Hall 电导的定义、物理本质与耗散性质

从欧姆定律重新认识 Hall 电导

电流是否一定与电场平行？

在最简单的各向同性金属中，欧姆定律为 $\boldsymbol j=\sigma\boldsymbol E$，因为电导率 $\sigma$ 是标量，所以电流始终与电场平行。但是，在一般晶体中，电导率是一个张量：

$j_a=\sum_b\sigma_{ab}E_b. \label{eq:ohm}$

对于二维体系，

$\begin{pmatrix} j_x\\ j_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{xx}&\sigma_{xy}\\ \sigma_{yx}&\sigma_{yy} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_x\\ E_y \end{pmatrix}.$

假设只施加沿 $x$ 方向的电场，即 $E_y=0$，则 $j_x=\sigma_{xx}E_x$，$j_y=\sigma_{yx}E_x$。因此，只要 $\sigma_{yx}\ne0$，就会产生横向电流。但这里必须区分：产生横向电流不等于一定发生 Hall 效应，因为横向电流可以来自晶体各向异性，也可以来自真正的反对称 Hall 响应。

考虑二维各向异性导体。假设沿其两个主轴的电导率不同：

$\hat\sigma'=\begin{pmatrix}\sigma_1&0\\0&\sigma_2\end{pmatrix}.$

如果实验坐标系相对主轴旋转角度 $\theta$，那么新坐标系下的电导张量为 $\hat\sigma=R(\theta)\hat\sigma’R^T(\theta)$，其中

$R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}.$

直接矩阵相乘：

$\hat\sigma= \begin{pmatrix} \sigma_1\cos^2\theta+\sigma_2\sin^2\theta& (\sigma_1-\sigma_2)\sin\theta\cos\theta\\ (\sigma_1-\sigma_2)\sin\theta\cos\theta& \sigma_1\sin^2\theta+\sigma_2\cos^2\theta \end{pmatrix}.$

所以$\sigma_{xy}=\sigma_{yx}=(\sigma_1-\sigma_2)\sin\theta\cos\theta$，当 $\sigma_1\ne\sigma_2$ 且 $\theta$ 为一般角度时，两个非对角元均不为零。可是，这个体系完全可以保持时间反演对称性，没有磁场，也没有反常 Hall 效应，为什么会有横向电流？但是：因为电流更倾向沿高电导率主轴流动，而这个主轴与施加电场的方向不一致。所以，$\sigma_{xy}\ne0$ 是存在某种非对角响应的条件，却不是识别反对称 Hall 响应的充分条件。

对称横向响应与反对称 Hall 响应示意图

Hall 电导为什么定义为反对称部分

对电导张量进行唯一分解，任意实数或复数矩阵都可以分解为转置对称与转置反对称两部分：$\hat\sigma=\hat\sigma^{\mathrm S}+\hat\sigma^{\mathrm A}$，其中

${ \sigma_{ab}^{\mathrm S}=\frac{\sigma_{ab}+\sigma_{ba}}2, \qquad \sigma_{ab}^{\mathrm A}=\frac{\sigma_{ab}-\sigma_{ba}}2. } \label{eq:SA}$

满足 $(\hat\sigma^{\mathrm S})^T=\hat\sigma^{\mathrm S}$，$(\hat\sigma^{\mathrm A})^T=-\hat\sigma^{\mathrm A}$。在二维空间中，反对称矩阵只能写成

$\hat\sigma^{\mathrm A}= \begin{pmatrix}0&\sigma_{\mathrm{Hall}}\\-\sigma_{\mathrm{Hall}}&0\end{pmatrix}.$

因此定义

$\sigma_{\mathrm{Hall}}=\frac{\sigma_{xy}-\sigma_{yx}}2.\label{eq:Hall}$

这里 $\sigma_{\mathrm{Hall}}$ 的正负号取决于选择 $xy$ 还是 $yx$ 作为定义方向，但物理内容相同。注意，我们没有假设体系各向同性，也没有预先假设时间反演对称性是否破缺，这是一个普遍的张量分解。

为什么反对称部分在物理上特殊？把反对称电导代入欧姆定律：

$\begin{pmatrix}j_x^{\mathrm{Hall}}\\j_y^{\mathrm{Hall}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&\sigma_{\mathrm{Hall}}\\-\sigma_{\mathrm{Hall}}&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}E_x\\E_y\end{pmatrix}.$

