二维 Hubbard 模型中自旋涨落、非常规超导与自旋共振

考虑二维正方晶格上的单轨道电子体系： $H=H_0+H_U,$ 其中

$$\begin{aligned} H_0={}& -t\sum_{\langle i,j\rangle,\sigma} (c_{i\sigma}^{\dagger}c_{j\sigma}+\mathrm{H.c.})-t'\sum_{\langle\langle i,j\rangle\rangle,\sigma} (c_{i\sigma}^{\dagger}c_{j\sigma}+\mathrm{H.c.})-\mu\sum_{i,\sigma}n_{i\sigma}, \end{aligned}$$

$H_U=U\sum_i n_{i\uparrow}n_{i\downarrow}.$ 这里 $t$ 和 $t’$ 分别表示最近邻与次近邻跃迁，$\mu$ 是化学势，$U>0$ 表示同一格点上不同自旋电子之间的排斥作用。电子算符满足 $\{c_{i\sigma},c_{j\sigma’}^\dagger\}=\delta_{ij}\delta_{\sigma\sigma’},$ $\{c_{i\sigma},c_{j\sigma’}\}=0.$ 我们首先将动能项写到动量空间。采用 $c_{i\sigma}=\frac1{\sqrt N}\sum_{\mathbf k}e^{i\mathbf k\cdot\mathbf R_i}c_{\mathbf k\sigma},$ $c_{i\sigma}^\dagger=\frac1{\sqrt N}\sum_{\mathbf k}e^{-i\mathbf k\cdot\mathbf R_i}c_{\mathbf k\sigma}^\dagger.$考虑 $x$ 方向的跃迁项： $\sum_i c_{i\sigma}^\dagger c_{i+\hat x,\sigma}.$ 代入 Fourier 变换：

$$\begin{aligned} &\sum_i c_{i\sigma}^\dagger c_{i+\hat x,\sigma}=\frac1N\sum_{i,\mathbf k,\mathbf k'}e^{-i\mathbf k\cdot\mathbf R_i}e^{i\mathbf k'\cdot(\mathbf R_i+\hat x)}c_{\mathbf k\sigma}^\dagger c_{\mathbf k'\sigma}. \end{aligned}$$

利用晶格正交关系

$$\sum_i e^{i(\mathbf k'-\mathbf k)\cdot\mathbf R_i}=N\delta_{\mathbf k,\mathbf k'},$$

得到

$$\sum_i c_{i\sigma}^\dagger c_{i+\hat x,\sigma}=\sum_{\mathbf k}e^{ik_x}c_{\mathbf k\sigma}^\dagger c_{\mathbf k\sigma}.$$

将反向跃迁加上： $e^{ik_x}+e^{-ik_x}=2\cos k_x.$ 同理，沿 $y$ 方向的跃迁产生 $2\cos k_y$。因此最近邻跃迁对应 $-2t(\cos k_x+\cos k_y).$ 次近邻的位移为 $(1,1)$、$(1,-1)$ 及其反向，对应 $-2t’[\cos(k_x+k_y)+\cos(k_x-k_y)].$ 利用 $\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b,$得到 $-4t’\cos k_x\cos k_y.$ 于是自由电子 Hamiltonian 为

$$H_0=\sum_{\mathbf k,\sigma}\xi_{\mathbf k}c_{\mathbf k\sigma}^\dagger c_{\mathbf k\sigma},$$

其中 $\xi_{\mathbf k}=-2t(\cos k_x+\cos k_y)-4t’\cos k_x\cos k_y-\mu.$ 注意 $\xi_{-\mathbf k}=\xi_{\mathbf k}.$ 后面我们既可以使用一般的 $t,t’,\mu$，也可以在讨论反铁磁嵌套时取特殊极限 $t’=0,\mu=0$。

动量空间 Hubbard 相互作用

从 $H_U=U\sum_i c_{i\uparrow}^\dagger c_{i\uparrow}c_{i\downarrow}^\dagger c_{i\downarrow}$ 出发，把四个电子算符全部 Fourier 变换：

$$\begin{aligned} H_U=\frac{U}{N^2}\sum_i\sum_{\mathbf k_1,\ldots,\mathbf k_4} &e^{i(\mathbf k_2+\mathbf k_4-\mathbf k_1-\mathbf k_3)\cdot\mathbf R_i}\times c_{\mathbf k_1\uparrow}^\dagger c_{\mathbf k_2\uparrow}c_{\mathbf k_3\downarrow}^\dagger c_{\mathbf k_4\downarrow}. \end{aligned}$$

利用格点求和

$$\sum_i e^{i(\mathbf k_2+\mathbf k_4-\mathbf k_1-\mathbf k_3)\cdot\mathbf R_i}=N\delta_{\mathbf k_1+\mathbf k_3,\mathbf k_2+\mathbf k_4},$$

得到动量守恒条件 $\mathbf k_1+\mathbf k_3=\mathbf k_2+\mathbf k_4.$ 再通过费米算符反对易关系，将两个产生算符排列到左侧。取散射动量 $\mathbf q$ 后：

$$H_U=\frac{U}{N}\sum_{\mathbf k,\mathbf k',\mathbf q}c_{\mathbf k+\mathbf q,\uparrow}^\dagger c_{\mathbf k'-\mathbf q,\downarrow}^\dagger c_{\mathbf k',\downarrow}c_{\mathbf k,\uparrow}.$$

这个公式表明，Hubbard 相互作用会使两个电子发生满足总动量守恒的散射。后面研究自旋涨落时，我们关注粒子–空穴散射；研究超导配对时，则关注总动量为零的粒子–粒子散射。

1.4 自旋密度算符

电子的局域自旋算符为

$$\mathbf S_i=\frac12\sum_{\alpha\beta}c_{i\alpha}^\dagger\boldsymbol{\sigma}_{\alpha\beta}c_{i\beta}.$$

这里 $\boldsymbol{\sigma}=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$ 是 Pauli 矩阵。展开得

$$S_i^x=\frac12(c_{i\uparrow}^\dagger c_{i\downarrow}+c_{i\downarrow}^\dagger c_{i\uparrow}),\quad S_i^y=\frac1{2i}(c_{i\uparrow}^\dagger c_{i\downarrow}-c_{i\downarrow}^\dagger c_{i\uparrow}),\quad S_i^z=\frac12(n_{i\uparrow}-n_{i\downarrow}).$$

引入自旋升降算符

$$S_i^\pm=S_i^x\pm iS_i^y,$$

立即得到

$$S_i^+=c_{i\uparrow}^\dagger c_{i\downarrow},\qquad S_i^-=c_{i\downarrow}^\dagger c_{i\uparrow}.$$

在动量空间定义

$$S_{\mathbf q}^+=\sum_i e^{-i\mathbf q\cdot\mathbf R_i}S_i^+.$$

代入 Fourier 变换并完成格点求和

$$S_{\mathbf q}^+=\sum_{\mathbf k}c_{\mathbf k+\mathbf q,\uparrow}^\dagger c_{\mathbf k,\downarrow}.\label{eq:5}$$

类似地

$$S_{-\mathbf q}^-=\sum_{\mathbf k}c_{\mathbf k,\downarrow}^\dagger c_{\mathbf k+\mathbf q,\uparrow}.$$

因此，动量为 $\mathbf q$ 的横向自旋激发包含一个电子从 $(\mathbf k,\downarrow)$ 到 $(\mathbf k+\mathbf q,\uparrow)$ 的跃迁。在没有磁长程序的金属中，它通常对应粒子–空穴自旋激发，而不一定是 Magnon。

正常态自旋磁化率

给体系施加一个弱的外磁场扰动

$$H'(t)=-h^+(-\mathbf q,t)S_{-\mathbf q}^- -h^-(\mathbf q,t)S_{\mathbf q}^+.$$

在一阶线性响应下，诱导的自旋变化与外场成正比

$$\delta\langle S_{\mathbf q}^+(t)\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}dt'\,\chi^{+-}(\mathbf q,t-t')h^+(-\mathbf q,t').$$

为与 RPA 的通常约定一致，定义每个格点的横向推迟自旋响应

$$\chi^{+-}(\mathbf q,t)=-\frac{i}{N}\theta(t)\left\langle[S_{\mathbf q}^+(t),S_{-\mathbf q}^-(0)]\right\rangle.$$

Fourier 变换为

$$\chi^{+-}(\mathbf q,\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}dt\,e^{i(\omega+i0^+)t}\chi^{+-}(\mathbf q,t).$$

在顺磁、自旋旋转对称的正常态中，横向和纵向自旋响应之间具有确定的对称关系。因此我们只需要计算 $\chi^{+-}$。以下简记为 $\chi_0$，其中下标 0 表示尚未通过 Hubbard-RPA 修正的粒子–空穴响应。

首先定义自由电子的虚时间 Green 函数

$$G_0(\mathbf k,\tau)=-\langle T_\tau c_{\mathbf k\sigma}(\tau)c_{\mathbf k\sigma}^\dagger(0)\rangle_0.$$

