从实空间原子轨道到能带表示

我们通过一个具体的晶体模型，系统理解如何从实空间中的一个局域原子轨道，通过群论中的诱导表示（Induced Representation），最终得到动量空间中的能带表示（Band Representation）。这里需要提前区分三个概念：

局域表示 $\rho$：描述单个原子位置上，局域轨道在位点对称群下如何变化。
诱导表示 $\operatorname{Ind}_{G_{\mathbf q}}^G\rho$：描述整个晶体中所有对称相关轨道在完整空间群下如何变化。
高对称动量不可约表示：将诱导表示进行 Bloch 分解后，在特定动量的小群下进一步约化得到的表示。

它们并不是同一个概念，而是从局域到整体、从实空间到动量空间的不同层次。

第一步：建立具体模型

考虑二维正方晶格：

$\mathbf a_1=a(1,0),\qquad \mathbf a_2=a(0,1).$

布拉维格点为 $\mathbf R=n_1\mathbf a_1+n_2\mathbf a_2$，其平面群为 $p4mm$，由平移、四重旋转和镜面操作生成。我们定义

$C_4:(x,y)\mapsto(-y,x),\qquad m_x:(x,y)\mapsto(-x,y),\qquad m_y:(x,y)\mapsto(x,-y)$

此外还存在 $C_2=C_4^2$，$m_d:(x,y)\mapsto(y,x)$。空间群中的一般元素写作 $g=\{D|\mathbf t\}$，其作用为

$g\mathbf r=D\mathbf r+\mathbf t.$

现在我们选择 $p4mm$ 的 $2c$ Wyckoff 位置，它包含两个对称等价的原胞内位置：

$\mathbf q_A=(a/2,0),\qquad \mathbf q_B=(0,a/2).$

这两个位置位于正方原胞的两条边上。

二维 p4mm 晶体的 2c Wyckoff 位置与 C4 旋转

原胞示意图：蓝色 A 位于 $(a/2,0)$，橙色 B 位于 $(0,a/2)$。四重旋转将 A 映射到 B；边界上的浅色点表示周期性重复的位置。

这里特别重要的是：我们并不是独立地在 A、B 两个位置上各选择一个无关的轨道，而是先选择 A 位置上的一个轨道，再通过空间群对称性生成 B 位置上的轨道。因为

$C_4\mathbf q_A =C_4(a/2,0) =(0,a/2) =\mathbf q_B,\qquad C_4\mathbf q_B=(-a/2,0) =\mathbf q_A-\mathbf a_1.$

所以 $C_4$ 会使两个位置发生 $A\longrightarrow B$，$B\longrightarrow A-\mathbf a_1$，这已经预示了后面 Bloch 表示矩阵中为什么会出现动量相位。

我们假设在 A 位置上放置一个自旋无关的 $s$ 轨道：$|A,s\rangle$，选择 $s$ 轨道是因为它在局域空间对称操作下具有最简单的变换性质。对于任意保持轨道中心不动的旋转或镜面操作，$\hat g|s\rangle=|s\rangle$，因此无需考虑不同轨道之间的混合。接下来要明确：究竟哪些对称操作能够保持 A 位置不动？

求位点对称群

位点对称群定义为

${\color{blue} G_{\mathbf q_A} = \{g\in G\mid g\mathbf q_A=\mathbf q_A\}. }$

这里强调两个容易被忽略的细节：（1）保持位置不动是指真实空间中的位置严格不动，而不只是变到某个晶格平移等价的位置；（2）这个条件针对的是完整空间群操作 $g=\{D|\mathbf t\}$，因此有些操作会包含非零平移部分。显然 $\{E|\mathbf0\}\mathbf q_A=\mathbf q_A$，所以恒等操作属于位点对称群。根据约定，$m_y(x,y)=(x,-y)$，由于 A 位于 $x$ 轴上$m_y(a/2,0)=(a/2,0)$。因此 $\{m_y|\mathbf0\}\in G_{\mathbf q_A}$。现在考虑 $m_x(x,y)=(-x,y)$，它将 A 映射为 $m_x(a/2,0)=(-a/2,0)$，这个位置并不是原来的 A，但如果随后平移一个 $\mathbf a_1$，便得到$(-a/2,0)+(a,0)=(a/2,0)$。因此，保持 A 不动的并不是 $\{m_x|\mathbf0\}$，而是$\{m_x|\mathbf a_1\}$。对于二重旋转，$C_2(a/2,0)=(-a/2,0)$，同样需要平移 $\mathbf a_1$，因此${\{C_2|\mathbf a_1\}\in G_{\mathbf q_A}}$。

于是得到完整位点对称群

${ G_{\mathbf q_A} = \left\{ \{E|0\}, \{m_y|0\}, \{m_x|\mathbf a_1\}, \{C_2|\mathbf a_1\} \right\}. }$

这是一个包含四个元素的群，与点群 $C_{2v}$ 同构。为什么只有四个？因为 $C_4$ 会将 A 映射到 B，而不是让 A 保持不动，因此 $C_4$ 不属于 A 的位点对称群。现在我们已经理解：$C_2,m_x,m_y$ 可以通过适当的空间平移组合使 A 保持不动，$C_4$ 虽然属于晶体空间群，但不属于 A 的位点对称群。$C_4$ 恰恰负责在空间群中生成与 A 对称等价的 B 位置，这正是诱导表示要处理的问题。