得到

${j_x^{\mathrm{Hall}}=\sigma_{\mathrm{Hall}}E_y,\qquad j_y^{\mathrm{Hall}}=-\sigma_{\mathrm{Hall}}E_x.}$

引入二维 Levi-Civita 符号 $\epsilon_{xy}=1$，可以写成 $j_a^{\mathrm{Hall}}=\sigma_{\mathrm{Hall}}\epsilon_{ab}E_b$，这意味着 Hall 电流具有一个非常特殊的结构：它相当于将电场方向旋转 $90^\circ$，再乘上 Hall 电导系数。直接计算：

$\begin{aligned} \boldsymbol E\cdot\boldsymbol j^H &=E_x\sigma_{\mathrm{Hall}}E_y-E_y\sigma_{\mathrm{Hall}}E_x=0. \end{aligned}$

因此

$\boldsymbol E\cdot\boldsymbol j^H=0. \label{eq:Hallpower}$

对于实直流电场，反对称 Hall 电流始终垂直于电场，不直接贡献焦耳热，这不仅是一个数学性质，还是 Hall 响应与耗散之间关系的核心。

再看一个重要性质，设二维坐标旋转矩阵为 $R$，则电导变换为 $\hat\sigma’=R\hat\sigma R^T$，二维反对称张量满足

$R\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}R^T =\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.$

因此，在保持坐标手性的面内旋转下，$\sigma_{\mathrm{Hall}}$ 不变，这说明，反对称 Hall 响应不会像各向异性引起的对称非对角响应那样，因为旋转到晶体主轴坐标系就消失，它是二维系统在给定取向下一个独立的物理响应系数。

从耗散角度理解 Hall 响应

电流产生的焦耳热，电场对单位体积电子体系所做的功率为

${p=\boldsymbol j\cdot\boldsymbol E.} \label{eq:power}$

将欧姆定律代入：$p=\boldsymbol E^T\hat\sigma\boldsymbol E$，进一步将电导张量拆分

${\color{blue}p=\boldsymbol E^T\hat\sigma^{\mathrm S}\boldsymbol E +\boldsymbol E^T\hat\sigma^{\mathrm A}\boldsymbol E.}$

对于任意实矢量 $\boldsymbol E$ 与实反对称矩阵，都有 $\boldsymbol E^T\hat\sigma^{\mathrm A}\boldsymbol E=0$。证明很简单，令 $X=\boldsymbol E^T\hat\sigma^{\mathrm A}\boldsymbol E$，由于 $X$ 是标量，

$X=X^T =\boldsymbol E^T(\hat\sigma^{\mathrm A})^T\boldsymbol E =-X.$

于是 $X=0$，所以

${\color{blue}p=\boldsymbol E^T\hat\sigma^{\mathrm S}\boldsymbol E.} \label{eq:dc_dissipation}$

这意味着：在直流线性输运中，焦耳耗散由电导张量的对称部分决定，而反对称 Hall 部分不直接耗散能量。例如，

$\hat\sigma=\begin{pmatrix}\sigma_0&\sigma_{\mathrm{Hall}}\\-\sigma_{\mathrm{Hall}}&\sigma_0\end{pmatrix},$

对应

$\boldsymbol j= \begin{pmatrix} \sigma_0E_x+\sigma_{\mathrm{Hall}}E_y\\ -\sigma_{\mathrm{Hall}}E_x+\sigma_0E_y \end{pmatrix}.$

计算总功率：

$\begin{aligned} p&=E_xj_x+E_yj_y=\sigma_0(E_x^2+E_y^2)+\sigma_{\mathrm{Hall}}E_xE_y-\sigma_{\mathrm{Hall}}E_yE_x=\sigma_0|\boldsymbol E|^2. \end{aligned}$

Hall 项严格抵消，因此，即使 $\sigma_{\mathrm{Hall}}$ 很大，它本身也不会增加这一电场下的局域焦耳耗散。这是否意味着有 Hall 效应的材料完全没有耗散？假设体系同时具有纵向和 Hall 电导：

$\hat\sigma=\begin{pmatrix}\sigma_{xx}&\sigma_{\mathrm{Hall}}\\-\sigma_{\mathrm{Hall}}&\sigma_{yy}\end{pmatrix}.$

