磁振子 Magnon 的基本理论与能谱推导

Magnon 是什么

Magnon 中文通常称为磁振子。它是磁有序体系中自旋波的量子化激发。这个概念和声子的逻辑非常相似：声子是晶格振动的量子，magnon 是自旋集体振动的量子。在铁磁体中，基态可以近似看成所有局域磁矩沿同一方向排列。如果某个自旋稍微偏离平衡方向，这个扰动会通过交换相互作用传播到整个晶格中，形成自旋波。一个动量为 $\mathbf k$ 的自旋波模式量子化以后，就是一个动量为 $\mathbf k$ 的 magnon。

可以概括为

因此 magnon 不是单个局域自旋的简单翻转，而是一个在整个晶格上离域的集体激发。对铁磁体而言，一个 magnon 可以理解为一个离域的自旋降低激发。对反铁磁体而言，由于存在两个反向排列的子格，magnon 的结构更复杂，需要 Bogoliubov 变换才能得到真正的准粒子模式。

经典自旋波图像

考虑一个铁磁体，基态中所有自旋沿 $z$ 方向排列：

若某个自旋发生小的横向偏离，就可以用 $S_i^x$ 和 $S_i^y$ 描述。定义升降算符

如果横向扰动以波的形式传播，可以写成

这里 $\mathbf k$ 是自旋波波矢，$\omega(\mathbf k)$ 是自旋波频率。量子化后，这个模式对应一个玻色准粒子。其产生算符记为 $a_{\mathbf k}^\dagger$，作用在磁有序基态上得到单 magnon 态：

其中 $|0\rangle_{\rm mag}$ 是 magnon 真空，也就是理想磁有序基态。

最基本模型：Heisenberg 磁体

局域磁矩体系最常用的模型是 Heisenberg 模型：

这里 $\mathbf S_i$ 是格点 $i$ 上的自旋算符，$J_{ij}$ 是交换相互作用，$h=g\mu_BB$ 是外磁场对应的 Zeeman 能量。若只考虑最近邻交换，可写成

当 $J>0$ 时，相邻自旋倾向于平行排列，这是铁磁交换。铁磁基态为

当 $J<0$ 时，相邻自旋倾向于反平行排列。也常把反铁磁模型写成

此时基态是 Néel 反铁磁态。

铁磁体中的magnon

先考虑铁磁 Heisenberg 模型

铁磁基态是所有自旋向上排列。局域自旋翻转态可写为

但由于交换相互作用，这个局域翻转不是本征态。真正的本征态是 Bloch 叠加：

这个态表示一个自旋降低激发在整个晶格中传播。它就是一个单 magnon 态。对铁磁体而言，线性自旋波理论给出的单 magnon 结果与这个离域自旋翻转图像是一致的。

Holstein—Primakoff 变换

为了系统推导 magnon 能谱，需要把自旋算符映射成玻色算符。对铁磁基态，取量子化轴沿磁化方向。引入玻色算符 $a_i$ 和 $a_i^\dagger$，满足 $[a_i,a_j^\dagger]=\delta_{ij}$。Holstein—Primakoff 变换为

这个变换保持自旋代数，但形式是非线性的。物理意义很清楚：$a_i^\dagger a_i$ 是格点 $i$ 上的 magnon 数，每产生一个 magnon，$S_i^z$ 减少 $1$。因此铁磁体中的 magnon 携带相对于磁化方向的角动量 $-\hbar$。在低温或低激发密度下，magnon 数远小于最大自旋偏离，即 $a_i^\dagger a_i\ll 2S$。于是可以展开平方根：