第二步：确定局域轨道的位点群表示

前面已经知道，位点对称群为 $H\equiv G_{\mathbf q_A}\cong C_{2v}$，我们现在要确定局域 $s$ 轨道在 $H$ 下的表示。一个群的表示，就是将抽象的群元素对应到作用于某个矢量空间的矩阵，并保持群的乘法关系：

$\rho(g_1g_2)=\rho(g_1)\rho(g_2).$

例如，如果一个群操作作用于某个局域轨道后得到其自身，$\hat g|\phi\rangle=|\phi\rangle$，那么在只有这一个轨道的基底中，其表示矩阵就是 $\rho(g)=1$。如果两个轨道在旋转下相互混合，表示矩阵则可能是二维甚至更高维的。由于 $s$ 轨道在这些空间操作下不改变符号，

$\begin{aligned} \rho(\{E|0\})&=1,\\ \rho(\{m_y|0\})&=1,\\ \rho(\{m_x|\mathbf a_1\})&=1,\\ \rho(\{C_2|\mathbf a_1\})&=1. \end{aligned}$

因此，这个局域轨道属于 $C_{2v}$ 的一维 $A_1$ 不可约表示

${\rho_{\mathrm{site}}=A_1.}$

但要注意，这里的 $A_1$ 是位点对称群的表示，不是 $\Gamma$ 点能带的小群表示，虽然它们名称可能相同，但作用的对象并不相同。到此，我们已得到诱导表示所需的全部初始信息：

${ G=p4mm,\qquad H=G_{\mathbf q_A}\cong C_{2v},\qquad \rho=A_1. }$

下一步才真正开始进行“诱导”。

第三步：从局域表示诱导到整个空间群

这是整套理论最核心、也最需要理解的一步。为什么需要诱导表示？目前我们只知道一个局域轨道 $|\mathbf q_A,s\rangle$ 以及位点对称群 $H$ 如何作用于它。但是晶体的完整对称性不仅包含 $H$，还包含诸如 $C_4$ 这样的操作。而 $C_4$ 会把这个轨道送到另一个位置

$\hat C_4|\mathbf q_A,s\rangle = |\mathbf q_B,s\rangle.$

因此，如果我们希望整个空间群都能够在所选的轨道空间中得到表示，仅仅保留 $|\mathbf q_A,s\rangle$ 显然不够，必须把 $|\mathbf q_B,s\rangle$ 也加入基底。另外，晶体包含无限多个原胞，平移还会生成 $|\mathbf R+\mathbf q_A,s\rangle$、$|\mathbf R+\mathbf q_B,s\rangle$，于是得到一个对完整空间群封闭的轨道空间：

$\mathcal H= \operatorname{span} \left\{ |\mathbf R,A\rangle, |\mathbf R,B\rangle \mid\mathbf R\in\mathcal L \right\}.$

诱导表示的基本思想就是从一个只在子群 $H$ 下定义的局域表示出发，通过整个群 $G$ 的作用，系统地生成一个在 $G$ 下封闭的表示空间。但这里有个问题，如何避免重复生成同一个轨道？如果对初始轨道施加 $G$ 的所有操作，会得到大量重复的态。例如：

$\{E|0\}|\mathbf q_A,s\rangle = |\mathbf q_A,s\rangle,$

同时

$\{m_y|0\}|\mathbf q_A,s\rangle = |\mathbf q_A,s\rangle.$

这两个群元素不同，但生成的位置相同，它们之所以生成同一个位置，正是因为它们之间相差一个属于位点对称群 $H$ 的操作，其实就是这两个操作属于同一个类。因此，在群论中我们需要考虑陪集（Coset）。对于 $g\in G$，定义左陪集 $gH=\{gh\mid h\in H\}$：如果两个群元素满足 $g_1H=g_2H$，那么它们可以写成 $g_1=g_2h$，$h\in H$。于是

$g_1\mathbf q_A =g_2h\mathbf q_A =g_2\mathbf q_A.$

所以，这两个元素在初始位置上产生相同的空间轨道位置。反过来也成立。因此，不同的左陪集与不同的对称等价轨道位置一一对应。

对于 $p4mm$，我们已经知道点群的阶数和Wyckoff位置位群的阶数： $|C_{4v}|=8$，$|H|=4$，因此，一个原胞中有

$m=\frac84=2$

个对称等价的轨道位置，我们可以选择两个代表元 $r_A=\{E|0\}$，$r_B=\{C_4|0\}$，它们分别满足 $r_A\mathbf q_A=\mathbf q_A$ 和 $r_B\mathbf q_A=\mathbf q_B$。考虑所有晶格平移后，完整空间群可以写成

${ G= \bigcup_{\mathbf R\in\mathcal L} \left[ \{E|\mathbf R\}r_AH \;\cup\; \{E|\mathbf R\}r_BH \right]. }$