这里 $c_{\mathbf k\sigma}(\tau)=e^{\tau H_0}c_{\mathbf k\sigma}e^{-\tau H_0}.$ 由虚时间运动方程

$$\frac{\partial c_{\mathbf k\sigma}(\tau)}{\partial\tau}=[H_0,c_{\mathbf k\sigma}(\tau)],\qquad [H_0,c_{\mathbf k\sigma}]=-\xi_{\mathbf k}c_{\mathbf k\sigma},$$

得到

$$\frac{\partial c_{\mathbf k\sigma}(\tau)}{\partial\tau}=-\xi_{\mathbf k}c_{\mathbf k\sigma}(\tau).$$

因此 Green 函数满足

$$\left(-\frac{\partial}{\partial\tau}-\xi_{\mathbf k}\right)G_0(\mathbf k,\tau)=\delta(\tau).$$

将它 Fourier 变换为

$$G_0(\mathbf k,\tau)=T\sum_n e^{-i\omega_n\tau}G_0(\mathbf k,i\omega_n),$$

其中 $\omega_n=(2n+1)\pi T$ 为费米 Matsubara 频率。于是 $(i\omega_n-\xi_{\mathbf k})G_0(\mathbf k,i\omega_n)=1,$ 得到

$$G_0(\mathbf k,i\omega_n)=\frac1{i\omega_n-\xi_{\mathbf k}}\label{eq:7}.$$

定义虚时间自旋关联函数 $\chi_0(\mathbf q,\tau)=\frac1N\langle T_\tau S_{\mathbf q}^+(\tau)S_{-\mathbf q}^-(0)\rangle_0.$ 这里假定体系处于无横向自发磁化的顺磁态。代入式 $(\ref{eq:5})$：

$$\begin{aligned}\chi_0(\mathbf q,\tau)=\frac1N\sum_{\mathbf k,\mathbf k'}\big\langle T_\tau &c_{\mathbf k+\mathbf q,\uparrow}^\dagger(\tau)c_{\mathbf k,\downarrow}(\tau)c_{\mathbf k',\downarrow}^\dagger(0)c_{\mathbf k'+\mathbf q,\uparrow}(0)\big\rangle_0.\end{aligned}$$

由于自由电子 Hamiltonian 为二次型，可以使用 Wick 定理。四个算符的非零收缩必须满足自旋和动量守恒。计算后得到两个正常 Green 函数的乘积

$$\chi_0(\mathbf q,\tau)=-\frac1N\sum_{\mathbf k}G_0(\mathbf k,-\tau)G_0(\mathbf k+\mathbf q,\tau).$$

这就是通常所谓的粒子–空穴泡图（particle–hole bubble）。对虚时间 Fourier 变换

$$\chi_0(\mathbf q,i\Omega_m)=\int_0^\beta d\tau\,e^{i\Omega_m\tau}\chi_0(\mathbf q,\tau),$$

其中 $\Omega_m=2m\pi T.$将两个 Green 函数的 Matsubara 展开代入，利用虚时间积分产生的频率守恒关系，得到

$$\chi_0(\mathbf q,i\Omega_m)=-\frac{T}{N}\sum_{\mathbf k,n}G_0(\mathbf k,i\omega_n)G_0(\mathbf k+\mathbf q,i\omega_n+i\Omega_m).$$

至此，我们将自旋响应转化成了单粒子 Green 函数的乘积。代入式 $(\ref{eq:7})$

$$\chi_0=-\frac{T}{N}\sum_{\mathbf k,n}\frac1{(i\omega_n-\xi_{\mathbf k})(i\omega_n+i\Omega_m-\xi_{\mathbf k+\mathbf q})}.$$

令 $a=\xi_{\mathbf k}, b=\xi_{\mathbf k+\mathbf q}.$ 使用部分分式恒等式

$$\frac1{(i\omega_n-a)(i\omega_n+i\Omega_m-b)}=\frac1{i\Omega_m+a-b}\left[\frac1{i\omega_n-a}-\frac1{i\omega_n+i\Omega_m-b}\right].$$

由于 $\Omega_m$ 为玻色 Matsubara 频率，第二项的频率序列通过整数平移仍覆盖全部费米频率。通过带收敛因子的 Matsubara 求和，得到

$$T\sum_n\frac1{(i\omega_n-a)(i\omega_n+i\Omega_m-b)}=\frac{n_F(a)-n_F(b)}{i\Omega_m+a-b}.$$

因此

$$\chi_0(\mathbf q,i\Omega_m)=-\frac1N\sum_{\mathbf k}\frac{n_F(\xi_{\mathbf k})-n_F(\xi_{\mathbf k+\mathbf q})}{i\Omega_m+\xi_{\mathbf k}-\xi_{\mathbf k+\mathbf q}}.$$

整理为

$$\chi_0(\mathbf q,i\Omega_m)=\frac1N\sum_{\mathbf k}\frac{n_F(\xi_{\mathbf k})-n_F(\xi_{\mathbf k+\mathbf q})}{\xi_{\mathbf k+\mathbf q}-\xi_{\mathbf k}-i\Omega_m}.$$

这里 $n_F(E)=\frac1{e^{\beta E}+1}, \beta=\frac1T.$ 对 $i\Omega_m$ 作推迟解析延拓 $i\Omega_m\rightarrow\omega+i0^+,$得到

$$\chi_0^R(\mathbf q,\omega)=\frac1N\sum_{\mathbf k}\frac{n_F(\xi_{\mathbf k})-n_F(\xi_{\mathbf k+\mathbf q})}{\xi_{\mathbf k+\mathbf q}-\xi_{\mathbf k}-\omega-i0^+}.$$

这就是晶格模型中的 Lindhard 自旋磁化率。利用

$$\frac1{x-i0^+}=\mathcal P\frac1x+i\pi\delta(x)$$

其中 $\mathcal P$ 表示 Cauchy 主值，得到实部

$$\chi_0'(\mathbf q,\omega)=\frac1N\mathcal P\sum_{\mathbf k}\frac{n_F(\xi_{\mathbf k})-n_F(\xi_{\mathbf k+\mathbf q})}{\xi_{\mathbf k+\mathbf q}-\xi_{\mathbf k}-\omega}.$$

虚部为

$$\begin{aligned}\chi_0''(\mathbf q,\omega)=\frac{\pi}{N}\sum_{\mathbf k}&[n_F(\xi_{\mathbf k})-n_F(\xi_{\mathbf k+\mathbf q})]\times\delta(\omega+\xi_{\mathbf k}-\xi_{\mathbf k+\mathbf q}).\end{aligned}$$

该表达式的物理意义十分明确：$\delta$ 函数要求电子跃迁满足能量守恒， $\omega=\xi_{\mathbf k+\mathbf q}-\xi_{\mathbf k}.$ Fermi 分布差则决定跃迁的净占据权重。所以 $\chi_0’’(\mathbf q,\omega)$ 反映了在给定能量和动量转移下，体系能够产生多少自旋翻转粒子–空穴激发。

静态极限与费米面嵌套

取 $\omega=0$：

$$\chi_0(\mathbf q,0)=\frac1N\sum_{\mathbf k}\frac{n_F(\xi_{\mathbf k})-n_F(\xi_{\mathbf k+\mathbf q})}{\xi_{\mathbf k+\mathbf q}-\xi_{\mathbf k}}.\label{eq:14}$$

当 $\xi_{\mathbf k+\mathbf q}\rightarrow\xi_{\mathbf k}$ 时，使用导数极限

$$\lim_{\xi'\to\xi}\frac{n_F(\xi)-n_F(\xi')}{\xi'-\xi}=-n_F'(\xi).$$

而

$$-n_F'(\xi)=\frac{\beta}{4\cosh^2(\beta\xi/2)}.$$

这个函数集中在费米能附近，所以静态磁化率主要由费米能附近的电子决定。现在考虑最近邻正方晶格的特殊情况： $t’=0,\mu=0.$ 色散为 $\xi_{\mathbf k}=-2t(\cos k_x+\cos k_y).$ 取反铁磁波矢 $\mathbf Q=(\pi,\pi).$ 由于 $\cos(k_x+\pi)=-\cos k_x,\cos(k_y+\pi)=-\cos k_y,$ 可得 $\xi_{\mathbf k+\mathbf Q}=-\xi_{\mathbf k}.$ 将其代入式 $(\ref{eq:14})$

$$\chi_0(\mathbf Q,0)=\frac1N\sum_{\mathbf k}\frac{n_F(\xi_{\mathbf k})-n_F(-\xi_{\mathbf k})}{-2\xi_{\mathbf k}}.$$

利用 $n_F(-E)=1-n_F(E),$ 得到 $n_F(E)-n_F(-E)=2n_F(E)-1=-\tanh\left(\frac{E}{2T}\right).$ 因此

$$\chi_0(\mathbf Q,0)=\frac1N\sum_{\mathbf k}\frac{\tanh(\xi_{\mathbf k}/2T)}{2\xi_{\mathbf k}}.$$

这个结果显示，费米面附近的电子态可以共同增强 $\mathbf Q=(\pi,\pi)$ 处的自旋响应。在二维正方晶格半填充的特殊情况下，精确嵌套和 van Hove 奇点还会共同产生较强的低温增强。当引入 $t’\neq0$ 或改变 $\mu$ 后，这种理想的精确嵌套通常被破坏，但在一定参数范围内，反铁磁动量附近仍可能具有较大的静态自旋磁化率。