线性自旋波理论只保留最低阶，得到

如果继续保留更高阶项，会得到 magnon—magnon 相互作用。下面先只讨论非相互作用的线性自旋波理论。

铁磁 magnon 能谱

从最近邻铁磁 Heisenberg 模型出发：

将自旋内积写成

在线性自旋波近似下，

横向项为

不同格点的玻色算符对易，因此 $a_i a_j^\dagger=a_j^\dagger a_i$。于是

代回哈密顿量，得到

其中基态能量为

这里 $N_b$ 是最近邻键数，$N$ 是格点数。若晶格配位数为 $z$，则 $N_b=Nz/2$。二次哈密顿量也可以写成更直观的形式：

这个式子说明，如果所有格点的横向偏离完全同相，即没有空间变化，那么交换能不增加；如果横向偏离随空间变化，就会付出交换能。

傅里叶变换与一般铁磁能谱

做傅里叶变换：

设最近邻矢量为 $\boldsymbol\delta$，则

跃迁项满足

定义结构因子

于是哈密顿量对角化为

其中

对具有反演对称的最近邻晶格，$\gamma_{\mathbf k}$ 是实数。这个式子就是最基本的铁磁 magnon 能谱。如果 $h=0$，则 $\gamma_{\mathbf 0}=1$，所以 $\omega_{\mathbf 0}=0$。这是连续自旋旋转对称性自发破缺导致的 Goldstone 模式。

一维铁磁链

一维最近邻铁磁链的模型为

格点间距为 $a$，最近邻矢量为 $\delta=\pm a$，配位数 $z=2$，所以

因此 magnon 能谱为

若 $h=0$，

长波极限 $ka\ll 1$ 下，$\cos ka\simeq 1-(ka)^2/2$，所以

这表明铁磁 magnon 在长波极限下是二次色散，即 $\omega_k\propto k^2$。

二维方格铁磁体

二维方格晶格最近邻矢量为 $\boldsymbol\delta=\pm a\hat x,\pm a\hat y$，配位数为 $z=4$。结构因子为

因此

也就是

在长波极限下，

于是

因此二维铁磁 magnon 在无外场时也是二次 Goldstone 模式。

各向异性的铁磁 magnon

真实磁体常常有自旋各向异性。最简单的易轴各向异性可以写为

当 $D>0$ 时，$z$ 方向是易轴。在线性自旋波近似下，

因此

所以各向异性会给 magnon 能谱增加一个能隙：

这说明理想各向同性 Heisenberg 铁磁体有无能隙 Goldstone 模式，但易轴各向异性会打开 magnon gap。

反铁磁 magnon

反铁磁体的自旋波稍微复杂，因为基态有两个反向排列的子格。考虑最近邻反铁磁 Heisenberg 模型：

对二分晶格，可以分成 $A$ 和 $B$ 两个子格。Néel 基态中 $A$ 子格自旋向上，$B$ 子格自旋向下。对 $A$ 子格使用通常的 Holstein—Primakoff 变换：

对 $B$ 子格，由于自旋方向相反，需要使用反向量子化轴：

对于一条连接 $A$ 和 $B$ 的最近邻键，有

纵向项为

横向项为

因此

代回哈密顿量：

这里出现了 $a_i b_j$ 和 $a_i^\dagger b_j^\dagger$，它们对应 magnon 成对湮灭和成对产生。因此反铁磁自旋波哈密顿量不是普通的粒子数守恒玻色哈密顿量，必须进行 Bogoliubov 对角化。

反铁磁体的 Bogoliubov 对角化

做傅里叶变换后，反铁磁二次哈密顿量可以写成

其中

为了对角化，引入 Bogoliubov 变换：

要求保持玻色对易关系，所以

通过选择合适的 $u_{\mathbf k}$ 和 $v_{\mathbf k}$，可以消去非对角的成对产生项，得到

反铁磁 magnon 能谱为

这里 $\alpha_{\mathbf k}$ 和 $\beta_{\mathbf k}$ 是两个反铁磁 magnon 分支。对简单共线反铁磁体，在没有各向异性和外场时它们通常是简并的。

二维方格反铁磁体

对二维方格反铁磁体，最近邻矢量为 $\pm a\hat x$ 和 $\pm a\hat y$，配位数为 $z=4$，结构因子为

因此

长波极限下，在 Néel 有序波矢附近展开，反铁磁 magnon 是线性色散：

这与铁磁 magnon 的 $\omega_{\mathbf k}\propto k^2$ 不同。差别来自铁磁体和反铁磁体的低能动力学不同：铁磁体中净磁化不为零，长波模式是二次的；反铁磁体中两个子格磁化抵消，低能自旋波表现为相对 Néel 矢量的振荡，通常是线性的。