这里的并集是不重叠的陪集分解。这一步非常重要，它将完整空间群的元素分成三个部分：

${ g= \underbrace{\{E|\mathbf R\}}_{\text{晶格平移}} \underbrace{r_j}_{\text{确定等价位置}} \underbrace{h}_{\text{局域位点群操作}}. }$

由此，我们就能看清楚诱导表示的逻辑：

$h\in H$ 决定局域轨道的内部变换；
$r_j$ 决定将初始轨道送到哪一个对称等价位置；
$\mathbf R$ 决定它处于哪一个原胞。

定义诱导表示的实空间基底

选定代表元后，我们定义

$|\mathbf R,j,\alpha\rangle = \hat T_{\mathbf R}\hat r_j |\mathbf q_A,\alpha\rangle.$

这里 $j=A,B$，$\hat T_{\mathbf R}$是平移操作，而 $\alpha$ 标记初始位置上的局域轨道。对于我们的一维 $s$ 轨道，$\alpha$ 只有一个取值，因此可以省略：

$|\mathbf R,A\rangle = \hat T_{\mathbf R}|\mathbf q_A,s\rangle,\qquad |\mathbf R,B\rangle = \hat T_{\mathbf R}\hat C_4|\mathbf q_A,s\rangle.$

它们就是每个原胞里的两个 $s$ 轨道。注意我们并没有人为增加一个不相关的轨道，而是完整空间群要求我们同时包含它们。这也是为什么 Wyckoff 重数为 2 的位置，即使每个位点上只有一个 $s$ 轨道，也会产生两条无自旋能带。

现在考虑任意 $g\in G$，我们需要将 $gr_j$ 重新表示为标准的陪集形式：

${ gr_j = \{E|\mathbf L_{g,j}\}\, r_{j'}h_{g,j}, \qquad h_{g,j}\in H. }$

这里的三个结果都由 $g$ 和 $j$ 唯一确定：$j’$：原子被映射到哪个对称等价位置；$\mathbf L_{g,j}$：跨越了多少个原胞；$h_{g,j}$：剩余的局域位点群操作。如果局域轨道在 $H$ 下的表示是 $\rho$，则

$\hat h_{g,j}|\mathbf q_A,\alpha\rangle = \sum_\beta \rho_{\beta\alpha}(h_{g,j}) |\mathbf q_A,\beta\rangle.$

再使用空间群和平移的关系 $gT_{\mathbf R}=T_{D_g\mathbf R}g$，就得到

${\color{blue} \hat g|\mathbf R,j,\alpha\rangle = \sum_\beta \rho_{\beta\alpha}(h_{g,j}) |D_g\mathbf R+\mathbf L_{g,j},j',\beta\rangle. } \label{eq:induced_real_space}$

这就是实空间诱导表示的具体作用公式 $(\ref{eq:induced_real_space})$。对于本例，由于局域 $s$ 轨道属于平凡表示 $A_1$，$\rho(h_{g,j})=1$，所以进一步简化为

${ \hat g|\mathbf R,j\rangle = |D_g\mathbf R+\mathbf L_{g,j},j'\rangle. }$

也就是说，在我们的例子中，诱导表示就是对实空间不同原胞中的 A、B 轨道进行满足群乘法规律的置换。如果换成 $p$ 轨道或 $d$ 轨道，公式中的 $\rho(h)$ 就不一定为 1，轨道内部还可能发生混合或符号变化。

现在具体计算 $C_4$ 对两个轨道的作用，首先对于 A，$C_4r_A=r_B$，因此可以直接读出 $j’=B$，$\mathbf L_{C_4,A}=0$，$h_{C_4,A}=E$。于是

${ \hat C_4|\mathbf R,A\rangle = |C_4\mathbf R,B\rangle. }$

对于 B，由于 $r_B=C_4$，$C_4r_B=C_4^2=C_2$，但是 $C_2$ 不属于我们选定的两个陪集代表元，因此需要重新分解。前面已经知道 $h_{C_2}=\{C_2|\mathbf a_1\}\in H$，于是

$\{C_2|0\} = \{E|-\mathbf a_1\} \{C_2|\mathbf a_1\}.$

这就是 $C_4r_B=T_{-\mathbf a_1}r_Ah_{C_2}$，因此 $j’=A$、$\mathbf L_{C_4,B}=-\mathbf a_1$、$h_{C_4,B}=h_{C_2}$。由于 $\rho(h_{C_2})=1$，

${ \hat C_4|\mathbf R,B\rangle = |C_4\mathbf R-\mathbf a_1,A\rangle. }$

将两条关系合在一起：

${ \begin{aligned} C_4:\quad |\mathbf R,A\rangle &\mapsto|C_4\mathbf R,B\rangle,\\|\mathbf R,B\rangle &\mapsto|C_4\mathbf R-\mathbf a_1,A\rangle. \end{aligned} }$

这就是我们从局域 $s$ 轨道出发，通过诱导表示得到的实空间四重旋转操作，到这里，严格意义上的实空间诱导表示已经建立起来了。但由于 $\mathbf R$ 可以取无穷多个晶格矢量，所以这个表示作用在一个无穷维空间中。接下来，平移对称性将使问题大幅简化。