Hubbard 相互作用与 RPA 自旋磁化率

前面得到的 $\chi_0$ 只包含自由电子的粒子–空穴激发。现在加入 Hubbard 相互作用，研究自旋涨落为什么会被增强。考虑在顺磁态中施加弱的、具有动量 $\mathbf q$ 和频率 $\omega$ 的横向磁场。无相互作用时，诱导自旋极化满足 $\delta S^+(\mathbf q,\omega)=\chi_0(\mathbf q,\omega)h^+(\mathbf q,\omega).$ 但存在 Hubbard 相互作用时，电子感受到的不只是外磁场，还包括由其他电子的自旋极化产生的有效交换场。在横向自旋通道的 Hartree–Fock 线性响应近似中，有效场可写成 $h_{\mathrm{eff}}^+=h^++U\,\delta S^+.$ 这可以从 Hubbard 相互作用的横向 Fock 分解理解。

在局域自旋非对角平均值附近，

$$\begin{aligned}Un_{i\uparrow}n_{i\downarrow}\longrightarrow{}&-U\langle c_{i\uparrow}^\dagger c_{i\downarrow}\rangle c_{i\downarrow}^\dagger c_{i\uparrow}-U\langle c_{i\downarrow}^\dagger c_{i\uparrow}\rangle c_{i\uparrow}^\dagger c_{i\downarrow}+\cdots.\end{aligned}$$

因此诱导的横向自旋平均值会产生一个进一步促进同方向响应的有效场。

把有效场代入线性响应

$$\delta S^+=\chi_0(h^++U\delta S^+).$$

展开

$$\delta S^+=\chi_0h^++U\chi_0\delta S^+.$$

把含有 $\delta S^+$ 的项移到左边

$$(1-U\chi_0)\delta S^+=\chi_0h^+.$$

因此

$$\delta S^+=\frac{\chi_0}{1-U\chi_0}h^+.$$

由磁化率定义得

$$\chi_s(\mathbf q,\omega)=\frac{\chi_0(\mathbf q,\omega)}{1-U\chi_0(\mathbf q,\omega)}.\label{eq:17}$$

这就是 Hubbard 模型的横向自旋 RPA 磁化率。同一个结果也可以通过粒子–空穴梯形图求和得到。裸粒子–空穴泡为 $\chi_0$。加入一次 Hubbard 散射，得到 $\chi_0U\chi_0.$ 加入两次散射，得到 $\chi_0U\chi_0U\chi_0.$ 继续求和

$$\chi_s=\chi_0+\chi_0U\chi_0+\chi_0U\chi_0U\chi_0+\cdots.$$

提取 $\chi_0$

$$\chi_s=\chi_0\left[1+U\chi_0+(U\chi_0)^2+\cdots\right].$$

利用几何级数

$$1+x+x^2+\cdots=\frac1{1-x},$$

得到

$$\chi_s=\frac{\chi_0}{1-U\chi_0}.$$

RPA 的物理含义是：电子激发产生自旋极化，自旋极化通过电子相互作用反馈到其他电子，再产生新的自旋极化。这种重复反馈增强了自旋响应。

磁性不稳定性条件

考察静态响应

$$\chi_s(\mathbf q,0)=\frac{\chi_0(\mathbf q,0)}{1-U\chi_0(\mathbf q,0)}.$$

当分母接近零

$$1-U\chi_0(\mathbf Q,0)\rightarrow0^+,$$

响应显著增强。因此 RPA 磁性不稳定性条件为 $1-U\chi_0(\mathbf Q,0)=0.$ 如果 $\mathbf Q=0$，通常对应铁磁通道。如果 $\mathbf Q=(\pi,\pi)$，则在正方晶格上对应 Néel 型反铁磁通道。

对于 $0<1-U\chi_0(\mathbf Q,0)\ll1,$ 体系尚未在这一近似中进入磁有序相，但具有很强的反铁磁自旋涨落。需要说明：严格二维、短程相互作用且具有连续 SU(2) 自旋对称性的模型，在有限温度下不能发生真正的反铁磁长程序。因此有限温度 RPA 的发散条件应理解为近似理论中的磁性不稳定性，而非严格的二维有限温度相变。

动态自旋谱

将裸磁化率写成

$$\chi_0=\chi_0'+i\chi_0'',$$

代入式 $(\ref{eq:17})$

$$\chi_s=\frac{\chi_0'+i\chi_0''}{1-U\chi_0'-iU\chi_0''}.$$

分子和分母同乘分母的复共轭

$$\chi_s=\frac{(\chi_0'+i\chi_0'')(1-U\chi_0'+iU\chi_0'')}{(1-U\chi_0')^2+(U\chi_0'')^2}.$$

展开分子的虚部：

$$\begin{aligned}\operatorname{Im}\{\text{分子}\}&=U\chi_0'\chi_0''+\chi_0''(1-U\chi_0')=\chi_0''.\end{aligned}$$

因此

$$\chi_s''(\mathbf q,\omega)=\frac{\chi_0''(\mathbf q,\omega)}{[1-U\chi_0'(\mathbf q,\omega)]^2+[U\chi_0''(\mathbf q,\omega)]^2}.$$

到这里，我们就从同一个 Hubbard 模型完整得到了正常态自旋激发及其相互作用增强。但这些自旋涨落为什么能够诱导非常规超导？下面转到 Cooper 配对通道。

自旋涨落产生的有效配对相互作用

对于 Cooper 配对，关注的是两个动量相反电子之间的散射

$$(\mathbf k,\uparrow),(-\mathbf k,\downarrow)\longrightarrow(\mathbf k',\uparrow),(-\mathbf k',\downarrow).$$

而自旋涨落对应粒子–空穴通道的集体响应。为什么两者能够联系起来？原因是：电子间的相互作用可以通过交换由其他电子产生的自旋密度涨落而获得有效的动量依赖。在最低非平凡阶数中，两个电子分别以相互作用强度 $U$ 与同一个粒子–空穴涨落耦合。因此二阶配对顶角具有结构 $V_{\mathrm{fluc}}\sim U^2\chi_0.$ 如果进一步将中间的自旋涨落传播用 RPA 修正，就得到 $V_{\mathrm{spin}}\sim U^2\chi_s.$ 注意此处所谓的二阶，是指最初的两个电子–涨落耦合顶点均来自 Hubbard 相互作用；如果 $\chi_s$ 使用 RPA 形式，它已经包含了更多高阶效应。

除了自旋涨落外，Hubbard 相互作用也会产生电荷密度涨落。定义电荷密度算符

$$\rho_{\mathbf q}=\sum_{\mathbf k,\sigma}c_{\mathbf k+\mathbf q,\sigma}^\dagger c_{\mathbf k,\sigma}.$$

它与自旋密度算符的区别是自旋指标的组合。在顺磁态中，局域 Hubbard 顶角经过粒子–空穴通道分解，可以分别得到电荷和自旋响应。在与式 $(\ref{eq:17})$ 相容的归一化下

$$\chi_c(\mathbf q,\omega)=\frac{\chi_0(\mathbf q,\omega)}{1+U\chi_0(\mathbf q,\omega)}.$$

与自旋通道比较

$$\chi_s=\frac{\chi_0}{1-U\chi_0},\qquad \chi_c=\frac{\chi_0}{1+U\chi_0}.$$

因此，排斥性的 $U$ 更容易增强自旋通道响应，而不是均匀增强电荷响应。这也是接近反铁磁不稳定性时，自旋涨落经常主导有效配对相互作用的原因。

自旋单态与三重态的投影

为了分析有效相互作用对不同 Cooper 配对的影响，需要把电子自旋组合投影到总自旋通道。两个自旋 $1/2$ 电子满足 $\mathbf S_{\mathrm{tot}}=\mathbf S_1+\mathbf S_2.$ 平方

$$\mathbf S_{\mathrm{tot}}^2=\mathbf S_1^2+\mathbf S_2^2+2\mathbf S_1\cdot\mathbf S_2.$$

由于 $\mathbf S_1^2=\mathbf S_2^2=\frac34,$ 因此

$$\mathbf S_1\cdot\mathbf S_2=\frac12\left[S_{\mathrm{tot}}(S_{\mathrm{tot}}+1)-\frac32\right].$$

对于自旋单态 $S_{\mathrm{tot}}=0,$ 得到

$$\langle\mathbf S_1\cdot\mathbf S_2\rangle_s=-\frac34.\qquad \boldsymbol{\sigma}=2\mathbf S\qquad \langle\boldsymbol{\sigma}_1\cdot\boldsymbol{\sigma}_2\rangle_s=-3$$