铁磁与反铁磁 magnon 的对比

体系 基态 最小模型 长波色散
铁磁体 自旋平行排列 $-J\mathbf S_i\cdot\mathbf S_j$, $J>0$ $\omega_{\mathbf k}\propto k^2$
反铁磁体 两子格反平行排列 $J\mathbf S_i\cdot\mathbf S_j$, $J>0$ $\omega_{\mathbf k}\propto k$

铁磁 magnon 可以近似理解为一个自旋翻转在铁磁背景中传播。反铁磁 magnon 则是两个子格自旋的耦合集体振荡，其二次哈密顿量包含成对产生和湮灭项，因此需要 Bogoliubov 变换。

用 Python 绘制最简单的 magnon 能谱

下面给出一个简单 Python 程序，用来绘制一维铁磁链、二维方格铁磁体沿高对称路径的 magnon 能谱，以及二维方格反铁磁体的 magnon 能谱。

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import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import rcParams

# =========================================================
# 全局字体与样式设置
# =========================================================
plt.rcParams["font.family"] = "Times New Roman"
plt.rcParams['text.usetex'] = True   # 需要系统安装 LaTeX
plt.rcParams["mathtext.fontset"] = "stix"
plt.rcParams["axes.linewidth"] = 1.5
plt.rcParams["xtick.direction"] = "in"
plt.rcParams["ytick.direction"] = "in"

# 全局字体大小
fs_axis_label = 20
fs_title = 20
fs_tick_label = 18
fs_legend = 18

# =========================================================
# 创建保存文件夹
# =========================================================
save_dir = "magnon_figures"
if not os.path.exists(save_dir):
    os.makedirs(save_dir)

# =========================================================
# Parameters
# =========================================================
J = 1.0
S = 1.0
a = 1.0
h = 0.0
D = 0.0

# 自定义颜色
color_1d = "#2A6EBB"        # 蓝色
color_2d_fm = "#D94E4E"     # 红色
color_2d_afm = "#3A9D6A"    # 绿色

# =========================================================
# 1D ferromagnetic chain
# omega(k) = h + 2JS(1 - cos ka)
# =========================================================
k = np.linspace(-np.pi, np.pi, 600)
omega_1d_fm = h + 2.0 * J * S * (1.0 - np.cos(k * a))

fig, ax = plt.subplots(figsize=(5, 4))
ax.plot(k / np.pi, omega_1d_fm, lw=2, color=color_1d)
ax.set_xlabel(r"$k/\pi$", fontsize=fs_axis_label)
ax.set_ylabel(r"$\hbar\omega_k$", fontsize=fs_axis_label)
ax.set_title("1D Ferromagnetic Magnon", fontsize=fs_title)

# 设置刻度数量
ax.xaxis.set_major_locator(plt.MaxNLocator(3))
ax.yaxis.set_major_locator(plt.MaxNLocator(3))
ax.tick_params(axis='both', labelsize=fs_tick_label)

plt.tight_layout()
plt.savefig(os.path.join(save_dir, "magnon_1d_fm.png"), dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.show()

# =========================================================
# High-symmetry path for square lattice: Gamma-X-M-Gamma
# Gamma=(0,0), X=(pi,0), M=(pi,pi)
# =========================================================
def interpolate_path(points, n_per_segment=200):
    kpts = []
    xcoord = []
    xticks = [0.0]
    total = 0.0

    for i in range(len(points) - 1):
        start = np.array(points[i], dtype=float)
        end = np.array(points[i + 1], dtype=float)

        for j in range(n_per_segment):
            t = j / n_per_segment
            kpt = (1.0 - t) * start + t * end
            if len(kpts) > 0:
                total += np.linalg.norm(kpt - kpts[-1])
            kpts.append(kpt)
            xcoord.append(total)

        xticks.append(total + np.linalg.norm(end - kpts[-1]))

    kpts.append(np.array(points[-1], dtype=float))
    total += np.linalg.norm(kpts[-1] - kpts[-2])
    xcoord.append(total)
    xticks[-1] = total

    return np.array(kpts), np.array(xcoord), xticks

Gamma = (0.0, 0.0)
X = (np.pi, 0.0)
M = (np.pi, np.pi)

kpts, xcoord, xticks = interpolate_path([Gamma, X, M, Gamma], n_per_segment=200)
kx = kpts[:, 0]
ky = kpts[:, 1]