第四步：通过 Bloch 变换得到动量空间表示

在实空间中，我们拥有无穷多个态 $\ldots,\ |\mathbf R,A\rangle,\ |\mathbf R,B\rangle,\ldots$，但是晶体具有平移周期性，因此我们可以按照晶体动量 $\mathbf k$ 进行分解。对于每个固定的动量，只需要两个 Bloch 基矢：$|\mathbf k,A\rangle$、$|\mathbf k,B\rangle$。所以，无穷维表示就可以转化为作用于两个轨道组成的 Bloch 基底的矩阵。需要强调：一般空间群操作可能将 $\mathbf k$ 映射到 $D_g\mathbf k$，因此它并不一定作用在同一个动量子空间内部。只有在小群的情况下，才可以把它看成固定动量空间上的表示。我们采用周期性 Bloch 规范：

${\color{blue} |\mathbf k,j\rangle = \frac1{\sqrt N} \sum_{\mathbf R} e^{i\mathbf k\cdot\mathbf R} |\mathbf R,j\rangle. }$

这里的 Fourier 相位只包含原胞坐标 $\mathbf R$，这样定义的好处是 $|\mathbf k+\mathbf G,j\rangle=|\mathbf k,j\rangle$，后面处理布里渊区边界的高对称动量时非常方便。

从实空间 $C_4$ 作用推导 Bloch 矩阵

先考虑 A 轨道：

$\begin{aligned} \hat C_4|\mathbf k,A\rangle &= \frac1{\sqrt N} \sum_{\mathbf R} e^{i\mathbf k\cdot\mathbf R} \hat C_4|\mathbf R,A\rangle= \frac1{\sqrt N} \sum_{\mathbf R} e^{i\mathbf k\cdot\mathbf R} |C_4\mathbf R,B\rangle. \end{aligned}$

令 $\mathbf R’=C_4\mathbf R$，由于旋转保持内积，$\mathbf k\cdot\mathbf R=(C_4\mathbf k)\cdot\mathbf R’$。所以

${ \hat C_4|\mathbf k,A\rangle = |C_4\mathbf k,B\rangle. }$

接下来考虑 B：

$\begin{aligned} \hat C_4|\mathbf k,B\rangle &= \frac1{\sqrt N} \sum_{\mathbf R} e^{i\mathbf k\cdot\mathbf R} \hat C_4|\mathbf R,B\rangle= \frac1{\sqrt N} \sum_{\mathbf R} e^{i\mathbf k\cdot\mathbf R} |C_4\mathbf R-\mathbf a_1,A\rangle. \end{aligned}$

令 $\mathbf R’=C_4\mathbf R-\mathbf a_1$，因此 $C_4\mathbf R=\mathbf R’+\mathbf a_1$，从而

$\mathbf k\cdot\mathbf R = (C_4\mathbf k)\cdot(\mathbf R'+\mathbf a_1).$

于是

$\begin{aligned} \hat C_4|\mathbf k,B\rangle &= e^{i(C_4\mathbf k)\cdot\mathbf a_1} \frac1{\sqrt N} \sum_{\mathbf R'} e^{i(C_4\mathbf k)\cdot\mathbf R'} |\mathbf R',A\rangle= e^{-ik_ya}|C_4\mathbf k,A\rangle. \end{aligned}$

最终得到

${ \begin{aligned} \hat C_4|\mathbf k,A\rangle &=|C_4\mathbf k,B\rangle,\qquad \hat C_4|\mathbf k,B\rangle =e^{-ik_ya}|C_4\mathbf k,A\rangle. \end{aligned} }$

在基底 $(A,B)$ 中，这对应矩阵（后面使用公式 $(\ref{eq:C4_bloch})$ 验证对称性）

${ D_{C_4}(\mathbf k) = \begin{pmatrix} 0&e^{-ik_ya}\\ 1&0 \end{pmatrix}. } \label{eq:C4_bloch}$

现在终于看到了动量相关相位的来源，它不是因为 $s$ 轨道具有非平凡的角动量，而是因为 $C_4$ 将 B 位置映射到另一个原胞中的 A 位置。换句话说，即使原子轨道在局域群下属于完全平凡的 $A_1$ 表示，诱导出的空间群表示也可以是非平凡的。

使用完全相同的方法，还可以得到

${ D_{m_x}(\mathbf k) = \begin{pmatrix} e^{-ik_xa}&0\\ 0&1 \end{pmatrix}, }\qquad D_{m_y}(\mathbf k) = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&e^{-ik_ya} \end{pmatrix},\qquad D_{C_2}(\mathbf k) = \begin{pmatrix} e^{-ik_xa}&0\\ 0&e^{-ik_ya} \end{pmatrix}.$

另外，对于对角镜面 $m_d:(x,y)\mapsto(y,x)$，A 和 B 互换，并且不需要额外平移，因此

$D_{m_d}(\mathbf k) = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}.$

以上矩阵均采用$\hat g|\mathbf k,j\rangle
=
\sum_{j’}
[D_g(\mathbf k)]_{j’j}
|D_g\mathbf k,j’\rangle$的约定。这五个矩阵已经足够计算我们关心的高对称点表示。我们已经从 $\rho_{\mathrm{site}}=A_1$ 构造了