对于自旋三重态 $S_{\mathrm{tot}}=1,$ 得到

$$\langle\mathbf S_1\cdot\mathbf S_2\rangle_t=\frac14,$$

从而

$$\langle\boldsymbol{\sigma}_1\cdot\boldsymbol{\sigma}_2\rangle_t=1.$$

这说明一个自旋相关的电子有效相互作用，在投影到单态和三重态时会产生不同的数值系数。在 Hubbard-RPA 的涨落交换近似中，自旋部分的有效相互作用可组织为

$$\Gamma_{\mathrm{sp}}(\mathbf q)=-\frac{U^2}{2}\chi_s(\mathbf q)\boldsymbol{\sigma}_1\cdot\boldsymbol{\sigma}_2.$$

这里省略频率变量，先研究静态配对顶角。将它投影到单态通道：

$$\begin{aligned}\Gamma_{\mathrm{sp}}^{(s)}&=-\frac{U^2}{2}\chi_s\langle\boldsymbol{\sigma}_1\cdot\boldsymbol{\sigma}_2\rangle_s=-\frac{U^2}{2}\chi_s(-3).\end{aligned}$$

所以

$$\Gamma_{\mathrm{sp}}^{(s)}=\frac32U^2\chi_s.$$

同理，三重态投影得到

$$\Gamma_{\mathrm{sp}}^{(t)}=-\frac12U^2\chi_s.$$

这就解释了单态与三重态有效相互作用中常见的 $3/2$ 和 $-1/2$ 系数。不过，要特别说明：这些自旋代数只能给出涨落交换顶角的自旋投影系数。要得到完整的配对顶角，还必须按所采用的 RPA 图形近似处理直接项、交换项、电荷通道以及交叉对称性。

单态与三重态配对顶角

采用单轨道 Hubbard 模型常用的静态 RPA 配对顶角：

$$\begin{aligned}V_s(\mathbf k,\mathbf k')={}&U+\frac32U^2\chi_s(\mathbf k-\mathbf k',0)-\frac12U^2\chi_c(\mathbf k-\mathbf k',0).\end{aligned}$$

自旋三重态通道对应

$$\begin{aligned}V_t(\mathbf k,\mathbf k')={}&-\frac12U^2\chi_s(\mathbf k-\mathbf k',0)-\frac12U^2\chi_c(\mathbf k-\mathbf k',0).\end{aligned}$$

这里 $V_s$、$V_t$ 是在相应自旋配对通道中使用的约化配对核。严格处理完整的 Cooper 顶角时，还需考虑由费米交换反对称性带来的 $\mathbf k+\mathbf k’$ 通道，并将核投影到偶宇称或奇宇称配对函数空间中。对反演对称体系，常用的做法是进行相应的偶/奇宇称化，这与使用包含直接、交换过程的完整反对称化顶角等价。

当反铁磁自旋涨落很强时

$$\chi_s(\mathbf Q,0)\gg\chi_c(\mathbf Q,0).$$

因此单态配对的主要涨落贡献为

$$V_s(\mathbf k,\mathbf k')\approx\frac32U^2\chi_s(\mathbf k-\mathbf k',0).$$

如果 $\chi_s$ 主要集中于 $\mathbf Q=(\pi,\pi)$，那么这个有效相互作用也主要连接满足 $\mathbf k’-\mathbf k\approx\mathbf Q$ 的两个费米面区域。虽然 $V_s(\mathbf Q)>0$ 是排斥性的，但这并不意味着超导无法形成。关键在于配对函数可以改变符号。为了严格理解这一点，下面从平均场理论推导能隙方程。

由有效配对相互作用推导超导能隙方程

我们先研究自旋单态配对。在单轨道、反演对称、偶频配对的情况下，自旋单态要求轨道配对函数满足 $\Delta(-\mathbf k)=\Delta(\mathbf k).$ 把有效相互作用投影到零总动量 Cooper 通道后，可写成约化 Hamiltonian：

$$H_{\mathrm{pair}}=\frac1N\sum_{\mathbf k,\mathbf k'}V_s(\mathbf k,\mathbf k')c_{\mathbf k\uparrow}^\dagger c_{-\mathbf k\downarrow}^\dagger c_{-\mathbf k'\downarrow}c_{\mathbf k'\uparrow}.\label{eq:28}$$

这里默认 $V_s$ 已包含相应的单态自旋投影与动量交换对称化。定义 Cooper 对的反常平均值

$$F_{\mathbf k}=\langle c_{-\mathbf k\downarrow}c_{\mathbf k\uparrow}\rangle.$$

在不具有超导长程序的正常态中， $F_{\mathbf k}=0.$进入超导态后，平均场理论允许 $F_{\mathbf k}\neq0.$ 它描述宏观相干的 Cooper 配对振幅。

对任意两个算符 $A,B$，定义涨落部分

$$A=\langle A\rangle+\delta A,\qquad B=\langle B\rangle+\delta B.$$

于是

$$\begin{aligned}AB&=(\langle A\rangle+\delta A)(\langle B\rangle+\delta B)\\&=\langle A\rangle\langle B\rangle+\langle A\rangle\delta B+\delta A\langle B\rangle+\delta A\delta B.\end{aligned}$$

平均场近似中忽略二阶涨落项 $\delta A\delta B.$ 因此

$$AB\approx A\langle B\rangle+\langle A\rangle B-\langle A\rangle\langle B\rangle.\label{eq:30}$$

现在选取

$$A=c_{\mathbf k\uparrow}^\dagger c_{-\mathbf k\downarrow}^\dagger,\qquad B=c_{-\mathbf k'\downarrow}c_{\mathbf k'\uparrow}.$$

因为 $\langle A\rangle=F_{\mathbf k}^*,\langle B\rangle=F_{\mathbf k’},$ 得到

$$\begin{aligned}AB\approx{}&F_{\mathbf k'}c_{\mathbf k\uparrow}^\dagger c_{-\mathbf k\downarrow}^\dagger+F_{\mathbf k}^*c_{-\mathbf k'\downarrow}c_{\mathbf k'\uparrow}-F_{\mathbf k}^*F_{\mathbf k'}.\end{aligned}$$

将其代回式 $(\ref{eq:28})$：

$$\begin{aligned}H_{\mathrm{pair}}^{\mathrm{MF}}={}&\frac1N\sum_{\mathbf k,\mathbf k'}V_s(\mathbf k,\mathbf k')F_{\mathbf k'}c_{\mathbf k\uparrow}^\dagger c_{-\mathbf k\downarrow}^\dagger+\frac1N\sum_{\mathbf k,\mathbf k'}V_s(\mathbf k,\mathbf k')F_{\mathbf k}^*c_{-\mathbf k'\downarrow}c_{\mathbf k'\uparrow}-\frac1N\sum_{\mathbf k,\mathbf k'}V_s(\mathbf k,\mathbf k')F_{\mathbf k}^*F_{\mathbf k'}.\end{aligned}$$

现在定义超导配对幅度

$$\Delta_{\mathbf k}=-\frac1N\sum_{\mathbf k'}V_s(\mathbf k,\mathbf k')F_{\mathbf k'}.\label{eq:31}$$

因此，假定 $V_s(\mathbf k,\mathbf k’)$ 满足适当的 Hermitian 对称性，平均场配对 Hamiltonian 可以写为

$$H_{\mathrm{pair}}^{\mathrm{MF}}=-\sum_{\mathbf k}\left(\Delta_{\mathbf k}c_{\mathbf k\uparrow}^\dagger c_{-\mathbf k\downarrow}^\dagger+\Delta_{\mathbf k}^*c_{-\mathbf k\downarrow}c_{\mathbf k\uparrow}\right)+E_{\mathrm{const}}.$$

这里特意保留了负号，确保它与式 $(\ref{eq:31})$ 完全一致。完整的平均场 Hamiltonian 为

$$\begin{aligned}H_{\mathrm{MF}}={}&\sum_{\mathbf k,\sigma}\xi_{\mathbf k}c_{\mathbf k\sigma}^\dagger c_{\mathbf k\sigma}\\&-\sum_{\mathbf k}\left(\Delta_{\mathbf k}c_{\mathbf k\uparrow}^\dagger c_{-\mathbf k\downarrow}^\dagger+\mathrm{H.c.}\right)+E_{\mathrm{const}}.\end{aligned}$$

从现在起，始终采用这套符号约定。

BdG Hamiltonian

定义 Nambu 基矢

$$\Psi_{\mathbf k}=\begin{pmatrix}c_{\mathbf k\uparrow}\\c_{-\mathbf k\downarrow}^\dagger\end{pmatrix}.$$

由 $c_{-\mathbf k\downarrow}c_{-\mathbf k\downarrow}^\dagger=1-c_{-\mathbf k\downarrow}^\dagger c_{-\mathbf k\downarrow},$可以将 Hamiltonian 写为 $H_{\mathrm{MF}}=\sum_{\mathbf k}\Psi_{\mathbf k}^\dagger\mathcal H_{\mathrm{BdG}}(\mathbf k)\Psi_{\mathbf k}+E_0,$其中

$$\mathcal H_{\mathrm{BdG}}(\mathbf k)=\begin{pmatrix}\xi_{\mathbf k}&-\Delta_{\mathbf k}\\-\Delta_{\mathbf k}^*&-\xi_{\mathbf k}\end{pmatrix}.\label{eq:33}$$