# =========================================================
# 2D square ferromagnet
# omega(k) = h + 2JS[2 - cos(kx a) - cos(ky a)]
# =========================================================
omega_2d_fm = h + 2.0 * J * S * (2.0 - np.cos(kx * a) - np.cos(ky * a))

fig, ax = plt.subplots(figsize=(5, 4))
ax.plot(xcoord, omega_2d_fm, lw=2, color=color_2d_fm)
for x in xticks:
    ax.axvline(x, lw=0.8, ls="--", color='gray', alpha=0.7)
ax.set_xticks(xticks)
ax.set_xticklabels([r"$\Gamma$", r"$X$", r"$M$", r"$\Gamma$"], fontsize=fs_tick_label)
ax.set_ylabel(r"$\hbar\omega_{\mathbf{k}}$", fontsize=fs_axis_label)
ax.set_title("2D Square Ferromagnetic Magnon", fontsize=fs_title)

# 只对y轴设置刻度数量，x轴保留高对称点
ax.yaxis.set_major_locator(plt.MaxNLocator(3))
ax.tick_params(axis='both', labelsize=fs_tick_label)

plt.tight_layout()
plt.savefig(os.path.join(save_dir, "magnon_2d_square_fm.png"), dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.show()

# =========================================================
# 2D square antiferromagnet
# omega(k) = 4JS sqrt(1 - gamma_k^2)
# gamma_k = [cos(kx a) + cos(ky a)] / 2
# =========================================================
gamma = 0.5 * (np.cos(kx * a) + np.cos(ky * a))
omega_2d_afm = 4.0 * J * S * np.sqrt(np.maximum(0.0, 1.0 - gamma**2))

fig, ax = plt.subplots(figsize=(5, 4))
ax.plot(xcoord, omega_2d_afm, lw=2, color=color_2d_afm)
for x in xticks:
    ax.axvline(x, lw=0.8, ls="--", color='gray', alpha=0.7)
ax.set_xticks(xticks)
ax.set_xticklabels([r"$\Gamma$", r"$X$", r"$M$", r"$\Gamma$"], fontsize=fs_tick_label)
ax.set_ylabel(r"$\hbar\omega_{\mathbf{k}}$", fontsize=fs_axis_label)
ax.set_title("2D Square Antiferromagnetic Magnon", fontsize=fs_title)

# 只对y轴设置刻度数量
ax.yaxis.set_major_locator(plt.MaxNLocator(3))
ax.tick_params(axis='both', labelsize=fs_tick_label)

plt.tight_layout()
plt.savefig(os.path.join(save_dir, "magnon_2d_square_afm.png"), dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.show()

print(f"所有图片已保存至文件夹: {save_dir}")

这个程序中取 $J=S=a=1$。如果想展示外场或各向异性打开的 gap，可以把 $h$ 或 $D$ 设为非零。

Image 1 Image 1 Image 1

总结

Magnon 是磁有序体系中自旋波的量子。对于铁磁体，最简单的图像是：一个局域自旋降低激发会由于交换相互作用在晶格中传播，形成动量为 $\mathbf k$ 的离域激发。用 Holstein—Primakoff 变换可以把自旋算符映射成玻色算符，在线性自旋波近似下得到自由 magnon 哈密顿量

对于最近邻铁磁 Heisenberg 模型，magnon 能谱为

在无外场、无各向异性的情况下，$\mathbf k=0$ 模式无能隙，这是自发破缺连续自旋旋转对称性带来的 Goldstone 模式。铁磁 magnon 的长波色散通常为 $\omega_{\mathbf k}\propto k^2$。对于反铁磁体，由于存在两个反向排列的子格，线性自旋波哈密顿量中会出现成对产生和湮灭项，因此需要 Bogoliubov 变换。二维方格反铁磁体的 magnon 能谱为

反铁磁 magnon 的长波色散通常为 $\omega_{\mathbf k}\propto |\mathbf k|$，这与铁磁 magnon 的二次色散形成鲜明区别。

鉴于该网站分享的大都是学习笔记，作者水平有限，若发现有问题可以发邮件给我

  • yxliphy@gmail.com

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