$\rho_{\mathrm{band}} = \operatorname{Ind}_{G_{\mathbf q_A}}^G(A_1).$

这个能带表示包含整个空间群如何作用于 Bloch 基底的信息，具体表现为所有 $D_g(\mathbf k)$ 及其在不同动量之间的联系。但是，我们还没有给出电子的能量，也没有求解任何哈密顿量，因此，能带表示首先是一种对称性表示，而不是能量本征值的集合。接下来，我们研究这两个 Bloch 轨道在 $\Gamma,X,M$ 点分别形成什么不可约表示。

第五步：计算高对称点的小群不可约表示

现在我们已经知道空间群作用于 Bloch 基底的矩阵 $D_g(\mathbf k)$，接下来的问题是：如何从这些矩阵得到 $\Gamma,X,M$ 处的不可约表示？这里还需要引入两个概念：小群（Little Group）和不可约表示的约化（Irreducible Decomposition）。对于一般空间群操作 $g=\{D|\mathbf t\}$，动量会发生 $\mathbf k\mapsto D\mathbf k$，只有当

$D\mathbf k=\mathbf k+\mathbf G$

时，操作才将 Bloch 态映射回同一个晶体准动量。满足这一条件的操作构成该动量的小群

${ G_{\mathbf k} = \{g\in G\mid D_g\mathbf k=\mathbf k+\mathbf G\}. }$

对于二维 $p4mm$，三个高对称点为 $\Gamma=(0,0)$，$X=(\pi/a,0)$，$M=(\pi/a,\pi/a)$。它们的小余群分别为：

高对称动量	小余群	群的阶数
$\Gamma$	$C_{4v}$	8
$X$	$C_{2v}$	4
$M$	$C_{4v}$	8

注意，小群与位点对称群在数学定义上不同，位点对称群保持一个实空间位置不变：$g\mathbf q=\mathbf q$，小群则保持一个晶体准动量不变：$D_g\mathbf k=\mathbf k+\mathbf G$。这两类群分别出现在诱导表示的起点和终点。

在 $\Gamma$ 点计算表示矩阵

将 $\mathbf k_\Gamma=(0,0)$ 代入前面推导的矩阵，得到

$D_{C_4}(\Gamma) = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} =\sigma_x,\qquad D_{m_x}(\Gamma)=I_2, \qquad D_{m_y}(\Gamma)=I_2,$

以及 $D_{C_2}(\Gamma)=I_2$，$D_{m_d}(\Gamma)=\sigma_x$。我们首先对四重旋转矩阵进行对角化，它的两个本征矢量为

$|+\rangle= \frac{|A\rangle+|B\rangle}{\sqrt2}, \qquad |-\rangle= \frac{|A\rangle-|B\rangle}{\sqrt2}.$

满足$D_{C_4}(\Gamma)|+\rangle=|+\rangle, D_{C_4}(\Gamma)|-\rangle=-|-\rangle$。同时，$D_{m_x}(\Gamma)|\pm\rangle=|\pm\rangle$，而$D_{m_d}(\Gamma)|\pm\rangle=\pm|\pm\rangle$。

因此可以得到：

Bloch 组合	$C_4$	$C_2$	$m_x$	$m_d$	不可约表示
$\lvert+\rangle$	+1	+1	+1	+1	$A_1$
$\lvert-\rangle$	−1	+1	+1	−1	$B_1$

这里的 $B_1$ 是 $C_{4v}$ 的一维表示，和 $d_{x^2-y^2}$ 轨道的对称性相同，但这并不意味着 $|-\rangle$ 已经变成了真实的 $d$ 轨道，它仍然是两个 $s$ 轨道的组合，只不过这个组合在晶体点群下的变换规律与 $d_{x^2-y^2}$ 相同。最终得到

${ \rho_{\mathrm{band}}\big|_\Gamma = A_1\oplus B_1. }$

这说明，原来的一个局域 $s$ 轨道通过空间群诱导生成了两个 Bloch 基矢，而这两个 Bloch 基矢在 $\Gamma$ 点可以组合成两个不同的一维不可约表示，这里的两个态一般不要求能量简并。

在 $M$ 点计算表示矩阵

现在考虑 $\mathbf k_M=(\pi/a,\pi/a)$，代入 $D_{C_4}(\mathbf k)$：

$D_{C_4}(M) = \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix} =-i\sigma_y.$

其本征值为 $\lambda_\pm=\pm i$，如果仅考虑 $C_4$ 旋转，这两个本征态可以分别看成一维旋转表示。但是，$M$ 点的小余群不是只有 $C_4$，而是完整的 $C_{4v}$。我们继续计算

$D_{m_x}(M) = \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} =-\sigma_z,\qquad D_{m_d}(M) = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} =\sigma_x.$

注意四重旋转与镜面对称性满足 $m_xC_4m_x^{-1}=C_4^{-1}$。因此，如果一个态具有 $C_4$ 本征值 $+i$，镜面操作会将其映射到本征值为 $-i$ 的态。这意味着这两个态不能分别构成完整 $C_{4v}$ 的一维表示，而必须组合成一个二维不可约表示。我们可以直接利用特征标判断，对于这个二维表示，$\chi(g)=\operatorname{Tr}D_g$。计算得到