这里没有另加 $1/2$，因为使用的是已经利用自旋单态结构约化的两分量 Nambu 表示；如果使用完整四分量 Nambu 基矢，则通常需要 $1/2$ 以避免双重计数。求解 $\det[E-\mathcal H_{\mathrm{BdG}}(\mathbf k)]=0.$ 即

$$\det\begin{pmatrix}E-\xi_{\mathbf k}&\Delta_{\mathbf k}\\\Delta_{\mathbf k}^*&E+\xi_{\mathbf k}\end{pmatrix}=0.$$

展开： $(E-\xi_{\mathbf k})(E+\xi_{\mathbf k})-|\Delta_{\mathbf k}|^2=0.$ 因此 $E^2-\xi_{\mathbf k}^2-|\Delta_{\mathbf k}|^2=0$，得到

$$E_{\mathbf k,\pm}=\pm E_{\mathbf k},\qquad E_{\mathbf k}=\sqrt{\xi_{\mathbf k}^2+|\Delta_{\mathbf k}|^2}.\label{eq:34}$$

这里 $E_{\mathbf k}\ge0$。能谱的最小激发能量由正常态色散 $\xi_{\mathbf k}$ 和超导能隙 $\Delta_{\mathbf k}$ 共同决定。

设 $\Delta_{\mathbf k}$ 为实数，考虑正能本征态

$$\mathcal H_{\mathrm{BdG}}\begin{pmatrix}u_{\mathbf k}\\v_{\mathbf k}\end{pmatrix}=E_{\mathbf k}\begin{pmatrix}u_{\mathbf k}\\v_{\mathbf k}\end{pmatrix}.$$

第一行给出

$$\xi_{\mathbf k}u_{\mathbf k}-\Delta_{\mathbf k}v_{\mathbf k}=E_{\mathbf k}u_{\mathbf k}.$$

整理

$$-\Delta_{\mathbf k}v_{\mathbf k}=(E_{\mathbf k}-\xi_{\mathbf k})u_{\mathbf k}.$$

利用归一化 $u_{\mathbf k}^2+v_{\mathbf k}^2=1,$ 得到

$$u_{\mathbf k}^2=\frac12\left(1+\frac{\xi_{\mathbf k}}{E_{\mathbf k}}\right),\qquad v_{\mathbf k}^2=\frac12\left(1-\frac{\xi_{\mathbf k}}{E_{\mathbf k}}\right).$$

结合第一行本征方程，可选取相位使

$$u_{\mathbf k}v_{\mathbf k}=-\frac{\Delta_{\mathbf k}}{2E_{\mathbf k}}.\label{eq:37}$$

这里的负号来自式 $(\ref{eq:33})$ 的 BdG 非对角元取为 $-\Delta_{\mathbf k}$。采用相应的 Bogoliubov 变换

$$c_{\mathbf k\uparrow}=u_{\mathbf k}\gamma_{\mathbf k\uparrow}+v_{\mathbf k}\gamma_{-\mathbf k\downarrow}^\dagger,\quad c_{-\mathbf k\downarrow}=u_{\mathbf k}\gamma_{-\mathbf k\downarrow}-v_{\mathbf k}\gamma_{\mathbf k\uparrow}^\dagger.$$

准粒子热平均满足

$$\langle\gamma_{\mathbf k\sigma}^\dagger\gamma_{\mathbf k\sigma}\rangle=n_F(E_{\mathbf k}),\quad \langle\gamma_{\mathbf k\sigma}\gamma_{\mathbf k\sigma}^\dagger\rangle=1-n_F(E_{\mathbf k}).$$

由此计算反常平均值。

反常平均值与能隙自洽方程

我们需要 $F_{\mathbf k}=\langle c_{-\mathbf k\downarrow}c_{\mathbf k\uparrow}\rangle.$ 代入 Bogoliubov 变换：

$$\begin{aligned}F_{\mathbf k}={}&u_{\mathbf k}^2\langle\gamma_{-\mathbf k\downarrow}\gamma_{\mathbf k\uparrow}\rangle+u_{\mathbf k}v_{\mathbf k}\langle\gamma_{-\mathbf k\downarrow}\gamma_{-\mathbf k\downarrow}^\dagger\rangle-u_{\mathbf k}v_{\mathbf k}\langle\gamma_{\mathbf k\uparrow}^\dagger\gamma_{\mathbf k\uparrow}\rangle-v_{\mathbf k}^2\langle\gamma_{\mathbf k\uparrow}^\dagger\gamma_{-\mathbf k\downarrow}^\dagger\rangle.\end{aligned}$$

在已经对角化的准粒子热平衡态中

$$\langle\gamma\gamma\rangle=\langle\gamma^\dagger\gamma^\dagger\rangle=0.$$

所以只剩下中间两项

$$F_{\mathbf k}=u_{\mathbf k}v_{\mathbf k}[1-n_F(E_{\mathbf k})-n_F(E_{\mathbf k})].$$

即

$$F_{\mathbf k}=u_{\mathbf k}v_{\mathbf k}[1-2n_F(E_{\mathbf k})].$$

由

$$1-2n_F(E)=\tanh\left(\frac{E}{2T}\right),$$

及式 $(\ref{eq:37})$：

$$F_{\mathbf k}=-\frac{\Delta_{\mathbf k}}{2E_{\mathbf k}}\tanh\left(\frac{E_{\mathbf k}}{2T}\right).\label{eq:38}$$

现在代入式 $(\ref{eq:31})$

$$\Delta_{\mathbf k}=-\frac1N\sum_{\mathbf k'}V_s(\mathbf k,\mathbf k')F_{\mathbf k'}.$$

如果直接使用式 $(\ref{eq:38})$，右侧会出现正号；这暴露出前面平均场符号与本征矢相位的一处潜在混淆。因此采用从原始平均场分解严格得到的约定时，正确的自洽关系应固定为

$$\Delta_{\mathbf k}=-\frac1N\sum_{\mathbf k'}V_s(\mathbf k,\mathbf k')\frac{\Delta_{\mathbf k'}}{2E_{\mathbf k'}}\tanh\left(\frac{E_{\mathbf k'}}{2T}\right).$$

为避免这个符号问题在后面反复出现，可以做一个明确的等价重定义：将 BdG 非对角元选为 $+\Delta_{\mathbf k}$，并定义 $F_{\mathbf k}$ 为与之相容的异常平均值。这样正的配对项、配对函数与自洽方程在同一个约定下保持一致。在下文中只使用最终的物理自洽方程：

$$\Delta_{\mathbf k}=-\frac1N\sum_{\mathbf k'}V_s(\mathbf k,\mathbf k')\frac{\Delta_{\mathbf k'}}{2E_{\mathbf k'}}\tanh\left(\frac{E_{\mathbf k'}}{2T}\right).\label{eq:39}$$

这个方程不依赖超导序参量的整体 $U(1)$ 相位选择；只要所有中间定义保持统一，结果相同。

线性化超导能隙方程

在超导转变温度附近 $T\rightarrow T_c^-,$ 有 $\Delta_{\mathbf k}\rightarrow0.$ 因此 $E_{\mathbf k}\rightarrow|\xi_{\mathbf k}|$，于是式 $(\ref{eq:39})$ 化为

$$\Delta_{\mathbf k}=-\frac1N\sum_{\mathbf k'}V_s(\mathbf k,\mathbf k')\frac{\Delta_{\mathbf k'}}{2|\xi_{\mathbf k'}|}\tanh\left(\frac{|\xi_{\mathbf k'}|}{2T}\right).$$

因为

$$\frac{\tanh(|\xi|/2T)}{|\xi|}=\frac{\tanh(\xi/2T)}{\xi},$$

可得

$$\Delta_{\mathbf k}=-\frac1N\sum_{\mathbf k'}V_s(\mathbf k,\mathbf k')\frac{\tanh(\xi_{\mathbf k'}/2T)}{2\xi_{\mathbf k'}}\Delta_{\mathbf k'}.$$

现在把它视为本征值问题。定义线性化配对算符

$$\mathcal K(\mathbf k,\mathbf k')=-\frac1N V_s(\mathbf k,\mathbf k')\frac{\tanh(\xi_{\mathbf k'}/2T)}{2\xi_{\mathbf k'}}.$$

则

$$\Delta_{\mathbf k}=\sum_{\mathbf k'}\mathcal K(\mathbf k,\mathbf k')\Delta_{\mathbf k'}.$$

为了比较不同配对通道，将其推广为

$$\lambda_\alpha(T)\Delta_\alpha(\mathbf k)=-\frac1N\sum_{\mathbf k'}V_s(\mathbf k,\mathbf k')\frac{\tanh(\xi_{\mathbf k'}/2T)}{2\xi_{\mathbf k'}}\Delta_\alpha(\mathbf k').\label{eq:41}$$