即使 Hall 部分不直接耗散，纵向电导仍然产生焦耳热：$p=\sigma_{xx}E_x^2+\sigma_{yy}E_y^2$。因此，普通金属可以同时具有很强的 Hall 效应和很大的纵向电阻。此外，在固定外加电流而非固定电场的实验条件下，Hall 响应还可能改变系统内部所需的电场分布，从而间接影响总耗散。所以需要准确区分：

Hall 电流分量本身不直接做功；
整个具有 Hall 效应的导体不一定无耗散。

理想量子 Hall 平台满足

$\sigma_{xx}\rightarrow0, \qquad \sigma_{xy}=-\sigma_{yx}=\nu\frac{e^2}{h},$

其中 $\nu$ 为适当的填充因子或拓扑量子数。此时

$\hat\sigma=\begin{pmatrix}0&\sigma_{\mathrm{Hall}}\\-\sigma_{\mathrm{Hall}}&0\end{pmatrix}.$

于是 $\boldsymbol j=\hat\sigma^{\mathrm A}\boldsymbol E$，$\boldsymbol j\cdot\boldsymbol E=0$，这里整个直流输运响应都是反对称的，因此其体内局域焦耳耗散为零，这才是通常称理想量子 Hall 输运为无耗散的原因。它比一般金属的 Hall 响应具有更强的条件：不仅存在反对称 Hall 电导，而且纵向耗散部分也消失。

有限频率Hall电导

有限频率下，Hall 电导仍然无耗散吗？不一定。这是从直流 Hall 效应推广到光学 Hall 效应时，最容易出现的概念错误。原因在于，有限频率下的电导率一般是复数，而且电场的不同分量之间可以有相位差。采用傅里叶约定 $e^{-i\omega t}$，实际电场为

$\boldsymbol E(t) =\operatorname{Re}\left[\boldsymbol{\mathcal E}e^{-i\omega t}\right],$

其中 $\boldsymbol{\mathcal E}$ 是复振幅，诱导电流为

$\boldsymbol j(t) =\operatorname{Re}\left[ \hat\sigma(\omega)\boldsymbol{\mathcal E}e^{-i\omega t} \right].$

时间平均吸收功率密度定义为

$\overline p=\frac1T\int_0^Tdt\,\boldsymbol E(t)\cdot\boldsymbol j(t).$

利用周期平均关系

$\overline{\operatorname{Re}(Ae^{-i\omega t})\operatorname{Re}(Be^{-i\omega t})} =\frac12\operatorname{Re}(A^*B),$

可以得到

${ \overline p =\frac12\operatorname{Re}\left[ \boldsymbol{\mathcal E}^{\dagger}\hat\sigma(\omega)\boldsymbol{\mathcal E} \right]. } \label{eq:acpower}$

由于一个复数的实部满足 $2\operatorname{Re}z=z+z^*$，上式进一步变为

$\boxed{ \overline p =\frac12\boldsymbol{\mathcal E}^{\dagger} \underbrace{\frac{\hat\sigma+\hat\sigma^\dagger}{2}}_{\displaystyle\hat\sigma^{\mathrm H}} \boldsymbol{\mathcal E}. } \label{eq:Hermitian}$

这里上标 $\mathrm H$ 专指 Hermitian（厄米），而 Hall 电导始终记为 $\sigma_{\mathrm{Hall}}$，两者不可混淆。$\hat\sigma^{\mathrm H}=(\hat\sigma+\hat\sigma^\dagger)/2$ 称为光电导矩阵的 Hermitian 部分，它才是判断有限频率光吸收与耗散的正确对象。特别注意：

${\text{转置对称部分}\ne\text{Hermitian 部分}.}\nonumber$

这两种分解有不同的物理目的：

转置对称与反对称分解，用于区分 Hall 响应和对称横向响应；
Hermitian 与 anti-Hermitian 分解，用于区分周期平均吸收功率与纯反应性响应。

在直流实电导极限下，这两个概念具有简单对应关系；但在有限频率复光电导下，不能混为一谈。

反对称 Hall 电导对吸收的贡献

考虑一个面内各向同性、具有光学 Hall 响应的体系：

$\hat\sigma(\omega)= \begin{pmatrix}\sigma_L(\omega)&\sigma_{\mathrm{Hall}}(\omega)\\-\sigma_{\mathrm{Hall}}(\omega)&\sigma_L(\omega)\end{pmatrix}.$

将电导率分成实部和虚部：$\sigma_L=\sigma_L’+i\sigma_L’’$，$\sigma_{\mathrm{Hall}}=\sigma_{\mathrm{Hall}}’+i\sigma_{\mathrm{Hall}}’’$。其 Hermitian 部分为