$\begin{aligned} \chi(E)&=2,\\ \chi(C_4)&=0,\\ \chi(C_2)&=-2,\\ \chi(m_x)&=0,\\ \chi(m_d)&=0. \end{aligned}$

而 $C_{4v}$ 的二维不可约表示 $E$ 恰好具有这组特征标：$\chi_E=(2,0,-2,0,0)$。因此

${ \rho_{\mathrm{band}}\big|_M=E. }$

这是一个非常重要的结果：两个局域 $s$ 轨道生成的 Bloch 态在 $M$ 点共同构成二维不可约表示，因此其能量必须简并。这里的简并并不是我们通过某个特殊的跃迁参数调节出来的，而是空间群对称性本身的要求。

在 $X$ 点计算表示矩阵

考虑 $X=(\pi/a,0)$，这个点的小余群为 $C_{2v}$，包含 $E,C_2,m_x,m_y$。将 $X$ 代入前面推导的矩阵

$D_{C_2}(X) = \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&1 \end{pmatrix},\qquad D_{m_x}(X) = \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&1 \end{pmatrix},\qquad D_{m_y}(X)=I_2.$

可以发现，这些矩阵已经全部对角化，因此，$|X,A\rangle$ 和 $|X,B\rangle$ 分别构成一个一维不可约表示。对 A 轨道：

$\begin{aligned} C_2&=-1,\\ m_x&=-1,\\ m_y&=+1. \end{aligned}$

所以它属于 $B_1$。对 B 轨道：$C_2=m_x=m_y=+1$，所以它属于 $A_1$。这里按照 $m_x:(x,y)\mapsto(-x,y)$、$m_y:(x,y)\mapsto(x,-y)$ 的约定命名。因此

${ \rho_{\mathrm{band}}\big|_X = B_1\oplus A_1. }$

和 $\Gamma$ 点相似，这两个态属于不同的一维不可约表示，因此没有必须简并的要求。

经过上述计算，我们得到了完整的分解结果：

高对称点	小余群	能带表示的不可约分解	是否强制简并
$\Gamma$	$C_{4v}$	$A_1\oplus B_1$	否
$X$	$C_{2v}$	$A_1\oplus B_1$	否
$M$	$C_{4v}$	$E$	是，两重简并

因此

${ \operatorname{Ind}_{G_{2c}}^G(A_1) \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \Gamma:A_1\oplus B_1,\\ X:A_1\oplus B_1,\\ M:E. \end{cases} }$

这就是我们想要完成的：从一个局域位点群不可约表示，经过空间群诱导，得到动量空间高对称点不可约表示的整个过程。请注意两个 $A_1\oplus B_1$ 分别属于不同的小余群，虽然采用了相同的表示名称。

用特征标公式系统计算

前面的例子只有两个 Bloch 基矢，因此通过直接对角化就可以判断不可约表示，但在多原子、多轨道模型中，表示矩阵可能有十几维甚至几十维。这时逐个分析本征态就不太方便，需要利用群表示的特征标正交性。对于一个群表示 $D(g)$，定义特征标 $\chi(g)=\operatorname{Tr}D(g)$，由于迹在相似变换下不变，所以特征标与选择哪一组基底无关。假设一个可约表示能够分解为

$D=\bigoplus_\alpha n_\alpha D^{(\alpha)},$

那么对应的特征标满足

$\chi_D(g)= \sum_\alpha n_\alpha\chi_\alpha(g).$

其中 $n_\alpha$ 表示不可约表示 $\alpha$ 出现了多少次。利用不可约特征标的正交关系，可以得到

${ n_\alpha = \frac1{|P_{\mathbf k}|} \sum_{g\in P_{\mathbf k}} \chi_\alpha(g)^* \chi_D(g). }$

这里 $P_{\mathbf k}$ 是小余群；在本例的对称型空间群中，这一普通特征标公式可以直接使用。对于非对称型空间群，尤其在布里渊区边界，还需要正确处理因子系统和可能出现的射影表示。

以 $M$ 点为例

在 $M$ 点，我们得到 $\chi_D(E)=2$、$\chi_D(C_4)=0$、$\chi_D(C_2)=-2$，两个镜面共轭类的特征标也都是 0。完整的 $C_{4v}$ 具有 8 个元素，而二维不可约表示 $E$ 的特征标为 $\chi_E(E)=2$、$\chi_E(C_4)=0$、$\chi_E(C_2)=-2$。因此

$\begin{aligned} n_E &=\frac18 \sum_{g\in C_{4v}} \chi_E(g)^*\chi_D(g)\\ &=\frac18\left[2\times2+(-2)\times(-2)\right]\\ &=1. \end{aligned}$