最大本征值达到 $\lambda_{\max}(T_c)=1$ 时，线性化方程具有非零的自洽解，对应超导不稳定性。不同本征态的动量结构决定超导配对的空间对称性。

为什么排斥作用支持 $d$ 波超导？

前面已得到

$$V_s(\mathbf k,\mathbf k')\approx\frac32U^2\chi_s(\mathbf k-\mathbf k',0).$$

当反铁磁涨落主导时， $\chi_s(\mathbf q,0)$ 在 $\mathbf q\approx\mathbf Q=(\pi,\pi)$附近较大。因此配对核主要连接 $\mathbf k’\approx\mathbf k+\mathbf Q.$ 式 $(\ref{eq:41})$ 可以近似为

$$\lambda\Delta(\mathbf k)\sim-V_s(\mathbf Q)W(\mathbf k+\mathbf Q)\Delta(\mathbf k+\mathbf Q),$$

其中 $W(\mathbf k)=\frac{\tanh(\xi_{\mathbf k}/2T)}{2\xi_{\mathbf k}}>0.$ 注意 $V_s(\mathbf Q)>0.$ 如果 $\Delta(\mathbf k+\mathbf Q)=\Delta(\mathbf k),$则右侧的负号不利于形成正的配对本征值。而如果 $\Delta(\mathbf k+\mathbf Q)=-\Delta(\mathbf k),$ 那么 $\lambda\Delta(\mathbf k)\sim V_s(\mathbf Q)W(\mathbf k+\mathbf Q)\Delta(\mathbf k)$，就能够得到正的配对本征值。

考虑正方晶格的 $d_{x^2-y^2}$ 波形式

$$\Delta_d(\mathbf k)=\frac{\Delta_0}{2}(\cos k_x-\cos k_y).$$

因为 $\cos(k_x+\pi)=-\cos k_x,$所以

$$\begin{aligned}\Delta_d(\mathbf k+\mathbf Q)&=\frac{\Delta_0}{2}[\cos(k_x+\pi)-\cos(k_y+\pi)]\\&=-\frac{\Delta_0}{2}(\cos k_x-\cos k_y).\end{aligned}$$

即

$$\Delta_d(\mathbf k+\mathbf Q)=-\Delta_d(\mathbf k).\label{eq:43}$$

因此 $d_{x^2-y^2}$ 波天然符合反铁磁涨落偏好的符号反转条件。但这里需要准确理解这个结论：它解释的是为什么 $d$ 波是有利的候选通道，并不意味着任何具有 $(\pi,\pi)$ 自旋涨落的体系都必然以 $d$ 波为主导。真正的主导配对需要对式 $(\ref{eq:41})$ 进行完整本征值计算。

接下来研究这个超导配对函数如何反过来改变体系的自旋激发。上面采用两种等价的配对幅度定义时，曾将异常平均值的相位约定混在一起。为了保证后面整套推导完全一致，我们现在从原始平均场分解重新固定定义，不再进行中途重定义。

令 $F_{\mathbf k}=\langle c_{-\mathbf k\downarrow}c_{\mathbf k\uparrow}\rangle,$ 并直接定义

$$\Delta_{\mathbf k}=\frac1N\sum_{\mathbf k'}V_s(\mathbf k,\mathbf k')F_{\mathbf k'}.\label{eq:44}$$

这是从式 $(\ref{eq:28})$ 和式 $(\ref{eq:30})$ 的平均场分解得到的配对项系数。相应平均场 Hamiltonian 是

$$H_{\mathrm{MF}}=\sum_{\mathbf k,\sigma}\xi_{\mathbf k}c_{\mathbf k\sigma}^\dagger c_{\mathbf k\sigma}+\sum_{\mathbf k}\left(\Delta_{\mathbf k}c_{\mathbf k\uparrow}^\dagger c_{-\mathbf k\downarrow}^\dagger+\mathrm{H.c.}\right)+E_0.$$

所以 BdG 矩阵是

$$\mathcal H_{\mathrm{BdG}}(\mathbf k)=\begin{pmatrix}\xi_{\mathbf k}&\Delta_{\mathbf k}\\\Delta_{\mathbf k}^*&-\xi_{\mathbf k}\end{pmatrix}.\label{eq:45}$$

采用与式 $(\ref{eq:45})$ 相容的 Bogoliubov 变换，反常平均值为

$$F_{\mathbf k}=-\frac{\Delta_{\mathbf k}}{2E_{\mathbf k}}\tanh\left(\frac{E_{\mathbf k}}{2T}\right).\label{eq:46}$$

代入式 $(\ref{eq:44})$：

$$\begin{aligned}\Delta_{\mathbf k}&=\frac1N\sum_{\mathbf k'}V_s(\mathbf k,\mathbf k')F_{\mathbf k'}\\&=-\frac1N\sum_{\mathbf k'}V_s(\mathbf k,\mathbf k')\frac{\Delta_{\mathbf k'}}{2E_{\mathbf k'}}\tanh\left(\frac{E_{\mathbf k'}}{2T}\right).\end{aligned}$$

因此严格得到式 $(\ref{eq:39})$ 的标准能隙方程。

超导态 Green 函数与自旋相干因子

采用已统一的 BdG 矩阵：

$$\mathcal H_{\mathrm{BdG}}(\mathbf k)=\begin{pmatrix}\xi_{\mathbf k}&\Delta_{\mathbf k}\\\Delta_{\mathbf k}^*&-\xi_{\mathbf k}\end{pmatrix}.$$

定义 Nambu Green 函数

$$\mathcal G(\mathbf k,i\omega_n)=[i\omega_n I-\mathcal H_{\mathrm{BdG}}(\mathbf k)]^{-1}.$$

先计算被求逆的矩阵：

$$i\omega_n I-\mathcal H_{\mathrm{BdG}}=\begin{pmatrix}i\omega_n-\xi_{\mathbf k}&-\Delta_{\mathbf k}\\-\Delta_{\mathbf k}^*&i\omega_n+\xi_{\mathbf k}\end{pmatrix}.$$

其行列式为

$$\begin{aligned}D_{\mathbf k}&=(i\omega_n-\xi_{\mathbf k})(i\omega_n+\xi_{\mathbf k})-|\Delta_{\mathbf k}|^2=(i\omega_n)^2-\xi_{\mathbf k}^2-|\Delta_{\mathbf k}|^2=(i\omega_n)^2-E_{\mathbf k}^2.\end{aligned}$$

因此

$$\mathcal G(\mathbf k,i\omega_n)=\frac1{(i\omega_n)^2-E_{\mathbf k}^2}\begin{pmatrix}i\omega_n+\xi_{\mathbf k}&\Delta_{\mathbf k}\\\Delta_{\mathbf k}^*&i\omega_n-\xi_{\mathbf k}\end{pmatrix}.$$

对角元是正常 Green 函数

$$G(\mathbf k,i\omega_n)=\frac{i\omega_n+\xi_{\mathbf k}}{(i\omega_n)^2-E_{\mathbf k}^2}.$$

非对角元是反常 Green 函数

$$\mathcal F(\mathbf k,i\omega_n)=\frac{\Delta_{\mathbf k}}{(i\omega_n)^2-E_{\mathbf k}^2}.$$

注意 $\mathcal F$ 表示 Nambu Green 函数的非对角元，不应直接与之前的等时异常平均值 $F_{\mathbf k}$ 混为同一个符号。

由于 $(i\omega_n)^2-E_{\mathbf k}^2=(i\omega_n-E_{\mathbf k})(i\omega_n+E_{\mathbf k}),$ 可将正常 Green 函数写成

$$G=\frac{A}{i\omega_n-E_{\mathbf k}}+\frac{B}{i\omega_n+E_{\mathbf k}}.$$

通分比较分子

$$i\omega_n+\xi_{\mathbf k}=A(i\omega_n+E_{\mathbf k})+B(i\omega_n-E_{\mathbf k}).$$

因此 $A+B=1, E_{\mathbf k}(A-B)=\xi_{\mathbf k}$，解得

$$A=\frac12\left(1+\frac{\xi_{\mathbf k}}{E_{\mathbf k}}\right),\qquad B=\frac12\left(1-\frac{\xi_{\mathbf k}}{E_{\mathbf k}}\right).$$

所以

$$G(\mathbf k,i\omega_n)=\frac{u_{\mathbf k}^2}{i\omega_n-E_{\mathbf k}}+\frac{v_{\mathbf k}^2}{i\omega_n+E_{\mathbf k}},\label{eq:50}$$

其中

$$u_{\mathbf k}^2=\frac12(1+\xi_{\mathbf k}/E_{\mathbf k}),\qquad v_{\mathbf k}^2=\frac12(1-\xi_{\mathbf k}/E_{\mathbf k}).$$

对于反常 Green 函数：

$$\frac{\Delta_{\mathbf k}}{(i\omega_n-E_{\mathbf k})(i\omega_n+E_{\mathbf k})}=\frac{\Delta_{\mathbf k}}{2E_{\mathbf k}}\left[\frac1{i\omega_n-E_{\mathbf k}}-\frac1{i\omega_n+E_{\mathbf k}}\right].$$

因此

$$\mathcal F(\mathbf k,i\omega_n)=\frac{\Delta_{\mathbf k}}{2E_{\mathbf k}}\left[\frac1{i\omega_n-E_{\mathbf k}}-\frac1{i\omega_n+E_{\mathbf k}}\right].\label{eq:51}$$

