个 $1/2$ 可能不显式出现，实际写程序时必须保持统一。BdG格林函数为

$G(i\Omega_m,\mathbf k) = \frac{1}{i\Omega_m-\mathcal H(\mathbf k)}.$

顺磁响应为 bubble

$K^{\mathrm{para}}_{\mu\nu}(i\omega_n) = \frac{1}{2} \frac{1}{\beta} \sum_{\mathbf k,\Omega_m} \mathrm{Tr} \left[ G(i\Omega_m,\mathbf k) \Gamma_\nu(\mathbf k) G(i\Omega_m+i\omega_n,\mathbf k) \Gamma_\mu(\mathbf k) \right].$

这里已经取了$\mathbf{q}=0$，因为电导对应空间均匀电场响应，而不是有限动量磁响应。因此完整 Matsubara 响应核为

$K_{\mu\nu}(i\omega_n) = K^{\mathrm{dia}}_{\mu\nu} + K^{\mathrm{para}}_{\mu\nu}(i\omega_n).$

设 BdG哈密顿量的本征方程为

$\mathcal H(\mathbf k)|a\mathbf k\rangle = E_{a\mathbf k}|a\mathbf k\rangle.$

格林函数的谱表示为

$G(i\Omega_m,\mathbf k) = \sum_a \frac{ |a\mathbf k\rangle\langle a\mathbf k| }{ i\Omega_m-E_{a\mathbf k} }.$

定义电流矩阵元

$\Gamma^\mu_{ab}(\mathbf k) = \langle a\mathbf k| \Gamma_\mu(\mathbf k) |b\mathbf k\rangle.$

同理，抗磁顶角矩阵为

$\Gamma^{\mu\nu}_{aa}(\mathbf k) = \langle a\mathbf k| \Gamma_{\mu\nu}(\mathbf k) |a\mathbf k\rangle.$

将谱分解代入顺磁 bubble

$K^{\mathrm{para}}_{\mu\nu}(i\omega_n) = \frac{1}{2} \sum_{\mathbf k,a,b} \Gamma^\nu_{ab}(\mathbf k) \Gamma^\mu_{ba}(\mathbf k) \frac{1}{\beta} \sum_{\Omega_m} \frac{1}{ (i\Omega_m-E_a) (i\Omega_m+i\omega_n-E_b) }.$

Matsubara 求和为

$\frac{1}{\beta} \sum_{\Omega_m} \frac{1}{ (i\Omega_m-E_a) (i\Omega_m+i\omega_n-E_b) } = \frac{ n(E_a)-n(E_b) }{ i\omega_n+E_a-E_b }.$

所以

$K^{\mathrm{para}}_{\mu\nu}(i\omega_n) = \frac{1}{2} \sum_{\mathbf k,a,b} \frac{ n(E_a)-n(E_b) }{ i\omega_n+E_a-E_b } \Gamma^\nu_{ab}(\mathbf k) \Gamma^\mu_{ba}(\mathbf k).$

解析延拓$i\omega_n\rightarrow \omega+i0^+$得到推迟响应

$K^{R,\mathrm{para}}_{\mu\nu}(\omega) = \frac{1}{2} \sum_{\mathbf k,a,b} \frac{ n(E_a)-n(E_b) }{ \omega+E_a-E_b+i0^+ } \Gamma^\nu_{ab}(\mathbf k) \Gamma^\mu_{ba}(\mathbf k).$

抗磁项为

$K^{\mathrm{dia}}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \sum_{\mathbf k,a} n(E_a) \Gamma^{\mu\nu}_{aa}(\mathbf{k})$

因此

$K^R_{\mu\nu}(\omega) = K^{\mathrm{dia}}_{\mu\nu} + \frac{1}{2} \sum_{\mathbf k,a,b} \frac{ n(E_a)-n(E_b) }{ \omega+E_a-E_b+i0^+ } \Gamma^\nu_{ab}(\mathbf k) \Gamma^\mu_{ba}(\mathbf k).$

电导是电流对电场的响应，结合方程$\eqref{eq:e1}$和$\eqref{eq:e2}$，最终得到

$\sigma^{\mathrm{reg}}_{\mu\nu}(\omega) = \frac{1}{2} \frac{1}{i(\omega+i0^+)} \sum_{\mathbf k,a,b} \left[ \frac{ n(E_a)-n(E_b) }{ \omega+E_a-E_b+i0^+ } - \frac{ n(E_a)-n(E_b) }{ E_a-E_b } \right] \Gamma^\nu_{ab}(\mathbf k) \Gamma^\mu_{ba}(\mathbf k).$