于是得到 $D(M)=E$。同样的方法也可以用于 $\Gamma$：$n_{A_1}=1$，$n_{B_1}=1$，其余不可约表示的出现次数为零。所以

$D(\Gamma)=A_1\oplus B_1.$

这说明，在实际研究中，给定空间群表示矩阵后，我们可以通过计算迹并使用特征标表，自动得到高对称点的不可约表示。

第六步：构造紧束缚哈密顿量，验证诱导表示的物理结果

到这里我们一直没有引入跃迁参数，下面构造一个满足 $p4mm$ 对称性的具体紧束缚哈密顿量，看看前面的不可约表示能否真正决定能带简并。每个原胞中有两个 $s$ 轨道：$c_{\mathbf R,A}$、$c_{\mathbf R,B}$，我们考虑三种跃迁：第一，同一种轨道沿晶格方向的跃迁。由于 A、B 位点通过 $C_4$ 相关，可以允许各自沿两个方向存在不同的跃迁强度，但必须满足旋转关系。定义 $t_\parallel$、$t_\perp$，对于 A，沿 $x$ 方向为 $t_\parallel$，沿 $y$ 方向为 $t_\perp$；对于 B，两者交换。第二，A、B 之间的最近邻跃迁 $t$。第三，两个轨道的在位能都设为 $\varepsilon_s$，因为它们由空间群对称性联系起来。

在周期性 Bloch 基底 $\Psi_{\mathbf k}=(c_{\mathbf k,A},c_{\mathbf k,B})^T$ 下，哈密顿量为

$H=\sum_{\mathbf k} \Psi_{\mathbf k}^\dagger \mathcal H(\mathbf k) \Psi_{\mathbf k},$

其中

${ \mathcal H(\mathbf k) = \begin{pmatrix} \varepsilon_A(\mathbf k)&f(\mathbf k)\\ f(\mathbf k)^*&\varepsilon_B(\mathbf k) \end{pmatrix}. } \label{eq:TB_Hamiltonian}$

两个对角元分别为

$\begin{aligned} &\varepsilon_A(\mathbf k) = \varepsilon_s +2t_\parallel\cos k_xa +2t_\perp\cos k_ya,\\ &\varepsilon_B(\mathbf k) = \varepsilon_s +2t_\perp\cos k_xa +2t_\parallel\cos k_ya. \end{aligned}$

现在分析非对角项。对于一个 A 轨道，它的四个最近邻 B 轨道所在的原胞相对位移为 $0$、$\mathbf a_1$、$-\mathbf a_2$、$\mathbf a_1-\mathbf a_2$。因此由 Fourier 变换得到

$\begin{aligned} f(\mathbf k) &= t\left( 1+e^{ik_xa}+e^{-ik_ya} +e^{i(k_x-k_y)a} \right)\\ &= t(1+e^{ik_xa})(1+e^{-ik_ya}). \end{aligned}$

也可以写成

${ f(\mathbf k) = 4t\,e^{i(k_x-k_y)a/2} \cos\frac{k_xa}{2} \cos\frac{k_ya}{2}. }$

注意这里的相位因子来自我们选择的周期性 Bloch 规范。对于任意空间群操作，哈密顿量必须满足

${\color{blue} D_g(\mathbf k) \mathcal H(\mathbf k) D_g^\dagger(\mathbf k) = \mathcal H(D_g^{\mathrm{point}}\mathbf k). }$

其中 $D_g^{\mathrm{point}}$ 表示操作对动量的空间旋转或反射，不是前面作用于 Bloch 轨道的表示矩阵。以 $C_4$ 为例，对公式 $(\ref{eq:TB_Hamiltonian})$ 进行对称性检验。此时 $(k_x,k_y)\mapsto(-k_y,k_x)$，而

$D_{C_4}(\mathbf k) = \begin{pmatrix} 0&e^{-ik_ya}\\ 1&0 \end{pmatrix}.$

直接代入可以验证

$D_{C_4}(\mathbf k) \mathcal H(k_x,k_y) D_{C_4}^\dagger(\mathbf k) = \mathcal H(-k_y,k_x).$

这说明模型满足四重旋转对称性，同样可以验证镜面对称性。因此，这确实是一个与前面诱导表示相容的紧束缚模型。

在 $\Gamma$ 点计算能量

由于 $\Gamma=(0,0)$，有$\varepsilon_A(\Gamma)
=
\varepsilon_B(\Gamma)
=
\varepsilon_s+2(t_\parallel+t_\perp)$以及 $f(\Gamma)=4t$。所以

$\mathcal H(\Gamma) = \left[\varepsilon_s+2(t_\parallel+t_\perp)\right]I_2 +4t\sigma_x.$

它的两个本征态正是前面得到的

$|+\rangle= \frac{|A\rangle+|B\rangle}{\sqrt2}, \qquad |-\rangle= \frac{|A\rangle-|B\rangle}{\sqrt2}.$

能量为$
E_\pm(\Gamma)
=
\varepsilon_s+2(t_\parallel+t_\perp)
\pm4t
$。所以，只要 $t\neq0$，两条能带一般就会分裂，这与前面的群论结果一致：$\Gamma=A_1\oplus B_1$。两个态属于不同的一维不可约表示，完全可以具有不同的能量。

在 $X$ 点计算能量

对于 $X=(\pi/a,0)$，$f(X)=t(1-1)(1+1)=0$。因此

$\mathcal H(X) = \begin{pmatrix} \varepsilon_s-2t_\parallel+2t_\perp&0\\ 0&\varepsilon_s-2t_\perp+2t_\parallel \end{pmatrix}.$

所以

$E_A(X)=\varepsilon_s-2t_\parallel+2t_\perp,E_B(X)=\varepsilon_s-2t_\perp+2t_\parallel.$