这些极点反映出超导态的电子传播包含正能与负能 Bogoliubov 分支。

超导态自旋关联函数

仍然考虑横向自旋响应

$$\chi_0^{\mathrm{SC}}(\mathbf q,\tau)=\frac1N\langle T_\tau S_{\mathbf q}^+(\tau)S_{-\mathbf q}^-(0)\rangle_{\mathrm{SC}}.$$

将自旋算符展开：

$$\begin{aligned}\chi_0^{\mathrm{SC}}=\frac1N\sum_{\mathbf k,\mathbf k'}\big\langle T_\tau &c_{\mathbf k+\mathbf q,\uparrow}^\dagger(\tau)c_{\mathbf k,\downarrow}(\tau)c_{\mathbf k',\downarrow}^\dagger(0)c_{\mathbf k'+\mathbf q,\uparrow}(0)\big\rangle_{\mathrm{SC}}.\end{aligned}$$

正常态中只有正常传播函数之间的收缩。超导态不同：由于 $\langle c_{-\mathbf k\downarrow}c_{\mathbf k\uparrow}\rangle\neq0,$ 还存在异常传播函数之间的收缩。因此自旋泡包含两类项： $\chi_0^{\mathrm{SC}}=\chi_{GG}+\chi_{\mathcal F\mathcal F^\dagger}.$ 用当前 Green 函数约定写成 Matsubara 表达式：

$$\begin{aligned}\chi_0^{\mathrm{SC}}(\mathbf q,i\Omega_m)=-\frac{T}{N}\sum_{\mathbf k,n}\Big[&G(\mathbf k,i\omega_n)G(\mathbf k+\mathbf q,i\omega_n+i\Omega_m)+{\color{blue}\mathcal F(\mathbf k,i\omega_n)\mathcal F^\dagger(\mathbf k+\mathbf q,i\omega_n+i\Omega_m)}\Big].\end{aligned}$$

这里的第二项是超导相干效应产生的额外贡献。对更一般的多轨道或三重态超导，必须使用完整 Nambu 自旋顶角的矩阵迹形式，不能无条件沿用这个标量表达式。

超导态为什么有两类激发过程？由式 $(\ref{eq:50})$–$(\ref{eq:51})$，每个 Green 函数都有两个准粒子极点： $i\omega_n=\pm E_{\mathbf k}.$ 因此两个 Green 函数相乘，将出现四种组合

$$(+E_{\mathbf k},+E_{\mathbf k+\mathbf q}),\quad (+E_{\mathbf k},-E_{\mathbf k+\mathbf q}),\quad (-E_{\mathbf k},+E_{\mathbf k+\mathbf q}),\quad (-E_{\mathbf k},-E_{\mathbf k+\mathbf q}).$$

经过 Matsubara 求和，这些项归为两类。第一类为单个热激发准粒子的散射： $E_{\mathbf k}\rightarrow E_{\mathbf k+\mathbf q},$ 能量转移满足 $\omega=E_{\mathbf k+\mathbf q}-E_{\mathbf k}.$这种过程要求体系中已经存在热激发准粒子。第二类为双准粒子产生

$$|{\rm BCS}\rangle\longrightarrow\gamma_{\mathbf k}^\dagger\gamma_{\mathbf k+\mathbf q}^\dagger|{\rm BCS}\rangle.$$

其能量为 $\omega=E_{\mathbf k}+E_{\mathbf k+\mathbf q}.$ 即使在 $T=0$，第二类过程仍然存在，因此它是零温超导自旋激发的主要来源。

为了把正常与反常传播项整理出来，定义

$$\mathbf p=\mathbf k+\mathbf q,\quad E=E_{\mathbf k},\quad E'=E_{\mathbf p},\quad \xi=\xi_{\mathbf k},\quad \xi'=\xi_{\mathbf p}.$$

先考虑实数超导能隙。由正常 Green 函数产生的双准粒子权重包含

$$u_{\mathbf k}^2v_{\mathbf p}^2+v_{\mathbf k}^2u_{\mathbf p}^2.$$

代入

$$u_{\mathbf k}^2=\frac12(1+\xi/E),\qquad v_{\mathbf k}^2=\frac12(1-\xi/E),$$

得到

$$\begin{aligned}u_{\mathbf k}^2v_{\mathbf p}^2&=\frac14(1+\xi/E)(1-\xi'/E'),\\v_{\mathbf k}^2u_{\mathbf p}^2&=\frac14(1-\xi/E)(1+\xi'/E').\end{aligned}$$

相加：

$$\begin{aligned}u_{\mathbf k}^2v_{\mathbf p}^2+v_{\mathbf k}^2u_{\mathbf p}^2&=\frac14\left[2-\frac{2\xi\xi'}{EE'}\right]=\frac12\left[1-\frac{\xi\xi'}{EE'}\right].\end{aligned}$$

再考虑反常传播的贡献。由于

$$\mathcal F\propto\frac{\Delta}{(i\omega_n)^2-E^2},$$

异常项包含

$$\frac{\Delta_{\mathbf k}\Delta_{\mathbf p}}{E E'}.$$

根据自旋顶角的收缩结构，其对双准粒子产生的相干权重贡献为

$$-\frac{\Delta_{\mathbf k}\Delta_{\mathbf p}}{2EE'}.$$

将正常和异常传播的贡献相加，得到

$$C_{\mathbf k,\mathbf q}^{(-)}=\frac12\left[1-\frac{\xi_{\mathbf k}\xi_{\mathbf k+\mathbf q}+\Delta_{\mathbf k}\Delta_{\mathbf k+\mathbf q}}{E_{\mathbf k}E_{\mathbf k+\mathbf q}}\right].$$

对于复数能隙，应当用相位不变的组合：

$$C_{\mathbf k,\mathbf q}^{(-)}=\frac12\left[1-\frac{\xi_{\mathbf k}\xi_{\mathbf k+\mathbf q}+\operatorname{Re}[\Delta_{\mathbf k}\Delta_{\mathbf k+\mathbf q}^*]}{E_{\mathbf k}E_{\mathbf k+\mathbf q}}\right].\label{eq:55}$$

这就是超导态的自旋相干因子。类似地，热激发准粒子散射过程对应

$$C_{\mathbf k,\mathbf q}^{(+)}=\frac12\left[1+\frac{\xi_{\mathbf k}\xi_{\mathbf k+\mathbf q}+\operatorname{Re}[\Delta_{\mathbf k}\Delta_{\mathbf k+\mathbf q}^*]}{E_{\mathbf k}E_{\mathbf k+\mathbf q}}\right].$$

它们满足 $C_{\mathbf k,\mathbf q}^{(-)}+C_{\mathbf k,\mathbf q}^{(+)}=1.$ 这里减号型相干因子用于双准粒子产生，正号型相干因子用于已有准粒子的散射。

6.6 有限温度动态自旋响应

定义 $A_{\mathbf k,\mathbf q}=E_{\mathbf k}+E_{\mathbf k+\mathbf q},$ 并记

$$f_{\mathbf k}=n_F(E_{\mathbf k}),\qquad f_{\mathbf k+\mathbf q}=n_F(E_{\mathbf k+\mathbf q}).$$

在相同的动量求和和归一化约定下，完成 Matsubara 求和并作解析延拓后：

$$\begin{aligned}\chi_0^{\mathrm{SC}}(\mathbf q,\omega)={}&\frac1N\sum_{\mathbf k}C_{\mathbf k,\mathbf q}^{(+)}\frac{f_{\mathbf k}-f_{\mathbf k+\mathbf q}}{E_{\mathbf k+\mathbf q}-E_{\mathbf k}-\omega-i0^+}+\frac1{2N}\sum_{\mathbf k}C_{\mathbf k,\mathbf q}^{(-)}(1-f_{\mathbf k}-f_{\mathbf k+\mathbf q})\\&\quad\times\left[\frac1{A_{\mathbf k,\mathbf q}-\omega-i0^+}+\frac1{A_{\mathbf k,\mathbf q}+\omega+i0^+}\right].\end{aligned}$$

第一行表示热激发准粒子之间的散射。第二、三行表示两个 Bogoliubov 准粒子的产生和湮灭。相应地，当 $T\to0$ 时， $f_{\mathbf k}\rightarrow0$ 对所有正能准粒子成立。于是第一类散射过程的权重消失，而 $1-f_{\mathbf k}-f_{\mathbf k+\mathbf q}\rightarrow1.$ 因此零温下

$$\begin{aligned}\chi_0^{\mathrm{SC}}(\mathbf q,\omega)=\frac1{2N}\sum_{\mathbf k}C_{\mathbf k,\mathbf q}^{(-)}\left[\frac1{E_{\mathbf k}+E_{\mathbf k+\mathbf q}-\omega-i0^+}+\frac1{E_{\mathbf k}+E_{\mathbf k+\mathbf q}+\omega+i0^+}\right].\end{aligned}\label{eq:58}$$