${ \hat\sigma^{\mathrm H}= \begin{pmatrix} \sigma_L'&i\sigma_{\mathrm{Hall}}''\\ -i\sigma_{\mathrm{Hall}}''&\sigma_L' \end{pmatrix}. } \label{eq:opticalabsorption}$

这个式子非常重要。可以看出：

$\sigma_L’$ 进入吸收矩阵，对应通常的纵向光学耗散；
$\sigma_{\mathrm{Hall}}’$ 不进入 Hermitian 部分；
$\sigma_{\mathrm{Hall}}’’$ 可以进入 Hermitian 部分，因此可能导致偏振依赖的吸收。

这意味着：

${\operatorname{Re}\sigma_{\mathrm{Hall}}(\omega)\text{ 本身不贡献周期平均吸收，}}\nonumber$

但是

${\operatorname{Im}\sigma_{\mathrm{Hall}}(\omega)\text{ 可以产生圆偏振相关的吸收。}}\nonumber$

注意这里讨论的是反对称 Hall 电导对吸收功率的贡献，而不是说 $\operatorname{Re}\sigma_{\mathrm{Hall}}$ 在实验上没有物理作用。实际上，它可以影响偏振旋转，包括 Faraday 和 Kerr 光学响应。这与光学 Hall 效应和圆二色性的研究结论相一致。

为什么线偏振与圆偏振的情况不同？先考虑沿任意固定方向的线偏振光。其复电场振幅可以写成

$\boldsymbol{\mathcal E}=E_0e^{i\phi} \begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix}.$

这里两个分量具有共同相位。由于

$\boldsymbol{\mathcal E}^{\dagger} \begin{pmatrix}0&\sigma_{\mathrm{Hall}}\\-\sigma_{\mathrm{Hall}}&0\end{pmatrix} \boldsymbol{\mathcal E}=0,$

所以 Hall 部分对这种线偏振光的周期平均吸收贡献为零，即使 $\sigma_{\mathrm{Hall}}$ 是复数。但是，对圆偏振光而言，情况不同。定义

$\boldsymbol e_\pm=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\\pm i\end{pmatrix}.$

它们是上述各向同性光电导张量的本征矢：$\hat\sigma\boldsymbol e_\pm=\sigma_\pm\boldsymbol e_\pm$，其中

${\sigma_\pm=\sigma_L\pm i\sigma_{\mathrm{Hall}}.} \label{eq:circularconductivity}$

因此，两种圆偏振光对应的吸收电导分别为

${\operatorname{Re}\sigma_\pm =\operatorname{Re}\sigma_L\mp\operatorname{Im}\sigma_{\mathrm{Hall}}.} \label{eq:CD}$

于是

${\operatorname{Re}\sigma_+-\operatorname{Re}\sigma_-=-2\operatorname{Im}\sigma_{\mathrm{Hall}}.}$

这正是为什么在圆二色性研究中，光学 Hall 电导的虚部具有重要意义。不同电导分量的物理意义：

分量	主要物理意义
$\operatorname{Re}\sigma_L$	通常的纵向光吸收与耗散
$\operatorname{Im}\sigma_L$	纵向反应性响应、光学色散
$\operatorname{Re}\sigma_{\mathrm{Hall}}$	反对称无功率贡献，与偏振旋转有关
$\operatorname{Im}\sigma_{\mathrm{Hall}}$	两种圆偏振光的吸收不对称

因此，我们终于可以回答一个容易混淆的问题：Hall 电流无耗散，是针对直流反对称输运的准确说法；有限频率 Hall 电导则不能笼统称为完全无耗散。尤其当 $\operatorname{Im}\sigma_{\mathrm{Hall}}\ne0$ 时，左右圆偏振的吸收差异可以直接体现 Hall 响应。

从时间反演对称性和 Onsager 关系理解 Hall 电导

前面是从张量和功率的角度定义 Hall 响应。现在进一步解释：为什么 Hall 响应通常与时间反演对称性破缺有关？对于处于热平衡、满足微观可逆性条件的体系，电导张量满足 Onsager–Casimir 关系：

${\sigma_{ab}(\omega,\boldsymbol B)=\sigma_{ba}(\omega,-\boldsymbol B).} \label{eq:Onsager}$