当 $t_\parallel\neq t_\perp$ 时，两条能带一般不简并，这也完全符合群论结果：$X=A_1\oplus B_1$。

在 $M$ 点计算能量

现在考虑最重要的 $M$ 点：$M=(\pi/a,\pi/a)$，首先，$f(M)=t(1-1)(1-1)=0$。其次$\varepsilon_A(M)=\varepsilon_B(M)
=\varepsilon_s-2(t_\parallel+t_\perp)$，所以

${ \mathcal H(M) = \left[\varepsilon_s-2(t_\parallel+t_\perp)\right]I_2. }$

两条能带严格简并$
E_1(M)=E_2(M)
=
\varepsilon_s-2(t_\parallel+t_\perp)$。

为什么这个简并如此稳定？因为我们前面已经通过诱导表示证明 $D(M)=E$，而 $E$ 是 $C_{4v}$ 的二维不可约表示。根据 Schur 引理，在一个二维不可约表示的空间中，任何与全部群表示矩阵对易的厄米哈密顿量都必须正比于单位矩阵$\mathcal H(M)=E_MI_2$。因此，无论具体跃迁参数如何变化，只要完整空间群对称性没有被破坏，$M$ 点的这两个能带就必须保持简并。这就从一个具体哈密顿量验证了前面的群论推导。

诱导表示预测能带连接

前面得到的结果并不仅仅告诉我们哪些高对称点简并，我们还可以分析沿高对称动量路径，两条能带为什么会连接在一起。考虑从 $\Gamma$ 到 $M$ 的对角方向：

$\mathbf k=(q,q), \qquad 0\le q\le\pi/a.$

这一条路径在对角镜面 $m_d:(x,y)\mapsto(y,x)$ 下保持不变，因此沿整条路径，Bloch 态都可以按照 $m_d$ 的本征值分类。由于 $D_{m_d}(\mathbf k)=\sigma_x$，两个镜面本征态为

$|+\rangle= \frac{|A\rangle+|B\rangle}{\sqrt2}, \qquad |-\rangle= \frac{|A\rangle-|B\rangle}{\sqrt2}.$

对应镜面本征值分别为 $+1$ 和 $-1$。对于我们构造的哈密顿量，在 $k_x=k_y=q$ 时，

$\varepsilon_A(q,q) = \varepsilon_B(q,q) = \varepsilon_s+2(t_\parallel+t_\perp)\cos qa.$

同时 $f(q,q)=4t\cos^2(qa/2)$。因此

$\mathcal H(q,q) = \left[\varepsilon_s+2(t_\parallel+t_\perp)\cos qa\right]I_2 +4t\cos^2\frac{qa}{2}\,\sigma_x.$

能量本征值为

${ E_\pm(q) = \varepsilon_s+2(t_\parallel+t_\perp)\cos qa \pm4t\cos^2\frac{qa}{2}. }$

当 $q=0$ 时，两条能带一般分裂：

$E_\pm(0) = \varepsilon_s+2(t_\parallel+t_\perp)\pm4t.$

但当 $q=\pi/a$ 时，$\cos^2(\pi/2)=0$，所以 $E_+(\pi/a)=E_-(\pi/a)$。两条能带必然在 $M$ 点相遇。

沿 Gamma-M 路径的两条镜面对称性能带及其 M 点简并

这里的物理图像是：在 $\Gamma$ 点，两条能带分别属于 $A_1$ 和 $B_1$，沿 $\Gamma-M$ 路径，它们分别具有镜面本征值 $+1$ 和 $-1$。到了 $M$ 点，两种镜面本征态必须共同组成二维不可约表示 $E$，因此，它们最终必须连接在一起。这个现象不是某个特殊的 $t$ 参数导致的，而是诱导能带表示与高对称线兼容关系共同决定的。这正是能带表示理论相比单纯计算能谱更强大的地方：有时还没有建立具体哈密顿量，我们就已经知道某些能带是否必须连接。

$p$ 或 $d$ 轨道推广

前面的例子为了突出空间位置的作用，故意选择了最简单的 $s$ 轨道，如果换成其他轨道，诱导表示的整个结构完全不变，只是多了一个局域轨道变换矩阵。例如，在同一个 $2c$ 位置上考虑 $p_x$ 轨道，对于位点群中的二重旋转，$C_2:p_x\mapsto-p_x$。因此，其局域表示满足 $\rho(C_2)=-1$，与前面的 $s$ 轨道不同。对于某个空间群操作，前面得到的一般公式仍然成立：

$\hat g|\mathbf k,j,\alpha\rangle = \sum_\beta e^{-i(D_g\mathbf k)\cdot\mathbf L_{g,j}} \rho_{\beta\alpha}(h_{g,j}) |D_g\mathbf k,j',\beta\rangle.$

这里的表示矩阵可以理解为同时包含两种信息：

$\boxed{ \underbrace{ e^{-i(D_g\mathbf k)\cdot\mathbf L_{g,j}} }_{\text{Wyckoff 位置贡献}} \quad\times\quad \underbrace{ \rho(h_{g,j}) }_{\text{局域轨道贡献}}. }$

两者都不可省略。这也能够解释为什么：