如果抗磁项不依赖频率，那么在$K^R_{\mu\nu}(\omega)-K^R_{\mu\nu}(0)$会被抵消。因此 regular光电导可以只用顺磁 bubble 的频率差来写。对于 $\mu\neq\nu$ 的 Hall 响应，抗磁项通常也不会贡献反对称部分。

纵向电导

对于纵向电导，例如$\sigma_{xx}(\omega)$，其regular部分为

$\sigma^{\mathrm{reg}}_{xx}(\omega) = \frac{1}{2} \frac{1}{i(\omega+i0^+)} \sum_{\mathbf k,a,b} \left[ \frac{ n(E_a)-n(E_b) }{ \omega+E_a-E_b+i0^+ } - \frac{ n(E_a)-n(E_b) }{ E_a-E_b } \right] \Gamma^x_{ab}(\mathbf k) \Gamma^x_{ba}(\mathbf k).$

其中$\Gamma^x_{ab}(\mathbf k)
=
\langle a\mathbf k|
\Gamma_x(\mathbf k)
|b\mathbf k\rangle$，物理上，这个式子描述的是外加电场驱动 BdG 准粒子态之间发生跃迁。跃迁能量由$E_b-E_a$决定，矩阵元由电流顶角决定。在 gapped 超导中，低温下若 $\omega$ 小于两倍能隙，regular准粒子吸收通常很弱；当 $\omega$ 超过配对破缺能量尺度时，会出现吸收。

Hall电导

Hall 电导关注反对称部分

$\sigma^H_{xy}(\omega) = \frac{1}{2} \left[ \sigma_{xy}(\omega) - \sigma_{yx}(\omega) \right].$

代入 regular电导表达式

$\sigma^H_{xy}(\omega) = \frac{1}{4} \frac{1}{i(\omega+i0^+)} \sum_{\mathbf k,a,b} \left[ \frac{ n(E_a)-n(E_b) }{ \omega+E_a-E_b+i0^+ } - \frac{ n(E_a)-n(E_b) }{ E_a-E_b } \right] \left[ \Gamma^y_{ab}\Gamma^x_{ba} - \Gamma^x_{ab}\Gamma^y_{ba} \right].$

这里所有矩阵元都依赖 $\mathbf k$，为简洁省略了 $(\mathbf k)$。由于

$\Gamma^y_{ab}\Gamma^x_{ba} - \Gamma^x_{ab}\Gamma^y_{ba}\nonumber$

是反对称组合，所以 Hall 电导对时间反演破缺、手性配对、多能带轨道结构、Berry曲率类似的带间矩阵元特别敏感。如果体系保持时间反演对称性，通常有

$\sigma^H_{xy}(\omega)=0.$

如果体系是手征或磁性超导，可能得到非零 Hall 响应。

直流极限

若关注 clean limit 下的直流 Hall 响应，可以考虑$\omega\to 0$，忽略简并和散射复杂性时，反对称 Hall 部分可以写成类似 Berry曲率的形式

$\sigma^H_{xy}(0) = \frac{i}{2} \sum_{\mathbf k,a\neq b} \frac{ n(E_a)-n(E_b) }{ (E_a-E_b)^2 } \left[ \Gamma^y_{ab}\Gamma^x_{ba} - \Gamma^x_{ab}\Gamma^y_{ba} \right].$

等价地，可以定义 BdG框架下的Berry曲率类似的量

$\Omega^{\mathrm{charge}}_{a,xy}(\mathbf k) = -2\,\mathrm{Im} \sum_{b\neq a} \frac{ \Gamma^x_{ab}(\mathbf k) \Gamma^y_{ba}(\mathbf k) }{ (E_a-E_b)^2 }.$

那么

$\sigma^H_{xy}(0) = -\frac{1}{2} \sum_{\mathbf k,a} n(E_a) \Omega^{\mathrm{charge}}_{a,xy}(\mathbf k),$

其中整体符号和 $1/2$ 因子仍然依赖具体 Nambu 约定。需要强调：这个对象不是简单的 BdG能带Berry曲率。因为电荷电导率中的顶角是物理电荷电流顶角 $\Gamma_\mu$，而不是单纯的 $\partial_\mu\mathcal H$。在超导态中，电荷 U(1) 对称性已经被平均场破缺，因此电荷Hall电导率一般不等同于BdG Chern数。