这里 $\boldsymbol B$ 表示破坏时间反演对称性的外磁场。对于具有自发磁序的体系，应更一般地将磁序参量 $\boldsymbol M$ 也一起反转：

$\sigma_{ab}(\omega,\boldsymbol B,\boldsymbol M) =\sigma_{ba}(\omega,-\boldsymbol B,-\boldsymbol M).$

这里默认局域响应或 $\boldsymbol q=0$；非局域情况下还应考虑波矢反转。当体系保持时间反演对称性、没有时间反演奇的序参量时，$\sigma_{ab}(\omega)=\sigma_{ba}(\omega)$。因而

${\sigma_{\mathrm{Hall}}(\omega)=0.}$

所以，保持时间反演对称性的均匀平衡体系，不能具有这里定义的零磁场、局域反对称电荷 Hall 电导。但反过来并不成立，时间反演对称性破缺是允许非零反常 Hall 电导的重要条件，却不是充分条件。体系还可能受到镜面对称性、旋转与反演相关组合对称性等限制，使 Hall 响应严格消失。

Hall 电导为什么在磁场反向时变号？

定义 $\sigma_{\mathrm{Hall}}(\boldsymbol B)=[\sigma_{xy}(\boldsymbol B)-\sigma_{yx}(\boldsymbol B)]/2$，根据 Onsager 关系，

$\sigma_{xy}(\boldsymbol B)=\sigma_{yx}(-\boldsymbol B), \qquad \sigma_{yx}(\boldsymbol B)=\sigma_{xy}(-\boldsymbol B).$

所以

$\begin{aligned} \sigma_{\mathrm{Hall}}(-\boldsymbol B) &=\frac{\sigma_{xy}(-\boldsymbol B)-\sigma_{yx}(-\boldsymbol B)}2\\ &=\frac{\sigma_{yx}(\boldsymbol B)-\sigma_{xy}(\boldsymbol B)}2\\ &=-\sigma_{\mathrm{Hall}}(\boldsymbol B). \end{aligned}$

因此

${\sigma_{\mathrm{Hall}}(-\boldsymbol B)=-\sigma_{\mathrm{Hall}}(\boldsymbol B).} \label{eq:Hallodd}$

这就是通常所说 Hall 响应的时间反演奇性质，与之对应，对称部分满足 $\sigma_{ab}^{\mathrm S}(-\boldsymbol B)=\sigma_{ab}^{\mathrm S}(\boldsymbol B)$。这也提供了一种实验上区分普通 Hall 响应与对称横向信号的方法：比较时间反演奇参量反转前后的响应。

Hall 电导与 Berry 曲率之间的关系

前面解释了 Hall 电导的定义及其无耗散性质，但还没有回答它的微观来源，对于本征反常 Hall 效应，Berry 曲率正是连接量子态几何与 Hall 电流的重要物理量。考虑一个处于 Bloch 能带 $n$ 中的电子波包，其半经典运动方程为

$\dot{\boldsymbol r} =\frac1\hbar\nabla_{\boldsymbol k}\varepsilon_{n\boldsymbol k} -\dot{\boldsymbol k}\times\boldsymbol\Omega_n(\boldsymbol k),$

其中 $\boldsymbol\Omega_n(\boldsymbol k)$ 是第 $n$ 条能带的 Berry 曲率。在无磁场、存在均匀电场的情况下，$\hbar\dot{\boldsymbol k}=-e\boldsymbol E$，其中 $e>0$ 为元电荷，代入运动方程：

${ \dot{\boldsymbol r} =\frac1\hbar\nabla_{\boldsymbol k}\varepsilon_{n\boldsymbol k} +\frac e\hbar\boldsymbol E\times\boldsymbol\Omega_n. }$

这里出现了两种速度：

第一项是通常的能带群速度；
第二项是 Berry 曲率引起的反常速度。

对于二维体系，Berry 曲率沿 $z$ 方向：$\boldsymbol\Omega_n=\Omega_n^z\hat{\boldsymbol z}$，若外电场沿 $x$：$\boldsymbol E=E_x\hat{\boldsymbol x}$，则反常速度为

$\dot{\boldsymbol r}_{\mathrm{anom}} =-\frac{eE_x}{\hbar}\Omega_n^z\hat{\boldsymbol y}.$

也就是说，即使没有外加磁场，电子也可能出现垂直于电场的反常速度。电子电流密度为

$\boldsymbol j =-e\sum_n\int_{\mathrm{BZ}} \frac{d^d k}{(2\pi)^d}f_{n\boldsymbol k}\dot{\boldsymbol r}.$