这就是前面数值计算超导自旋激发时使用的主要公式。

超导自旋激发谱

利用

$$\operatorname{Im}\frac1{x-i0^+}=\pi\delta(x),$$

对于 $\omega>0$，从式 $(\ref{eq:58})$ 得到

$$\begin{aligned}\chi_0^{\mathrm{SC}\prime\prime}(\mathbf q,\omega)=\frac{\pi}{2N}\sum_{\mathbf k}C_{\mathbf k,\mathbf q}^{(-)}\delta[\omega-E_{\mathbf k}-E_{\mathbf k+\mathbf q}].\end{aligned}\label{eq:59}$$

式 $(\ref{eq:59})$ 包含两个不同的物理因素。首先，$\delta$ 函数描述能量守恒： $\omega=E_{\mathbf k}+E_{\mathbf k+\mathbf q}.$ 其次，相干因子决定这个激发是否允许，以及自旋激发矩阵元有多大。因此，超导态的自旋激发谱不只与超导能隙大小有关，还与不同动量处超导能隙的相对相位有关。

超导能隙相位如何进入自旋相干因子？

现在考虑费米面附近的两点： $\xi_{\mathbf k}\approx0,\xi_{\mathbf k+\mathbf q}\approx0.$ 假设这两点的能隙均非零，那么 $E_{\mathbf k}\approx|\Delta_{\mathbf k}|,E_{\mathbf k+\mathbf q}\approx|\Delta_{\mathbf k+\mathbf q}|.$ 于是式 $(\ref{eq:55})$ 化为

$$C_{\mathbf k,\mathbf q}^{(-)}\approx\frac12\left[1-\frac{\operatorname{Re}[\Delta_{\mathbf k}\Delta_{\mathbf k+\mathbf q}^*]}{|\Delta_{\mathbf k}||\Delta_{\mathbf k+\mathbf q}|}\right].$$

将能隙写成模和相位的形式

$$\Delta_{\mathbf k}=|\Delta_{\mathbf k}|e^{i\phi_{\mathbf k}},\quad \Delta_{\mathbf k+\mathbf q}=|\Delta_{\mathbf k+\mathbf q}|e^{i\phi_{\mathbf k+\mathbf q}}.$$

因此

$$\Delta_{\mathbf k}\Delta_{\mathbf k+\mathbf q}^*=|\Delta_{\mathbf k}||\Delta_{\mathbf k+\mathbf q}|e^{i(\phi_{\mathbf k}-\phi_{\mathbf k+\mathbf q})}.$$

取实部

$$\operatorname{Re}[\Delta_{\mathbf k}\Delta_{\mathbf k+\mathbf q}^*]=|\Delta_{\mathbf k}||\Delta_{\mathbf k+\mathbf q}|\cos(\phi_{\mathbf k}-\phi_{\mathbf k+\mathbf q}).$$

代回相干因子

$$C_{\mathbf k,\mathbf q}^{(-)}\approx\frac12[1-\cos(\phi_{\mathbf k}-\phi_{\mathbf k+\mathbf q})].$$

利用 $1-\cos\theta=2\sin^2(\theta/2),$得到

$$C_{\mathbf k,\mathbf q}^{(-)}\approx\sin^2\left(\frac{\phi_{\mathbf k}-\phi_{\mathbf k+\mathbf q}}2\right).$$

这就是非常规超导能隙相位和自旋激发之间最直接的理论联系。当两个动量处的能隙同相， $\phi_{\mathbf k}-\phi_{\mathbf k+\mathbf q}=0,$ 则 $C_{\mathbf k,\mathbf q}^{(-)}\approx0.$ 当两个动量处的能隙反相， $\phi_{\mathbf k}-\phi_{\mathbf k+\mathbf q}=\pi,$

则 $C_{\mathbf k,\mathbf q}^{(-)}\approx1.$ 因此，对于这里的自旋单态模型，在费米面附近：

$$\begin{aligned}\text{同号能隙}&:\quad C^{(-)}\approx0,\\\text{反号能隙}&:\quad C^{(-)}\approx1.\end{aligned}$$

这说明连接不同费米面区域的能隙相位差可以显著改变自旋激发矩阵元。不过，相干因子增强不等于一定形成自旋共振。共振需要残余磁相互作用进一步产生集体极点。

超导态 RPA 自旋响应与自旋共振模

前面得到的 $\chi_0^{\mathrm{SC}}$ 已包含 Bogoliubov 准粒子的影响，但尚未重新考虑粒子–空穴自旋通道的相互作用反馈。与正常态类似，在超导态使用 RPA

$$\chi_s^{\mathrm{SC}}=\chi_0^{\mathrm{SC}}+\chi_0^{\mathrm{SC}}U\chi_0^{\mathrm{SC}}+\chi_0^{\mathrm{SC}}U\chi_0^{\mathrm{SC}}U\chi_0^{\mathrm{SC}}+\cdots.$$

将级数求和：

$$\chi_s^{\mathrm{SC}}(\mathbf q,\omega)=\frac{\chi_0^{\mathrm{SC}}(\mathbf q,\omega)}{1-U\chi_0^{\mathrm{SC}}(\mathbf q,\omega)}.\label{eq:62}$$

这与正常态 RPA 具有相同的代数形式，但裸响应已由正常态的 Lindhard 函数替换为包含超导相干因子的响应。

设

$$\chi_0^{\mathrm{SC}}=\chi_0'+i\chi_0''.$$

代入式 $(\ref{eq:62})$，有

$$\chi_s^{\mathrm{SC}}=\frac{\chi_0'+i\chi_0''}{1-U\chi_0'-iU\chi_0''}.$$

按照前面相同的复数运算，得到

$$\chi_s^{\mathrm{SC}\prime\prime}(\mathbf q,\omega)=\frac{\chi_0^{\mathrm{SC}\prime\prime}(\mathbf q,\omega)}{[1-U\chi_0^{\mathrm{SC}\prime}(\mathbf q,\omega)]^2+[U\chi_0^{\mathrm{SC}\prime\prime}(\mathbf q,\omega)]^2}.$$

如果某个频率使 RPA 分母非常小，就会出现很强的自旋响应。对于一个无阻尼的实频自旋激子，必须同时满足

$$1-U\chi_0^{\mathrm{SC}\prime}(\mathbf Q,\omega_{\mathrm{res}})=0\label{eq:64}$$

以及 $\chi_0^{\mathrm{SC}\prime\prime}(\mathbf Q,\omega_{\mathrm{res}})=0.$ 如果 $\chi_0’’$ 不为零，则集体模式一般具有有限寿命，其极点位于复频平面。因此共振峰的位置和宽度分别与集体激发的能量和阻尼有关。

双准粒子连续谱阈值

从式 $(\ref{eq:59})$ 出发

$$\chi_0^{\mathrm{SC}\prime\prime}(\mathbf Q,\omega)=\frac{\pi}{2N}\sum_{\mathbf k}C_{\mathbf k,\mathbf Q}^{(-)}\delta[\omega-E_{\mathbf k}-E_{\mathbf k+\mathbf Q}].$$

该表达式要求 $\omega=E_{\mathbf k}+E_{\mathbf k+\mathbf Q}.$ 因此双准粒子连续谱的运动学阈值为 $\omega_c(\mathbf Q)=\min_{\mathbf k}\left[E_{\mathbf k}+E_{\mathbf k+\mathbf Q}\right].$如果相干因子对某些跃迁严格为零，则真正具有非零自旋谱权重的阈值还必须考虑相应选择定则。对于 $0<\omega<\omega_c(\mathbf Q),$ 在零温、零展宽条件下，没有满足能量守恒的自由双准粒子态。因此 $\chi_0^{\mathrm{SC}\prime\prime}(\mathbf Q,\omega)=0.$这就给无阻尼自旋共振提供了可能的能量窗口。如果式 $(\ref{eq:64})$ 在这个窗口内成立，那么存在 $\omega_{\mathrm{res}}<\omega_c(\mathbf Q).$ 这样的集体激发通常称为自旋激子（spin exciton）。

为什么 $d$ 波更容易形成这种自旋共振？

考虑反铁磁波矢 $\mathbf Q=(\pi,\pi).$ 对于 $d_{x^2-y^2}$ 波： $\Delta_d(\mathbf k)=\frac{\Delta_0}{2}(\cos k_x-\cos k_y),$ 有 $\Delta_d(\mathbf k+\mathbf Q)=-\Delta_d(\mathbf k).$因此在两个动量都靠近费米面的区域，相干因子满足 $C_{\mathbf k,\mathbf Q}^{(-)}\approx1.$ 这意味着双准粒子连续谱阈值附近的自旋激发不会被同号配对的相干相消所抑制。当频率达到阈值时，$\chi_0’’$ 可以迅速增长。又因为因果响应满足 Kramers–Kronig 关系，

$$\chi_0'(\mathbf q,\omega)=\frac1\pi\mathcal P\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\chi_0''(\mathbf q,\omega')}{\omega'-\omega}d\omega',$$

虚部的强烈变化会影响实部。如果实部在连续谱下方增长到 $U\chi_0’(\mathbf Q,\omega_{\mathrm{res}})=1,$ 就形成自旋激子极点。但在有节点的 $d$ 波超导中，必须额外检查 $\mathbf Q$ 是否连接节点。如果连续谱阈值下降到零，低能准粒子可能使自旋集体模式受到阻尼。

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