取反常速度部分：

$\boldsymbol j_{\mathrm{Hall}} =-\frac{e^2}{\hbar} \sum_n\int_{\mathrm{BZ}} \frac{d^d k}{(2\pi)^d} f_{n\boldsymbol k}\boldsymbol E\times\boldsymbol\Omega_n.$

按照前面采用的 $\sigma_{\mathrm{Hall}}=\sigma_{xy}$ 的符号约定，得到

${ \sigma_{\mathrm{Hall}}=-\frac{e^2}{\hbar} \sum_n\int_{\mathrm{BZ}} \frac{d^d k}{(2\pi)^d} f_{n\boldsymbol k}\Omega_n^z(\boldsymbol k). } \label{eq:BerryHall}$

Berry 曲率的符号定义若改变，表达式的整体符号也会随之改变。

Berry 曲率产生的 Hall 电流为什么无耗散？

回到反常速度：$\dot{\boldsymbol r}_{\mathrm{anom}}=(e/\hbar)\boldsymbol E\times\boldsymbol\Omega$，电场对电子做功的速率为 $d\varepsilon/dt=-e\boldsymbol E\cdot\dot{\boldsymbol r}$，反常速度的贡献为

$\begin{aligned} \left(\frac{d\varepsilon}{dt}\right)_{\mathrm{anom}} &=-\frac{e^2}{\hbar}\boldsymbol E\cdot(\boldsymbol E\times\boldsymbol\Omega)=0. \end{aligned}$

因此，Berry 曲率引起的反常速度始终垂直于电场，其 Hall 电流不直接获得电场做功，这与我们从反对称电导张量得到的式 $(\ref{eq:Hallpower})$ 完全一致。两种理解是统一的：宏观上，Hall 电导是反对称输运系数；微观上，本征 Hall 电流可以来源于 Berry 曲率导致的横向反常速度。不过，Berry 曲率并不是所有 Hall 效应的唯一来源。普通磁场 Hall 效应、杂质产生的 skew scattering、side jump 等机制也能贡献 Hall 响应。

实验测量中的 Hall 电压与理论 Hall 电导

为了把定义理解完整，还需要区分实验测量的 Hall 电压与理论计算的 Hall 电导，通常实验在 $x$ 方向施加电流，并测量 $y$ 方向的横向电压，在开路横向边界条件下，$j_y=0$。实验中常使用电阻率张量：$\boldsymbol E=\hat\rho\boldsymbol j$，$\hat\rho=\hat\sigma^{-1}$，因此 $E_y=\rho_{yx}j_x$，这意味着实验测得的横向电压直接反映的是 $\rho_{yx}$，而不是 $\sigma_{xy}$。对于二维 Hall 型电导张量

$\hat\sigma=\begin{pmatrix} \sigma_{xx}&\sigma_{\mathrm{Hall}}\\ -\sigma_{\mathrm{Hall}}&\sigma_{yy} \end{pmatrix},$

其逆矩阵为

${ \hat\rho =\frac{1}{\sigma_{xx}\sigma_{yy}+\sigma_{\mathrm{Hall}}^2} \begin{pmatrix} \sigma_{yy}&-\sigma_{\mathrm{Hall}}\\ \sigma_{\mathrm{Hall}}&\sigma_{xx} \end{pmatrix}. }$

因此

${\rho_{yx}=\frac{\sigma_{\mathrm{Hall}}}{\sigma_{xx}\sigma_{yy}+\sigma_{\mathrm{Hall}}^2}.}$

如果材料各向同性，且 Hall 电导远小于纵向电导，即 $|\sigma_{\mathrm{Hall}}|\ll\sigma_{xx}$，那么 $\rho_{yx}\approx\sigma_{\mathrm{Hall}}/\sigma_{xx}^2$，但这一近似不能用于量子 Hall 平台，因为在那里 $\sigma_{xx}\rightarrow0$。在实际实验中，还需要区分反对称 Hall 电阻率与对称横向电阻率。例如，平面 Hall 效应（planar Hall effect）虽然也叫 Hall effect，但其经典电阻率张量贡献可以是对称的。因而本文讨论的是 Kubo 理论和反常 Hall 文献中采用的反对称电荷 Hall 响应，而不是所有带有 Hall 名称的横向实验现象。